人教初中數(shù)學(xué)全等三角形證明題題

1、人教版初中數(shù)學(xué)全等三角形證明題（經(jīng)典50題）（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數(shù)，求AD?ADBC解析：延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整數(shù),則AD=5 2. 已知：D是AB中點，ACB=90°，求證：DABC3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn)是CD中點，求證：1=2ABCDEF21證明：連接BF和EF。 因為 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。 所以 三角

2、形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。 所以 BF=EF,CBF=DEF。 連接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以 EBF=BEF。 又因為 ABC=AED。 所以 ABE=AEB。 所以 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。 所以 三角形ABF和三角形AEF全等。 所以 BAF=EAF (1=2)。 BACDF21E4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點，作EG/AC，交AD延長線于G 則DEG=DCA，DGE=2 又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/

3、ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CACDB證明：在AC上截取AE=AB，連接EDAD平分BACEAD=BAD 又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C6. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明： 在AE上取F，使EFEB，連接CF 因為CEAB 所以CEBCEF90° 因為EBEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因為BD180&#

4、176;，CFECFA180° 所以DCFA 因為AC平分BAD 所以DACFAC 又因為ACAC 所以ADCAFC（SAS） 所以ADAF 所以AEAFFEADBE12. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.ABE=FBE,BE=BE,則ABEFBE(SAS),EFB=A; AB平行于CD,則:A+D=180° 又EFB+EFC=180°,則EFC=D; 又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB

5、+CD.DCBAFE13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求證：F=C證明：AB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F14. 已知：AB=CD，A=D，求證：B=CABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當AD<BC時，E點是射線BA,CD的交點，當AD>BC時，E點是射線AB,DC的交點）。則：AED是等腰三角形。 所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量減等量） 所以：BEC是等腰三角形 所以：角B=角C.15. P是BAC平分線AD上一點，

6、AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB證明：作B關(guān)于AD的對稱點B，因為AD是角BAC的平分線，B'在線段AC上（在AC中間，因為AB較短） 因為PC<PB+BC,PC-PB<BC,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPDACB16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE，求證：AC-AB=2BE證明：BAC=180-（ABC+C=180-4C1=BAC/2=90-2CABE=90-1=2C延長BE交AC于F因為，1 =2，BEAE所以，ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BEFBC=ABC-ABE=3C-2C

7、=C BF=CF AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E是AB中點，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAEDCBDC證明：作AGBD交DE延長線于GAGE全等BDE AG=BD=5 AGFCDFAF=AG=5所以DC=CF=218（5分）如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：ADBC證明：延長AD至H交BC于H; BD=DC;所以:DBC=角DCB;1=2;DBC+1=角DCB+2;ABC=ACB;所以: AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;BAD=CAD; AD是等腰三角形的頂角平分線 所以: AD垂直BC19如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、

8、B為垂足，AB交OM于點N求證：OAB=OBA證明：因為AOM與MOB都為直角三角形、共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB 所以MAB=MBA因為OAM=OBM=90度所以O(shè)AB=90-MAB OBA=90-MBA 所以O(shè)AB=OBA20如圖，已知ADBC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D求證：AD+BC=AB證明：做BE的延長線，與AP相交于F點，PA/BCPAB+CBA=180°，又，AE，BE均為PAB和CBA的角平分線EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB為直角三角形 在三角形ABF中，AEBF，且AE為FAB的角平分

9、線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF與三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21如圖，ABC中，AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：C=2B證明：在AB上找點E，使AE=ACAE=AC，EAD=CAD，AD=ADADEADC。DE=CD，AED=CAB=AC+CD，DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEB=EDBC=B+EDB=2B22如圖，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點

10、M（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當E、F兩點移動到如圖的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由 分析：通過證明兩個直角三角形全等，即RtDECRtBFA以及垂線的性質(zhì)得出四邊形BEDF是平行四邊形再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論解答：解：（1）連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEBF， 在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF；（2）連接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90°，DEB

