高三數(shù)列常用解法和習題及近幾年高考題齊全

1、1 / 50數(shù)列知識點和常用的解題方法歸納數(shù)列知識點和常用的解題方法歸納一、一、 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)等差數(shù)列的定義與性質(zhì) 定義：為常數(shù) ，aad daandnnn111() 等差中項： ， ， 成等差數(shù)列xAyAxy2 前 項和nSaannan ndnn11212 性質(zhì)：是等差數(shù)列an （ ）若，則；1mnpqaaaamnpq （ ）數(shù)列，仍為等差數(shù)列；2212aakabnnn SSSSSnnnnn，仍為等差數(shù)列；232 （ ）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為， ，；3adaad （ ）若，是等差數(shù)列，為前 項和，則；42121abSTnabSTnnnnmmmm （ ）為等差數(shù)列（ ， 為常數(shù)，是

2、關(guān)于 的常數(shù)項為52aSanbnabnnn0 的二次函數(shù)） SSanbnannn的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負分界2項，即： 當，解不等式組可得達到最大值時的 值。adaaSnnnn110000 當，由可得達到最小值時的 值。adaaSnnnn110000 如：等差數(shù)列，則aSaaaSnnnnnn1831123 （由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa313222331132 / 50 Saanaannnnn12122131218 n27）二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì) 定義：（ 為常數(shù)，），aaqqqaa qnnnn1110 等比中項： 、 、

3、 成等比數(shù)列，或xGyGxyGxy 2 前 項和：（要注意 ）nSnaqaqqqnn111111()()! 性質(zhì)：是等比數(shù)列an （ ）若，則1mnpqaaaamnpq （ ），仍為等比數(shù)列2232SSSSSnnnnn三、你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？三、你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？ 1、公式法公式法2、nnaS 求由 （時，時，）naSnaSSnnn121113 3、求差（商）法、求差（商）法 如：滿足aaaannnn121212251122 解：解：naa 1122151411時， naaannn 2121212215212211時， 12122得：nna ann21annnn1

4、41221()()練習3 / 50 數(shù)列滿足，求aSSaaannnnn111534 （注意到代入得：aSSSSnnnnn1114 又，是等比數(shù)列，SSSnnn144 naSSnnnn23411時， 4 4、疊乘法、疊乘法 例如：數(shù)列中，求aaaannannnn1131 解：解：aaaaaannaannnn213211122311， 又，aann133 5 5、等差型遞推公式、等差型遞推公式 由，求，用迭加法aaf naaannn110( ) naafaafaaf nnn22321321時，兩邊相加，得：( )( )( ) aafff nn123( )( )( ) aafff nn023( )(

5、 )( )練習 數(shù)列，求aaaanannnnn111132 （）ann1231 6 6、等比型遞推公式、等比型遞推公式 acad cdccdnn1010、 為常數(shù)， 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)axc axnn1acacxnn 11 令，()cxdxdc114 / 50 是首項為， 為公比的等比數(shù)列adcadccn111 adcadccnn1111 aadccdcnn1111練習 數(shù)列滿足，求aaaaannnn11934 （）ann84311 7 7、倒數(shù)法、倒數(shù)法 例如：，求aaaaannnn11122 由已知得：1221211aaaannnn 11121aann 111121aan為等差數(shù)列，公差

6、為 11112121annn ann21三、三、 你熟悉求數(shù)列前你熟悉求數(shù)列前 n n 項和的常用方法嗎？項和的常用方法嗎？1 1、公式法：等差、等比前、公式法：等差、等比前 n n 項和公式項和公式2 2、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。 如：是公差為 的等差數(shù)列，求ada ankkkn111解：解：由11111011aaaadd aadkkkkkk5 / 50 11111111a ad aakkknkkkn 11111111111223111daaaaaad aannn練習 求和：1112

7、11231123 n （，）aSnnn211 3 3、錯位相減法：、錯位相減法： 若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前 項aba bnnnnn 和，可由求，其中 為的公比。SqSSqbnnnn 如：Sxxxnxnn12341231 xSxxxxnxnxnnn234122341 121121：x Sxxxnxnnn xSxxnxxnnn11112時， xSnn nn112312時， 4 4、倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。、倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。 SaaaaSaaaannnnnn121121相加 21211Saaaaaann

