專題復習證明線段相等角相等的基本方法一剖析

1、專題復習 證明線段相等角相等的基本方法(一)一、教學目標：知識與技能：使學生掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系如在一個三角形中或在兩個三角形中，利用等邊對等角、或三角形全等證明角相等線段相等的基本方法.過程與方法：使學生在根據(jù)角或邊的位置關(guān)系確定證明角相等或線段等的方法過程中，體驗證明角相等線段相等的基本方法，在交流的過程中感受和豐富學生的學習經(jīng)驗；培養(yǎng)學生推理論證能力.情感態(tài)度與價值觀：激活學生原有的知識與經(jīng)驗，使每個學生按照自己的習慣進行提取、存儲信息，形成不同的認知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，獲得不同的發(fā)展.二、教學重點：掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系確定證明角相等線段相等的基本方法.教學難點：分析圖形的

2、形狀特征，識別角或線段的位置關(guān)系，確定證明方法.三、教學用具：三角板、學案等四、教學過程：（一）引入：相等的線段和角是構(gòu)成特殊幾何圖形的主要元素，也是識別特殊圖形的主要依據(jù)；運用三角形全等證明線段相等角相等，常出現(xiàn)在中考15題左右的位置，是北京市中考必考內(nèi)容；運用全等三角形的知識尋求經(jīng)過圖形變換后得到的圖形與原圖形對應(yīng)元素間的關(guān)系，常與特殊圖形結(jié)合，出現(xiàn)在綜合題中.（二）例題：例1已知：如圖1，ABC中，AB=AC，BC為最大邊，點D、 E分別在BC、AC上，BD=CE，F(xiàn)為BA延長線上一點，BF=CD .求證：DEF=DFE . 分析：要證在一個三角形中的兩角相等，考慮用等腰三角形的性質(zhì)（等

3、邊對等角）來證；因要證的兩條相等的邊在兩個三角形中，故利用三角形全等來證線段相等 圖1證明：AB=ACB=C在BDF和CED中，點撥：抓住圖形的特征（兩角在一個圖形中）常用等邊對等角證明，這是證兩角相等的常用方法例2 已知：如圖1，在ABC中，ACB=，于點D,點E 在 AC上，CE=BC,過E點作AC的垂線，交CD的延長線于點F 求證AB=FC. 分析：觀察AB與FC在圖形中的位置，發(fā)現(xiàn)這兩條線段分別位于兩個三角形中，考慮用三角形全等來證明準備三角形全等的條件時，已知一對角一對邊對應(yīng)相等，還需證另一對對應(yīng)角相等；已知條件有直角，故利用同角的余角相等來證.圖1證明：于點，易證.點撥：根據(jù)圖形特

4、征，要證明相等的兩邊分別在兩個三角形中，常利用證明兩邊所在的兩個三角形全等來證在證明兩角相等時，利用了同角的余角相等證明，也可用等角的余角相等來證，但較復雜圖1-2DCEAB圖1-1例3 兩個大小不同的等腰直角三角板如圖1-1所示放置，圖1-2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)求證：ABE=ACD分析：圖1-2是由兩個大小不同的等腰直角三角板構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)圖形，分別從一個等腰三角形取一條腰，夾角為等角加同角，就可構(gòu)成邊角邊對應(yīng)相等的與全等，從而可證全等三角形的對應(yīng)角相等證明：與均為等腰直角三角形,，易證. ABE=ACD點撥：由有公共頂點的兩個等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當分別從一個等

5、腰三角形中取一腰時，可構(gòu)成邊角邊全等三角形；證夾角相等時常用等角加同角的和相等此題可以拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等例4點A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作和，連接AF，CE取AF、CE的中點M、N，連接BM，BN， MN（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，且，則 是 三角形（2）如圖1-2，在和中，若BA=BE,BC=BF,且，則是 三角形，且 .（3）如圖1-3，若將（2）中的繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，那么（2）中的結(jié)論是否成立？ 若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.分析：（1）判斷三角形形狀時，三角形一般是特殊三

