常微分方程習(xí)題及解答

1、常微分方程習(xí)題及解答一、問答題：1 常微分方程和偏微分方程有什么區(qū)別？微分方程的通解是什么含義?答：微分方程就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。常微分方程，自變量的個數(shù)只有一個。偏微分方程，自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上。常微分方程解的表達(dá)式中，可能包含一個或幾個任意常數(shù)，若其所包含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，這樣的解為該微分方程的通解。2 舉例闡述常數(shù)變易法的基本思想。答：常數(shù)變易法用來求線性非齊次方程的通解，是將線性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)來求線性非齊次方程的通解。例：求的通解。首先利用變量分離法可求得其對應(yīng)的線性齊次方程的通解為，然后將常數(shù)變易為的待

2、定函數(shù)，令，微分之，得到 ，將上述兩式代入方程中，得到即 積分后得到進(jìn)而得到方程的通解3高階線性微分方程和線性方程組之間的聯(lián)系如何？答：階線性微分方程的初值問題其中是區(qū)間上的已知連續(xù)函數(shù)，是已知常數(shù)。它可以化為線性微分方程組的初值問題但是需要指出的是每一個階線性微分方程可化為個一階線性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。4若常系數(shù)線性方程組和有相同的基本解矩陣， 則與有什么關(guān)系？答：設(shè)常系數(shù)方程組的基解為，的基解為，由于兩個常系數(shù)線性方程組有相同的基解矩陣，根據(jù)的解的性質(zhì)知，則可得，為非奇異的常數(shù)矩陣。5寫出線性微分方程組的皮卡逐次逼近序列。二、求下列方程（或方程組）的通解（或特解）：1.解：

3、方程可化為，當(dāng)時，是伯努利方程。其中。令，方程可化為，則將代入上面的式子，可得或者也是方程的解。2解：令，則原方程可化為對求導(dǎo)，可得，則那么：或者當(dāng)時，則當(dāng)時，則，那么，可得，其中是任意常數(shù)。3.解：方法一：方程兩端同時乘以，轉(zhuǎn)化為歐拉方程。它的特征方程，特征根為0，0，1.方程的基本解組為故其通解為方法二：令，將方程轉(zhuǎn)化為一階線性方程，解之得。即有，積分得，再積分得其通解為4. 解：原方程可寫成，方程的左邊可寫成則 積分可得， 那么 因為，所以，則 利用常數(shù)變易法可求得方程的解為： 5. 解：特征方程為可得特征值為。對應(yīng)于特征值的特征向量為，對應(yīng)于特征值的特征向量為，對應(yīng)于特征值的特征向量為。令，可得方程組的基解為。三、證明題1給定方程，其中在上連續(xù)，設(shè)是上述方程的任一兩個解，證明極限存在。證明：齊次方程的特征方程為解之得，。所以齊次方程的通解為因為是非齊次方程的兩個解，有解的性質(zhì)可得，是對應(yīng)齊次方程的解，也就是說存在適當(dāng)?shù)某?shù)使得=從而2證明：已知二階非齊次方程對應(yīng)齊次方程的一個非零解，則該方程可以求得通解。證明：對于二階線性方程，經(jīng)過變換，得到再作變換，即這是一個以為未知函數(shù)的一階線性非齊次方程，容易求出它的通解為再積分 則該方程的解可表