8、nn練習已知，則f xxxfffffff( )( )( )( )( ) 22112123134146 / 50 （由f xfxxxxxxxx( ) 1111111112222222 原式 fffffff( )( )( )( )1212313414 12111312）20102010 年高考數(shù)學試題分類匯編年高考數(shù)學試題分類匯編數(shù)列數(shù)列（20102010 浙江理數(shù)）浙江理數(shù)） （3）設(shè)nS為等比數(shù)列 na的前n項和，2580aa，則52SS（A）11 （B）5 （C）8 （D）11解析：解析：通過2580aa，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為08322qaa，解得q=-2，帶入所求式可知答案選 D，本題

9、主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式，屬中檔題（20102010 全國卷全國卷 2 2 理數(shù)）理數(shù)） （4）.如果等差數(shù)列 na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa（20102010 遼寧文數(shù)）遼寧文數(shù)） （3）設(shè)nS為等比數(shù)列 na的前n項和，已知3432Sa ，2332Sa ，則公比q 7 / 50（A）3 （B）4 （C）5 （D）6解析：選 B. 兩式相減得， 3433aa

10、a，44334,4aaaqa.（20102010 遼寧理數(shù)）遼寧理數(shù)） （6）設(shè)an是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，nS為其前 n 項和。已知 a2a4=1, 37S ,則5S （A）152 (B)314 (C)334 (D)172 【答案】B【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式，考查了同學們解決問題的能力?！窘馕觥坑?a2a4=1 可得2411a q ，因此121aq，又因為231(1)7Saqq，聯(lián)力兩式有11(3)(2)0qq，所以 q=12,所以5514(1)3121412S，故選 B。（20102010 全國卷全國卷 2 2 文數(shù)）文數(shù)）(6)如果等差數(shù)列 na中，3a

11、+4a+5a=12，那么1a +2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【解析解析】C】C：本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。：本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識。 34512aaa， 44a 12717417 ()7282aaaaaa （20102010 江西理數(shù)）江西理數(shù)）5.等比數(shù)列 na中，12a ，8a=4，函數(shù) 128()()()f xx xaxaxa，則 0f （ ）A62 B. 92 C. 122 D. 152【答案】C【解析】考查多項式函數(shù)的導數(shù)公式，重點考查學生創(chuàng)新意識，綜合與靈活地8 / 50應(yīng)用所學的數(shù)學知識、思想和方法。考慮到求導中，含有 x 項均取 0，則 0

12、f只與函數(shù) f x的一次項有關(guān)；得：412123818()2a aaaa a。（20102010 江西理數(shù)）江西理數(shù)）4. 2111lim 1333nx（ ）A. 53 B. 32 C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識.解法一：先求和，然后對和取極限。1133lim()1213nn（20102010 安徽文數(shù)）安徽文數(shù)）(5)設(shè)數(shù)列na的前 n 項和2nSn，則8a的值為（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）645.A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根據(jù)1(2)nnnaSSn即可得出結(jié)論.（2010 重慶文數(shù)） （2）在等差數(shù)列 na中

13、，1910aa，則5a的值為（A）5 （B）6來源:高&考%資(源#網(wǎng) KS5U.COM（C）8 （D）10解析：由角標性質(zhì)得1952aaa，所以5a=5（20102010 浙江文數(shù)）浙江文數(shù)）(5)設(shè)ns 為等比數(shù)列na的前n項和，2580aa則52SS(A)-11 (B)-8(C)5(D)11解析：通過2580aa，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為08322qaa，解得q=-2，帶入所求式可知答案選 A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式9 / 50（20102010 重慶理數(shù)）重慶理數(shù)） （1）在等比數(shù)列 na中，201020078aa ，則公比 q 的值為

14、A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析：8320072010qaa 2q（20102010 北京理數(shù)）北京理數(shù)） （2）在等比數(shù)列 na中，11a ，公比1q .若12345maa a a a a，則 m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12答案：C（20102010 四川理數(shù)）四川理數(shù)） （8）已知數(shù)列 na的首項10a ，其前n項的和為nS，且112nnSSa，則limnnnaS（A）0 （B）12 （C） 1 （D）2解析：由112nnSSa,且2112nnSSa w_w_w.k*s 5*u.c o*m作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1w