6、角形，由已知易知，又可證得MBN=90°，所以MBN為等腰直角三角形（2）圖形中是兩個等腰三角形以公共頂點為中心旋轉(zhuǎn)而成，則一個等腰三角形取一腰，構(gòu)成兩個邊角邊全等三角形 解：（1）等腰直角 （2）等腰 （3）結(jié)論仍然成立 證明：如圖1-3，易證 ABFEBC.AF=CE，AFB=ECB. M,N分別是AF、CE的中點,FM=CN.MFBNCB.BM=BN. MBF=NBC. MBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC=.點撥：在圖形形狀發(fā)生變化時，抓住影響結(jié)論的主要條件是否變化，如果沒有變，則結(jié)論不變；如主要條件變，則結(jié)論變在證明此類問題時，圖形變化后的證明思想或證明方法，常可

7、由特殊（變化前）的證法類比得到（三） 練習：1 如圖1，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，點P在矩形上方，點Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30°；（2）PA=PQACBDPQ圖1圖12如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG(1)求證：BEDG；(2)圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個三角形？若存在，說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請說明理由3.如圖1，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點O.求證：(1) ABCAED；(2) OBOE .圖14. 如圖，將一三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它

8、的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B,另一邊與射線DC相交于Q.當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想圖15如圖1-1，在中，為銳角，點為射線上一點，連結(jié)，以為一邊且在的右側(cè)作正方形（1）如果，當點在線段上時（與點不重合），如圖1-2，線段所在直線的位置關(guān)系為 _ ，線段的數(shù)量關(guān)系為 ；當點在線段的延長線上時，如圖1-3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；FD圖1-3ABDCE（2）如果，是銳角，點在線段上，當滿足什么條件時，（點不重合），并說明理由圖1-2ABDECF圖1-1（四） 總結(jié)：通過本節(jié)課的學習，使學生在對例題、習題分析、證明、總結(jié)

9、反思的過程中，體驗根據(jù)線段和角的位置關(guān)系證明角等和線段相等的方法，即當兩角或兩邊在一個三角形中時，利用等邊對等角或等角對等邊，當兩角或兩邊在兩個三角形中時證明他們所在的兩個三角形全等；體驗由有公共頂點的兩個等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當分別從一個等腰三角形中取一腰時，可構(gòu)成邊角邊全等三角形通過練習拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等，結(jié)論仍然成立老師在用時可將例習題變?yōu)閷W案使用，也可根據(jù)自己的習慣和學生情況增減習題使用教案設(shè)計程序簡單，易于使用者直接使用或改變歡迎提寶貴意見！謝謝！（五） 反思：本節(jié)課例習題編排按照由易到難、有簡單到復雜的順序，符合學生的認知規(guī)

10、律，學生通過課上的體驗、總結(jié)、交流再通過練習進行鞏固，希望達到教學目標附練習參考答案：1 證明：(1)四邊形ABCD是矩形，ACBDPQ圖1ABC=BCD=90°PBC和QCD是等邊三角形，PBC=PCB=QCD=60°，PBA=ABCPBC=30°， PCD= BCDPCB=30°PCQ=QCDPCD=30°PBA=PCQ=30° （2） AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC， PA=PQ2（1）證明：如圖1，正方形和正方形, 圖1 在和中， 圖1（2）存在繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到（或?qū)⒛鏁r針旋轉(zhuǎn)得到） 3證明： (

11、1) 如圖1，BADEAC， BAC=EAD在ABC和AED中 ABCAED(SAS) (2)由(1)知ABC=AED AB=AE ， ABE=AEB OBE=OEB OB=OE4解： PQ=PB 圖1-1 證明： 過P點作MNBC分別交AB、DC于點M、N 在正方形ABCD中，AC為對角線， AM=PM 又AB=MN， MB=PN BPQ=900 ， BPMNPQ=900 又MBPBPM =900 ， MBP= NPQ RtMBPRtNPQ, PB=PQ5（1）垂直，相等； 如圖1-2，當點D在BC的延長線上時的結(jié)論仍成立 由正方形ADEF得 ADAF ，DAF90ºBAC90º，DAFBAC ， DABFAC，又ABAC ，DABFAC ，圖1-2 CFBD ， ACFABDBAC90º， ABAC ，ABC45º，AC