11、F， 在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA，DE=BF四邊形BEDF是平行四邊形MB=MD，ME=MF23已知：如圖，DCAB，且DC=AE，E為AB的中點，（1）求證：AEDEBC（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC外，請再寫出兩個與AED的面積相等的三角形（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：證明：(1)DCAE，且DC=AE，所以四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC，且EAD=BEC。由AE=BE，所以AEDEBC。（2）AEC、ACD、ECD都面積相等。24如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于

12、過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE證明：延長BA、CE，兩線相交于點FBECEBEF=BEC=90° 在BEF和BEC中FBE=CBE, BE=BE, BEF=BECBEFBEC(ASA)EF=ECCF=2CEABD+ADB=90°,ACF+CDE=90° 又ADB=CDEABD=ACF 在ABD和ACF中ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90° ABDACF(ASA)BD=CFBD=2CE25、如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC。26、如圖：AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，BECF，BE

13、=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 27、如圖：在ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BDAC。證明：三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以角ADB和角CDB相等，它們的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC 28、AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=AC BD=DC AD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC 在BDF與FDC中 BD=DCBDF=FDC DF=DFFBDFCDBF=FC29、如圖：AB=

14、CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。證明：因為AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因為 角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BECF，M在BC的中點，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：AB平行CD（已知）B=C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）M在BC的中點（已知）EM=FM（中點定義） 在BME和CMF中 BE=CF（已知） B=C（已證） EM=F

15、M（已證）BME全等與CMF（SAS）EMB=FMC（全等三角形的對應(yīng)角相等）EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180°（等式的性質(zhì)）E，M，F(xiàn)在同一直線上31已知：點A、F、E、C在同一條直線上， AFCE，BEDF，BEDF求證：ABECDF證明：AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC 又BE=DFABECDF（SAS）DBCcAFE32.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點，求證： AEAF。 證明：連結(jié)BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰兩底角相等得：角ABC=角ADC 在結(jié)合已知條件證得：

16、ADEABF得AE=AF33如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，1=2，3=4，求證: 5=6 證明：因為角1=角23=4所以角ADC=角ABC. 又因為AC是公共邊，所以AAS=>三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求證：ABCDEF證明：因為D,C在AF上且AD=CF 所以AC=DF 又因為AB平行DE，BC平行EF 所以角A+角EDF，角BCA=角F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 然后SSA（角角邊）三角形全等ACBDEF35已知：如圖，A

17、B=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD證明：因為 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因為 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共邊) 則有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BECD36、 如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求證：DE=DF解析：（AAS）證ADFDCBAE37.已知：如圖, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的長？證明：角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=A

18、B=538如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明：AB=ACABC是等腰三角形B=C又ME=MF，BEM和CEM是直角三角形BEM全等于CEMMB=MC39.如圖，給出五個等量關(guān)系： 請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論，推出一個正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明ABC已知：求證：證明：已知1,2 求證4 因為AD=BC AC=BD，在四邊形ADBC中，連AB 所以ADB全等于BCA 所以角D=角C以4,5為條件，1為結(jié)論。 即：在四邊形ABCD中，D=C，A=B，求證明：AD=BC 因為 A+B+C+D=360D=C，A=B，

19、所以 2(A+D)=360°， A+D=180°， 所以 AB/DC 40在ABC中，直線經(jīng)過點，且于，于.(1)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ；(2)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1） 證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°， 而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE 在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC

20、+CE=BE+AD；（2）不成立，證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1） 證明;因為AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因為AF垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因為AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB全等 所以EC=BF 角ECA=角F(2)延長FB與EC的延長線交于點G

21、因為角ECA=角F(已證） 所以角G=角CAF 因為角CAF=90度 所以EC垂直BF42如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMAN43如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEF連接BF、CE，證明：ABF全等于DEC（SAS），然后通過四邊形BCE

22、F對邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF44如圖,已知ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由證明：在AB上取點N ,使得AN=ACCAE=EAN ,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE 又AC平行BD所以ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBN BE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD45、 如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是中線BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=CFDBECFADECBF46、已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，求證：證明：DEAC，BFAC，DEC=AFB=90°， 在