15、_w w. k#s5_u.c o*m故an是公比為 2 的等比數(shù)列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1則11121limlim(21)2nnnnnnaaSa答案：B（20102010 天津理數(shù)）天津理數(shù)） （6）已知 na是首項為 1 的等比數(shù)列，ns 是 na的前 n項和，且369ss，則數(shù)列1na的前 5 項和為（A）158或 5 （B）3116或 5 （C）3116 （D）158【答案】C10 / 50【解析】本題主要考查等比數(shù)列前 n 項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。顯然 q1，所以3639(1 q )1-=121-q1qqqq ，所以1na是首項為 1，公比為12的等

16、比數(shù)列， 前 5 項和5511 ( )31211612T.【溫馨提示】在進行等比數(shù)列運算時要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時也要注意基本量法的應(yīng)用。（20102010 廣東理數(shù)）廣東理數(shù)）4. 已知na為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若2312aaa， 且4a與 27a的等差中項為54，則5S=A35 B.33 C.31 D.294C設(shè)na的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，231412aaa aa，即42a 。由4a與 27a的等差中項為54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa 37418aqa，即12q 3411128aa qa，即116a 來源:高考資源網(wǎng) K（2

17、0102010 廣東文數(shù)）廣東文數(shù)）11 / 50（20102010 全國卷全國卷 1 1 文數(shù)）文數(shù)） （4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列na，123a a a=5，789a a a =10，則456a a a =(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 24.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知31231322()5a a aa aaaA，37897988()a a aa aaaA10,所以132850a a ,所以13336456465528()()(50 )5 2a a

18、aa aaaa aA（20102010 全國卷全國卷 1 1 理數(shù)）理數(shù)） （4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列na中，123a a a=5，789a a a =10，則456a a a = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2（20102010 湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）7.已知等比數(shù)列ma中，各項都是正數(shù)，且1a ，321,22aa成12 / 50等差數(shù)列，則91078aaaaA.12B. 12C. 32 2D32 2（20102010 山東理數(shù)）山東理數(shù)）1.（2010 安徽理數(shù)）10、設(shè) na是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為, ,X Y Z ，則下列等

19、式中恒成立的是A、2XZYB、Y YXZ ZXC、2YXZD、Y YXX ZX10.D【分析】取等比數(shù)列1,2,4,令1n 得1,3,7XYZ代入驗算，只有選項 D 滿足?！痉椒记伞繉τ诤休^多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗證，若能排除 3 個選項，剩下唯一正確的就一定正確；若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗證繼續(xù)排除.本題也可以首項、公比即項數(shù) n 表示代入驗證13 / 50得結(jié)論.（2010 湖北理數(shù)）7、如圖，在半徑為 r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設(shè)ns 為前 n 個圓的面積之和，則limnns =

20、A 22r B. 832r C.42r D.62r（20102010 福建理數(shù)）福建理數(shù)）3設(shè)等差數(shù)列 na的前 n 項和為nS,若111a ,466aa ,則當nS取最小值時,n 等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為d，則461282 ( 11)86aaadd ，解得2d ，所以22(1)11212(6)362nn nSnnnn ，所以當6n 時，nS取最小值。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前 n 項和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力。20102010 年高考數(shù)學試題分類匯編年高考數(shù)學試題分類匯編數(shù)列數(shù)列（20102010 浙江理數(shù)）浙江理數(shù)）

21、 （14）設(shè)112,(2)(3)23nnnnNxx2012nnaa xa xa x，將(0)kakn的最小值記為nT，則14 / 502345335511110,0,2323nTTTTT其中nT=_ .解析：本題主要考察了合情推理，利用歸納和類比進行簡單的推理，屬容易題（20102010 陜西文數(shù)）陜西文數(shù)）11.觀察下列等式：1323（12）2，132333（123）2，13233343（1234）2，根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為1323334353（12345）2（或 152）.解析：第 i 個等式左邊為 1 到 i+1 的立方和，右邊為 1 到 i+1 和的完全平方所以第四個等式為 132

22、3334353（12345）2（或 152）.（20102010 遼寧文數(shù)）遼寧文數(shù)） （14）設(shè)nS為等差數(shù)列na的前n項和，若36324SS，則9a 。解析：填 15. 31613 23326 56242SadSad,解得112ad ，91815.aad（20102010 遼寧理數(shù)）遼寧理數(shù)） （16）已知數(shù)列 na滿足1133,2 ,nnaaan則nan的最小值為_. 【答案】212【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力?！窘馕觥縜n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+

