連續(xù)時間傅里葉變換

1、第二章 連續(xù)時間傅里葉變換1 周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)FS狄義赫利條件：在同一個周期內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信號絕對可積。任何滿足狄義赫利條件周期函數(shù)都可展成傅里葉級數(shù)。三角形式的FS：展開式：系數(shù)計算公式：直流分量：n次諧波余弦分量：n次諧波的正弦分量：系數(shù)和統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。稱為信號的基波、基頻；為信號的n次諧波。合并同頻率的正余弦項得：復指數(shù)形式的FS： 展開式：系數(shù)計算：系數(shù)之間的關系：奇偶信號的FS：(i) 偶信號的FS：；(實，偶對稱)；(ii) 偶的周期信號的FS系數(shù)只有直流項和余弦項。(iii)奇信號的FS：；(純虛，奇

2、對稱)；(iv) 奇的周期信號的FS系數(shù)只有正弦項。周期信號的傅里葉頻譜：(i) 稱為信號的傅里葉復數(shù)頻譜，簡稱傅里葉級數(shù)譜或FS譜。(ii)稱為信號的傅里葉復數(shù)幅度頻譜，簡稱FS幅度譜。(iii)稱為傅里葉復數(shù)相位頻譜，簡稱FS相位譜。(iv)周期信號的FS頻譜僅在一些離散點角頻率(或頻率)上有值。(v)FS也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為。(vi)FS譜、FS幅度譜和相位譜圖中表示相應頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為譜線、幅度譜線和相位譜線，分別表示FS頻譜的值、幅度和相位(vii)連接譜線頂點的虛曲線稱為包絡線，反映了各諧波處FS頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情況。(viii)

3、稱為單邊譜，表示了信號在諧波處的實際分量大小。(ix)稱為雙邊譜，其負頻率項在實際中是不存在的。正負頻率的頻譜幅度相加，才是實際幅度。周期矩形脈沖序列的FS譜的特點：(i) 譜線包絡線為Sa函數(shù)；譜線包絡線過零點：(其中為譜線間隔)：，或，即當時，。在頻域，能量集中在第一個過零點之內(nèi)。帶寬或只與矩形脈沖的脈寬有關，而與脈高和周期均無關。(定義為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬)2 非周期信號的頻譜分析傅里葉變換(FT)信號f (t)的傅里葉變換：是信號的頻譜密度函數(shù)或FT頻譜，簡稱為頻譜(函數(shù))。頻譜密度函數(shù)的逆傅里葉變換為：稱為FT的變換核函數(shù)，為IFT的變換核函數(shù)。FT與IFT具有唯一

4、性。如果兩個函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個函數(shù)必然相等。FT具有可逆性。如果，則必有；反之亦然。信號的傅里葉變換一般為復值函數(shù)，可寫成稱為幅度頻譜密度函數(shù)，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性；稱為相位頻譜密度函數(shù)，簡稱相位譜函數(shù)，表示信號的相位隨頻率變化的相頻特性。(7)FT頻譜可分解為實部和虛部：(8)FT存在的充分條件：時域信號絕對可積，即。注意：這不必要條件。有一些并非絕對可積的信號也有FT。FT及IFT在赫茲域的定義：；比較FS和FT：FSFT分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值3 典型非

5、周期信號的FT頻譜單邊指數(shù)信號：幅度譜：相位譜：單邊指數(shù)信號及其幅度譜、相位譜如圖1所示。圖1 (a)單邊指數(shù)信號 (b)幅度譜 (c)相位譜(2) 偶雙邊指數(shù)信號：，為實偶函數(shù)。幅度譜：相位譜：偶雙邊指數(shù)信號及其頻譜如圖2所示。圖2 (a)偶雙邊指數(shù)信號 (b)頻譜(3) 矩形脈沖信號： (脈寬為t、脈高為E)，為實函數(shù)。幅度譜：相位譜：矩形脈沖信號及其頻譜如圖3所示。圖3 (a)矩形脈沖信號 (b)頻譜矩形脈沖FT的特點：(i) FT為Sa函數(shù)，原點處函數(shù)值等于矩形脈沖的面積；(ii) FT的過零點位置為；(iii)頻域的能量集中在第一個過零點區(qū)間之內(nèi)(iv) 帶寬為或，只與脈寬有關，與脈

