高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案平面向量

1、高中數(shù)學(xué)講座 高考中的平面向量問題龔天勇考綱解讀§ 要掌握平面向量的概念與性質(zhì)（共線、模、夾角、垂直等）；§ 在選擇填空中要重視平面向量的幾何運(yùn)算,也要重視坐標(biāo)運(yùn)算（有時要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判斷；§ 在其它知識如解析幾何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系求解）。一、平面向量基本概念與性質(zhì)：1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的模（長度），記作|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。零向量：長度為0的向量，記為，其方向是

2、任意的，與任意向量平行是零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。注意零向量與0的區(qū)別單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量1。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。注意：（1）、數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，（2）

3、、理解平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量；相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。兩個向量相等的充要條件是對應(yīng)坐標(biāo)相等；即：。2向量的運(yùn)算（1）向量加法：求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)，則+=。規(guī)定：（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是始點(diǎn)重合，和向量是始點(diǎn)與兩個已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點(diǎn)是在向量“首尾相接”時，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就

4、表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（2）向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。向量加上的相反向量叫做與的差，記作：作圖法：當(dāng)、有共同起點(diǎn)時，可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量；（3）實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一

5、個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。3兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。4平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5、平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.6平面向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任

6、一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系。（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則。7兩個向量的夾角 （1）定義：已知兩個 非零 向量a和b,作 =a， =b，則AOB=叫做向量a與b的夾角. (2)范圍： 向量夾角的范圍是 ,a與b同向時， 夾角=0° ;a與b反向時，夾角= 180

7、6;(3)向量垂直 如果向量a與b的夾角是 90°，則a與b垂直,記作 ab8、向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，與垂直，記；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°q180°。（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與

8、平方的關(guān)系：。乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：；對實數(shù)的結(jié)合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個向量，則·=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：·O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) 二、題型舉例題型1：平面向量的概念例1給出下列命題：若|，則=；若

9、A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中正確的序號是 。解析：不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；正確； ， 且，又 A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此，。正確； =， ，的長度相等且方向相同；又， ，的長度相等且方向相同， ，的長度相等且方向相同，故。 不正確；當(dāng)/且方向相反時，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件； 不正確；考慮=這種特殊情況； 綜上所述，正確命題的序號

10、是。點(diǎn)評：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。例2、設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個向量，則=|·(2)若與a0平行，則=|·；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個數(shù)是（ ）A0B1C2D3解析：向量是既有大小又有方向的量，與|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時=|，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。點(diǎn)評：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的

11、實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。題型2：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算例3已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC邊上的高為AD，求。解析：設(shè)D(x,y)，則得；所以。例4已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：設(shè)，則因為是與的交點(diǎn)，所以在直線上，也在直線上。即得，由點(diǎn)得，。得方程組，解之得。故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為。題型3平面向量的性質(zhì)例5平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題：（1）求滿足的實數(shù)m,n；（2）若，求實數(shù)k；（3）若滿足，且，求。解析：（1）由題意得，所以，得。（2），；（3）由題意得，得或。例6已知（1）求；（2）當(dāng)為何實數(shù)時，與平行， 平

12、行時它們是同向還是反向？解析：（1）因為所以則（2），因為與平行，所以即得。此時，則，即此時向量與方向相反。點(diǎn)評：上面兩個例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法。題型4共線向量定理及平面向量基本定理例7平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（1，3），若點(diǎn)C滿足，其中、R，且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）A3x+2y11=0 B（x1）2+（y2）2=5C2xy=0 Dx+2y5=0解法一：設(shè)，則。由得，于是，先消去，由得。再消去得，所以選取D。解法二：由平面向量共線定理，當(dāng)，時，A、B、C共線。因此，點(diǎn)C的軌跡

13、為直線AB，由兩點(diǎn)式直線方程得；即選D。點(diǎn)評：熟練運(yùn)用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；兩個向量平行的坐標(biāo)表示；運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合。例8（06福建理，11）已知=1，=,=0,點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC=30°，設(shè)=m+n(m、nR)，則等于（ ）A B3 C D解析： B； 題型5數(shù)量積的概念例9判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。點(diǎn)評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)

14、乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零題型6向量的夾角例10、（1）ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E若，則的值為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC為正三角形易得3選B評析：本題考查向量的有關(guān)知識，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學(xué)生靈活處理問題的能力（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是 。（3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ）A30°B60°C120°D1

15、50°解析：（2）；（3）由題意，且與的夾角為，所以，同理可得。而，設(shè)為與的夾角，則。（4）C；設(shè)所求兩向量的夾角為即：所以點(diǎn)評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握題型7向量的模例11（1）已知向量與的夾角為，則等于 A5B4C3D1（2）平面向量a與b的夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |=A. B.2 C.4 D.12解析 由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×

16、;cos60°412解析：（1）B；（2）B點(diǎn)評：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算，以及。例12，（2010全國（2）a，b為平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），則a，b夾角的余弦值等于（A） （B） （C） （D）例12已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24x

17、y+25y ；將變形代入可得：y=±；再代回得：。點(diǎn)評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。題型8向量垂直、平行的判定例13已知，按下列條件求實數(shù)的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算例14已知，其中。 （1）求證：與互相垂直； （2）若與（）的長度相等，求。 解析：（1）因為 所以與互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因為， 所以， 有， 因為，故， 又因為，所以。點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理?？墒菇忸}過程得到簡化，從而提高解題的速度。題型9：平面向量在幾何