23、2+(n-1)+33=33+n2-n所以331nannn設(shè)( )f n 331nn ，令( )f n 23310n ，則( )f n 在( 33,)上是單調(diào)遞增，在(0, 33)上是遞減的，因為 nN+,所以當 n=5 或 6 時( )f n 有最小值。又因為55355a，66321662a，所以，nan的最小值為62162a（20102010 浙江文數(shù)）浙江文數(shù)） （14）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的樹都成等差數(shù)列，那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的數(shù)是 。15 / 50答案：2nn（20102010 天津文數(shù)）天津文數(shù)） （15）設(shè)an是等比數(shù)列，公比2q ，Sn為an的前

24、n 項和。記*2117,.nnnnSSTnNa設(shè)0nT 為數(shù)列nT的最大項，則0n= ?！敬鸢浮?【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前 n 項和公式與通項及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。2112117 1 ( 2) 1 ( 2) 1( 2)17( 2)161212( 2)12( 2)nnnnnnnaaTa116( 2)1712( 2)nn因為16( 2)( 2)nn8，當且僅當( 2)n=4，即 n=4時取等號，所以當 n0=4 時 Tn有最大值?！緶剀疤崾尽勘绢}的實質(zhì)是求 Tn取得最大值時的 n 值，求解時為便于運算可以對( 2)n進行換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方

25、法求解.（20102010 湖南理數(shù)）湖南理數(shù)）15若數(shù)列 na滿足：對任意的nN，只有有限個正整數(shù)m使得man 成立，記這樣的m的個數(shù)為()na，則得到一個新數(shù)列()na例如，若數(shù)列 na是1,2,3, n ，則數(shù)列()na是0,1,2,1,n ，已知對任意的Nn，2nan，則5()a ，() )na 16 / 50（20102010 福建理數(shù)）福建理數(shù)）11在等比數(shù)列 na中,若公比q=4,且前 3 項之和等于 21,則該數(shù)列的通項公式na 【答案】n-14【解析】由題意知11141621aaa，解得11a ，所以通項na n-14?！久}意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式

26、的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。3. （20102010 江蘇卷）江蘇卷）8、函數(shù) y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與 x 軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。在點(ak,ak2)處的切線方程為：22(),kkkyaaxa當0y 時，解得2kax ，所以1135,164 1212kkaaaaa 。20102010 年高考數(shù)學試題分類匯編年高考數(shù)學試題分類匯編數(shù)列數(shù)列（20102010 上海文數(shù)）上海文數(shù)）21.(21.(本題滿分本題滿分 1414 分分) )本題共有本題共有 2 2 個小題，第一個小題滿分個小題，第一個

27、小題滿分 6 6分，第分，第 2 2 個小題滿分個小題滿分 8 8 分。分。已知數(shù)列 na的前n項和為nS，且585nnSna，*nN(1)證明：1na 是等比數(shù)列；17 / 50(2)求數(shù)列 nS的通項公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整數(shù)n.解析：(1) 當n1 時，a114；當n2 時，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa ，又a11150，所以數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：151156nna ，得151 156nna ，從而1575906nnSn(nN N*)；由Sn1Sn，得15265n，562log114.925n ，最小正整數(shù)n15（2010

28、2010 湖南文數(shù)）湖南文數(shù)）20.（本小題滿分 13 分）給出下面的數(shù)表序列：其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 個數(shù)是 1,3,5，2n-1，從第 2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。（I）寫出表 4，驗證表 4 各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表 n（n3） （不要求證明） ； （II）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列 1,4,12，記此數(shù)列為 nb 求和：3241 22 31nnnbbbbbb bb b 18 / 5019 / 50（20102010 全國卷全國卷 2 2 理數(shù)）理數(shù)） （18） （本小題滿分 1

29、2 分）已知數(shù)列 na的前n項和2() 3nnSnnA（）求limnnnaS；（）證明：12222312nnaaan【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式11(1)(2)nnns nassn的運用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力. 【參考答案】20 / 50【點評】2010 年高考數(shù)學全國 I I、這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性

30、質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).（20102010 陜西文數(shù)）陜西文數(shù)）16.（本小題滿分 12 分）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項;（）求數(shù)列2an的前n項和Sn.解 （）由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得121d1 812dd，解得d1，d0（舍去） ， 故an的通項an1+（n1）1n.21 / 50()由（）知2ma=2n，由等比數(shù)列前 n 項和公式得Sm=2+22+23+2n=2(1 2 )1 2n=2n+1-2.（20102010 全國卷全國卷 2 2