6、高E無關。信號等效脈寬：信號等效帶寬：圖4 (a)信號的等效脈寬 (b)等效帶寬(4) 符號函數(shù)：不滿足絕對可積條件，但存在FT。幅度譜：相位譜：符號函數(shù)及其頻譜如圖5所示。圖5 (a)符號函數(shù) (b)頻譜(5) 沖激信號：均勻譜/白色譜：頻譜在任何頻率處的密度都是均勻的。強度為E的沖激函數(shù)的頻譜是均勻譜，密度就是沖激的強度。單位沖激信號及直流信號的頻譜函數(shù)總結(jié)：FT定義èFT可逆性èçFT可逆性çIFT定義(6) 階躍信號：不滿足絕對可積條件，但存在FT在處有一個沖激，該沖激來自中的直流分量。單位階躍信號及其幅度譜如圖6所示。圖6 單位階躍函數(shù)及其幅度

7、譜4 FT的性質(zhì)線性性：線性性包括：齊次性；疊加性。奇偶虛實性：偶偶奇奇實偶實偶 (FT可變?yōu)橛嘞易儞Q)實奇虛奇 (FT可變?yōu)檎易儞Q)實信號的FT：(實信號可分解為：實偶+實奇)實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)：實實偶+j實奇偶共扼對稱：幅度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù)：實實偶EXP(實奇)虛信號的FT具有奇共扼對稱性：偶共軛對稱或奇共軛對稱的函數(shù)滿足幅度對稱：。實信號或虛信號的FT幅度譜偶對稱，幅度譜函數(shù)是偶函數(shù)。反褶和共軛性：時域頻域原信號f(t)F(w)反褶f(-t)F(-w)共扼f *(t)F *(-w)反褶+共扼f *(-t)F *(w)對偶性：傅里葉正逆變換的變換核函數(shù)是共軛對稱的：；表

8、示按自變量w進行傅里葉變換，結(jié)果是t的函數(shù)。IFT可以通過FT來實現(xiàn)。FT的對偶特性：若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則。尺度變換特性：此性質(zhì)表明：時域壓縮對應頻域擴展、時域擴展對應頻域壓縮。時移特性：時移不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位。與尺度變換特性綜合：(7) 頻移特性：與尺度變換特性綜合：頻譜搬移：時域信號乘以一個復指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復指數(shù)信號的頻率位置處。利用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號達到頻譜搬移目的。(8) 微分特性：時域微分：頻域微分：如果連續(xù)運用微分特性，則(9) 積分特性：時域積分：如果在處有界(或)，則頻域積分：(10)卷積定理：時域卷積定理：頻域卷積定理

9、：(11)時域相關性定理：若是實偶函數(shù)，則。此時，相關性定理與卷積定理一致。自相關的傅里葉變換：。即函數(shù)的自相關函數(shù)與其幅度譜的平方是一對傅里葉變換對）。5 周期信號的FT(1) 正余弦信號的FT：余弦信號和正弦信號的頻譜如圖7所示：圖7 余弦信號和正弦信號的FT(2) 一般周期信號的FT：(i)設周期為的周期信號在第一個周期內(nèi)的函數(shù)為，則(ii) 周期單位沖激序列的FT：FT的對偶性() 沖激串FS為：FT的線性性一般周期信號的FT：(iv)(v) 關系圖：圖8 非周期信號FT與周期信號FS/FT比較6 抽樣信號的FT抽樣信號的FT：理想抽樣前后信號頻譜的變化如圖9所示：結(jié)論1：按間隔進行沖激串抽樣后信號的傅里葉變換，是周期函數(shù)，是原函數(shù)傅里葉變換的分之一按周期所進行的周期延拓。結(jié)論2：時域離散ó頻域周期圖9 理想抽樣信號的FT7 抽樣定理抽樣定理：要保證從信號抽樣后的離散時間信號無失真地恢復原始時間連續(xù)信號（即抽樣不會導致任何信息丟失），必須滿足：信號是頻帶受限的(信號頻率區(qū)間有限)；采樣率至少是信號最高頻率的兩倍。概念(名詞)：抽樣周期：進行理想采樣的沖激串的周期。抽樣頻率：抽樣角頻率：奈奎斯特率：無失真恢復原信