31、文數(shù)）文數(shù)） （18） （本小題滿分 12 分）已知na是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通項公式；（）設(shè)21()nnnbaa，求數(shù)列 nb的前n項和nT。【解析解析】本題考查了數(shù)列通項、前本題考查了數(shù)列通項、前n項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。（1 1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于1a與與d的方程求得的方程求得1a與與d，可求得數(shù)列的通項，可求得數(shù)列的通項公式。公式。（2 2）由（）由（1 1）中求得數(shù)列通項公式，可求出）中求得數(shù)列通項公式，可求出 BNBN 的通項公式，

32、由其通項公式化的通項公式，由其通項公式化可知其和可分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得?？芍浜涂煞殖蓛蓚€等比數(shù)列分別求和即可求得。（20102010 江西理數(shù)）江西理數(shù)）22. （本小題滿分 14 分）證明以下命題：（1） 對任一正整 a,都存在整數(shù) b,c(bc)，使得222abc，成等差數(shù)列。（2） 存在無窮多個互不相似的三角形n，其邊長nnnabc，為正整數(shù)且222nnnabc，成等差數(shù)列?！窘馕觥孔鳛閴狠S題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結(jié)構(gòu)要證2222acb， ；類似勾股數(shù)進行拼湊。證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值2221 ,5 ,7 滿足等差數(shù)列，只需取 b=5a

33、，c=7a，對一切正整數(shù) a 均能成立。結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。證明：當222nnnabc，成等差數(shù)列，則2222nnnnbacb，分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb選取關(guān)于 n 的一個多項式，24 (1)n n 做兩種途徑的分解2224 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn24 (1)n n 22 / 50對比目標式，構(gòu)造222211(4)21nnnannbnncnn，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相似。任取正整數(shù) m，

34、n，若m，n相似：則三邊對應(yīng)成比例2222222112121121mmmmmnnnnn， 由比例的性質(zhì)得：1111mmmnnn，與約定不同的值矛盾，故互不相似。（20102010 安徽文數(shù)）安徽文數(shù)） （21） （本小題滿分 13 分)設(shè)12,nC CC是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線33yx相切，對每一個正整數(shù)n,圓nC都與圓1nC相互外切，以nr表示nC的半徑，已知 nr為遞增數(shù)列.()證明： nr為等比數(shù)列；（）設(shè)11r ，求數(shù)列 nnr的前n項和. 【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.【解題

35、指導】 （1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)nC的圓心為(,0)n，得2nnr，同理得112nnr，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即 nr中1nr與nr的關(guān)系，證明 nr為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求 nr的通項公式，代入數(shù)列nnr，然后用錯位相減法求和.23 / 50nnnnnnn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn 11 nnnnn12331,sin,332r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.rrxC解：（1）將直線y=的傾斜角記為, 則有t an =設(shè)的圓心為（，0），則由題意得知，得；同理，從而，將代入，解得故為公比的

36、等比數(shù)列。（）由于，故，從而，記S121n121n121n11,r12*33*3. *31*32*3.(1)*3*331 33.3*331 333*3()*3 ,22239139(23)*3()*34224nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSn 則有SS, 得2S【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項na與1na之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時，通常是利用前 n 項和nS乘以公比，然后錯位相減解決.（2010 重慶文數(shù)）

37、（16） （本小題滿分 13 分， （）小問 6 分， （）小問 7 分. ）已知 na是首項為 19，公差為-2 的等差數(shù)列，nS為 na的前n項和.（）求通項na及nS；（）設(shè)nnba是首項為 1，公比為 3 的等比數(shù)列，求數(shù)列 nb的通項公式及其前n項和nT.24 / 50（20102010 浙江文數(shù)）浙江文數(shù)） （19） （本題滿分 14 分）設(shè) a1，d 為實數(shù)，首項為 a1，公差為 d 的等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，滿足56S S +15=0。（）若5S=5，求6S及 a1；（）求 d 的取值范圍。（20102010 重慶理數(shù)）重慶理數(shù)） （21） （本小題滿分 12 分，

38、 （I）小問 5 分， （II）小問 7 分）在數(shù)列 na中，1a =1，1121*nnnacacnnN，其中實數(shù)0c 。（I）求 na的通項公式；（II）若對一切*kN有21kzkaa，求 c 的取值范圍。25 / 5026 / 5027 / 50（20102010 山東文數(shù)）山東文數(shù)） （18） （本小題滿分 12 分） 已知等差數(shù)列 na滿足：37a ，5726aa. na的前 n 項和為nS. （）求na 及nS；（）令211nnba（nN）,求數(shù)列 nb的前 n 項和nT.28 / 50（20102010 北京文數(shù)）北京文數(shù)） （16） （本小題共 13 分）已知|na為等差數(shù)列，且

39、36a ，60a 。（）求|na的通項公式；（）若等差數(shù)列|nb滿足18b ，2123baaa，求|nb的前 n 項和公式解：（）設(shè)等差數(shù)列na的公差d。 因為366,0aa 所以112650adad 解得110,2ad 所以10(1) 2212nann （）設(shè)等比數(shù)列 nb的公比為q 因為212324,8baaab 所以824q 即q=3所以 nb的前n項和公式為1(1)4(1 3 )1nnnbqSq29 / 50（20102010 北京理數(shù)）北京理數(shù)） （20） （本小題共 13 分）已知集合121|( ,),0,1,1,2, (2)nnSX Xx xxxin n ，對于12(,)nAa

40、aa，12( ,)nnBb bbS，定義 A 與 B 的差為1122(|,|,|);nnABabababA 與 B 之間的距離為111( , )|id A Bab（）證明：, ,nnA B CSABS有，且 (,)( , )d AC BCd A B;（）證明：, , ( , ), ( ,), ( ,)nA B CSd A B d A C d B C三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)() 設(shè) PnS，P 中有 m(m2)個元素，記 P 中所有兩元素間距離的平均值為d(P). 證明：d（P）2(1)mnm.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）證明：（I）設(shè)12(,.,)nAa aa，12( ,.

41、,)nBb bb，12( ,.,)nCc ccnS 因為ia ， 0,1ib ，所以 0,1iiab,(1,2,., )in 從而1122(|,|,.,|)nnnABabababS 又1(,)| |niiiiid AC BCacbc由題意知ia ，ib，ic 0,1(1,2,., )in.當0ic 時，| |iiiiiia cbcab; 當1ic 時，| |(1)(1)| |iiiiiiiia cbcabab所以1(,)|( , )niiid AC BCabd A B(II)設(shè)12(,.,)nAa aa，12( ,.,)nBb bb，12( ,.,)nCc ccnS30 / 50 ( , )d

42、 A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch. 記(0,0,.,0)nOS，由（I）可知 ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk ( ,)(,)( ,)d A Cd AA CAd O CAl ( ,)(,)d B Cd BA CAh 所以|(1,2,., )iibain中 1 的個數(shù)為k，|(1,2,., )iicain的 1的個數(shù)為l。 設(shè)t是使| | 1iiiibaca 成立的i的個數(shù)，則2hlkt 由此可知，, ,k l h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即 ( , )d A B , ( ,)d A C , ( ,)d B C 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。（III

43、）2,1( )( , )A B Pmd Pd A BC,其中,( , )A B Pd A B表示P中所有兩個元素間距離的總和，設(shè)P種所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有it 個 1，imt個 0則,( , )A B Pd A B=1()niiit mt由于it ()imt2(1,2,., )4min所以,( , )A B Pd A B24nm從而222,1( )( , )42(1)A B Pmmnmmnd Pd A BCCm（20102010 四川理數(shù)）四川理數(shù)） （21） （本小題滿分 12 分）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a

44、3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；31 / 50（）設(shè)cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Sn.本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202 分(2)當nN *時，由已知(以n2 代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m即 bn1bn8所以bn是公差為 8 的等差數(shù)列5分(3)由(1)(2)解答可

45、知bn是首項為b1a3a16,公差為 8 的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an2112naa-(n1)2.那么an1an21212nnaa2n1w_w w. k#s5_u.c o*m 822n2n1 2n于是cn2nqn1.當q1 時，Sn2462nn(n1)當q1 時，Sn2q04q16q22nqn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述兩式相減得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 211nqq2nqn 211 (1)1nnnqnqq所以Sn212(1)1(1)nnnqnqq綜上所述

46、，Sn12(1)(1)(1)12(1)(1)nnn nqnqnqqqA12 分（20102010 天津文數(shù)）天津文數(shù)） （22） （本小題滿分 14 分）32 / 50在數(shù)列 na中，1a =0，且對任意 k*N，2k 12k2k+1a,a,a成等差數(shù)列，其公差為2k.（）證明456a ,a ,a成等比數(shù)列；（）求數(shù)列 na的通項公式；（）記2222323nnnTaaaA A A，證明n32nT2 n2（2）.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前 n 項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分 14 分。（I

47、）證明：由題設(shè)可知，2122aa，3224aa，4348aa，54412aa，65618aa。從而655432aaaa，所以4a，5a，6a成等比數(shù)列。（II）解：由題設(shè)可得21214 ,*kkaak kN所以 2112121212331.kkkkkaaaaaaaa 441.4 1kk 21 ,*k kkN.由10a ，得2121kak k ，從而222122kkaakk.所以數(shù)列 na的通項公式為221,2,2nnnann為奇數(shù)為偶數(shù)或?qū)憺?21124nnna，*nN。（III）證明：由（II）可知2121kak k，222kak，以下分兩種情況進行討論：（1） 當 n 為偶數(shù)時，設(shè) n=2

48、m*mN33 / 50若1m ，則2222nkkkna，若2m ，則22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakk k 211114411 11222212121mmkkkkmmk kk kkk 11312211222mmnmn.所以223122nkkknan，從而22322,4,6,8,.2nkkknna（2） 當 n 為奇數(shù)時，設(shè)21*nmmN。22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaamm m11314222121mnmn所以2231221nkkknan，從而22322,3,5,7,.2nkkknna綜合（

49、1）和（2）可知，對任意2,*,nnN有322.2nnT（20102010 天津理數(shù)）天津理數(shù)） （22） （本小題滿分 14 分）在數(shù)列 na中，10a ，且對任意*kN.21ka，2ka，21ka成等差數(shù)列，其公差為kd。（）若kd=2k，證明2ka，21ka，22ka成等比數(shù)列（*kN）（）若對任意*kN，2ka，21ka，22ka成等比數(shù)列，其公比為kq?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前 n 項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分 14 分。34 / 50（）證明：由題設(shè)，可得*4

50、,2121aak kNkk。所以131()().()2121212123aaaaaaaakkkkk=44(1).4 1kk =2k(k+1)由1a =0，得222 (1),22,2(1) .2122122ak kaakkakkkkk從而于是1121222221,221212aaaakkkkkkakakaakkkk所以。所以*2,22122kdkkNaaakkk時，對任意成等比數(shù)列。（）證法一：（i）證明：由2,2121kaaakk成等差數(shù)列，及,22122aaakkk成等比數(shù)列，得212112,222121221kaakkaaaqkkkaaqkkk當1q 1 時，可知kq1，k*N從而1111

51、11,1(2)1111111211kqqqqkkkkqk即所以11qk是等差數(shù)列，公差為 1。（）證明：10a ，22a ，可得34a ，從而142,2q 111q =1.由（）有*1111,1kkkkqkNqkk 得所以2*222211221,2122aaakkkkkkNaakakkkk（）從而因此，35 / 502222*2222(1)222214.22.2 (1),2212(1)(2)122242kaaakkkkkaak aak kkNkkaaakkkkk以下分兩種情況進行討論：（1） 當 n 為偶數(shù)時，設(shè) n=2m(*mN)若 m=1,則2222nkkkna.若 m2，則2222122

52、111221(2 )(21)42nmmmkkkkkkkkkkkaaak+221111114414411 112222 (1)2 (1)2 (1)21113122(1)(1)222.mmmkkkkkkkmmk kk kk kkkmmnmn所以22223132,22,4,6,8.22nnkkkkkknnnana從而(2)當 n 為奇數(shù)時，設(shè) n=2m+1（*mN）222222221(21)31(21)4222 (1)nmkkkkmkkmmmaaamm m11314222(1)21mnmn所以22312,21nkkknan從而22322,3,5,72nkkknna綜合（1） （2）可知，對任意2n

53、,nN,有223222nkkkna證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得212222(1),kkkkkkkkdaaq aaaq212221222(1),kkkkkkkkkkdaaq aq aa q q所以1kkkdq d232211122222221111kkkkkkkkkkkkkkaadddqqaaq aq aq 36 / 50由11q 可知1,*kqkN。可得111111111kkkkkqqqqq，所以11kq是等差數(shù)列，公差為 1。（ii）證明：因為120,2,aa所以1212daa。所以3214aad，從而3122aqa，1111q。于是，由（i）可知所以11kq是公差為 1 的等差數(shù)列。由

54、等差數(shù)列的通項公式可得11kq = 11kk，故1kkqk。從而11kkkdkqdk。所以12112112.121kkkkkddddkkkddddkk，由12d ，可得2kdk。于是，由（i）可知221221 ,2,*kkak kakkN以下同證法一。（20102010 全國卷全國卷 1 1 理數(shù)）理數(shù)） （22）(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列 na中，1111,nnaaca .（）設(shè)51,22nncba，求數(shù)列 nb的通項公式；（）求使不等式13nnaa成立的c的取值范圍 .37 / 50（20102010 四川文數(shù)）四川文數(shù)） （2

55、0） （本小題滿分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知等差數(shù)列na的前 3 項和為 6，前 8 項和為-4。（）求數(shù)列na的通項公式；w_w w. k#s5_u.c o*m（）設(shè)1*(4)(0,)nnnba qqnN，求數(shù)列 nb的前 n 項和nS38 / 50（20102010 山東理數(shù)）山東理數(shù)） （18） （本小題滿分 12 分）已知等差數(shù)列 na滿足：37a ，5726aa， na的前n項和為nS（）求na及nS；（）令bn=211na(nN*)，求數(shù)列 nb的前n項和nT【解析】 （）設(shè)等差數(shù)列 na的公差為 d，因為37a ，5726aa，所以有112721026

56、adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n +2n。（）由（）知2n+1na ，所以bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4n n+1，所以nT=111111(1-+-)4223n n+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，39 / 50即數(shù)列 nb的前n項和nT=n4(n+1)?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。（20102010 湖南理數(shù)）湖南理數(shù)）21 （本小題滿分 13 分）數(shù)列 *()nanN中，是函數(shù)3222

57、11( )(3)332nnnfxxanxn a x的極小值點（）當 a=0 時，求通項na； （）是否存在 a，使數(shù)列 na是等比數(shù)列？若存在，求 a 的取值范圍；若不存在，請說明理由。40 / 5041 / 50（2010 湖北理數(shù)）（） 111n1ln nn232 nn證明：（+1）+（1）（+1） 42 / 5043 / 502. （2010 安徽理數(shù)）20、 （本小題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列12,na aa中的每一項都不為 0。 證明： na為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何nN，都有1223111111nnnna aa aa aa a。44 / 50（20102010 江蘇卷）江蘇卷

58、）19、 （本小題滿分 16 分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 na的前 n 項和為nS，已知3122aaa，數(shù)列 nS是公差為d的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列 na的通項公式（用dn,表示） ；（2）設(shè)c為實數(shù)，對滿足nmknm且3的任意正整數(shù)knm,，不等式knmcSSS都成立。求證：c的最大值為29。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關(guān)知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分 16 分。（1）由題意知：0d ， 11(1)(1)nSSndand21323213233()aaaaSSSS，2221113()(2 ) ,adaad45 / 50化簡，得：22111120,aaddad

59、 ad22(1),nnSdndnd Sn d，當2n 時，222221(1)(21)nnnaSSn dndnd，適合1n 情形。故所求2(21)nand（2） （方法一）222222222mnkSScSm dn dc k dmnc k ， 222mnck恒成立。 又nmknm且3，222222292()()92mnmnmnkk，故92c ，即c的最大值為29。（方法二）由1ad及1(1)nSand，得0d ，22nSn d。于是，對滿足題設(shè)的knm,，mn，有2222222()99()222mnkmnSSmn ddd kS。所以c的最大值max92c。另一方面，任取實數(shù)92a 。設(shè)k為偶數(shù)，令

60、331,122mknk ，則knm,符合條件，且22222222331()(1)(1) (94)222mnSSmn ddkkdk。于是，只要22942kak，即當229ka時，22122mnkSSdakaS。所以滿足條件的92c ，從而max92c。因此c的最大值為92。高考文科數(shù)學試卷中的數(shù)列題淺析46 / 50數(shù)列，在高中數(shù)學教學大綱中只有 12 課時，在考綱中也只是要求，理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式，并能解決簡單的實際問題；理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列