三年級奧數(shù)——周長

1、三年級奧數(shù)周長周長：封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長面積：物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積基本公式：長方形的周長(長寬)，面積長寬正方形的周長邊長，正方形的面積邊長邊長常用方法：對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長和面積，對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法割補成基本圖形，利用長方形、正方形周長及面積計算的公式求解轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法：在轉(zhuǎn)化過程中要抓住“變”與“不變”兩個部分轉(zhuǎn)化后的圖形雖然形狀變了，但其周長和面積不應(yīng)該改變，所以在求解過程中不能遺漏掉某些線段的長度或某部分圖形的面積轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為周長或

2、面積可求的圖形尋求正確有效的解題思路：意味著尋找一條擺脫困境、繞過障礙的途徑因此，我們在解決數(shù)學(xué)問題時，思考的著重點就是要把所需解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題也就是說，在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問題時，我們往往轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，知道最終把它轉(zhuǎn)化成一個或若干個能解決的問題這種解決問題的思想在數(shù)學(xué)中叫“化歸”，它是數(shù)學(xué)思維中重要的思想和方法在幾何中，有許多圖形是由一些基本圖形組合、拼湊而成的這樣的圖形我們稱為不規(guī)則圖形不規(guī)則圖形的面積往往無法直接應(yīng)用公式計算那么，不規(guī)則圖形的面積怎樣去計算呢？對稱、旋轉(zhuǎn)、平移這幾種幾何變換就是解決這類面積問題的手段平移：在平面圖

3、形的計算中，常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進行計算其中，將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移，一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的利用圖形的平移，可以使面積計算問題的解法簡捷明快，頗有新意割補：割補法在我國古代叫“出入相補原理”，我國古代魏晉時期著名的數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中就明確地提出“出入相補，各從其類”的出入相補原理這個原理的內(nèi)容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補所拼湊成的新圖形，它的面積不變對稱：平面圖形中有許多簡單漂亮的圖形都是軸對稱圖形軸對稱圖形沿對稱軸折疊，軸兩側(cè)可以完全重合也就是說，如果一個圖形是軸對稱圖形，那么對稱軸平分這個圖形的面積熟悉軸對

4、稱圖形這個性質(zhì)，對面積計算會有很大幫助代換：在幾何計算中，對有關(guān)數(shù)量進行適當(dāng)?shù)牡攘看鷵Q也是解決問題的已知技巧本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長，體會一種轉(zhuǎn)化思想，重點在于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、割補、差不變原理，通過這些方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會求周長的技巧，提高學(xué)生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力【例1】 下圖表示一塊地，四周都用籬笆圍起來，轉(zhuǎn)彎處都是直角已知西邊籬笆長米，南邊籬笆長米四周籬笆長多少米？【解析】 因為這塊地的東邊和北邊的籬笆轉(zhuǎn)彎處是直角，可以將東西方向的籬笆平移到最外邊得到線段，將南北方向的籬笆平移到最外邊得到線段，則折線的長等于折線的長所以東邊和北邊籬

5、笆的長分別和西邊、南邊的籬笆長相等列式為：四周籬笆長為：(米)【鞏固】(希望杯培訓(xùn)題)右圖的周長是分米【解析】 把那些與水平方向平行的小線段都”放”下來，恰好與底邊一致；把豎直方向的小線段都依次”貼到”左邊，恰好貼滿左邊，因此多有的短橫線的長的和為分米，所有的短豎線的長的和為分米，圖形的周長為(分米)【鞏固】 計算右邊圖形的周長(單位：厘米)?！窘馕觥?要求這個圖形的周長，似乎不可能，因為缺少條件。但是，我們仔細觀察這個圖形，發(fā)現(xiàn)它的每一個角都是直角，所以，我們可以將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動到虛線處(見右下圖)，這樣正好移補成一個長方形。求長方形的周長就易如反掌了。所以圖形的

6、周長是：(厘米)。【例2】 下圖中標(biāo)出的數(shù)表示每邊長，單位是厘米它的周長是多少厘米？【解析】 平移轉(zhuǎn)化為求長方形的周長，長方形的長5+6=11(厘米)，寬1+3=4(厘米)，周長(11+4)2=30(厘米)，(5+6)+(1+3)2=30(厘米)，它的周長是30厘米【鞏固】 如下圖是某校的平面圖，已知線段a120米，b130米，c70米，d60米，l250米楊老師每天早晨繞學(xué)校跑3圈，問每天跑多少米？【解析】 平移法轉(zhuǎn)化為長方形再求(120130+60)(70+250)233780(米)【鞏固】 圖、圖都是由完全相同的正方形拼成的，并且圖的周長是厘米，那么圖的周長是多少厘米？【解析】 圖的周長

7、是小正方形邊長的倍，圖的周長是小正方形邊長的倍，因此，圖的周長為厘米【例3】 下圖的小正方形邊長為1厘米這個圖形的外沿的周長是多少厘米？【解析】 28厘米【例4】 一個周長是20厘米的正方形，剪下一個周長是6厘米的正方形，剩下的圖形的周長是(寫出所有可能的結(jié)果)【解析】 周長為6厘米的正方形的邊長為：(厘米)，周長為20厘米的正方形的邊長為(厘米)，在一個正方形中剪下一個小正方形有兩種情況：對于圖1的周長，與原來正方形的周長相等，為20厘米；圖2的周長，觀察可以發(fā)現(xiàn)，比原來正方形的周長多了兩條小正方形的邊，即為：(厘米)【鞏固】 求右圖的周長【解析】 140厘米【例5】 求下圖的周長【解析】

8、通過平移轉(zhuǎn)化為右上圖，周長等于大長方形周長加上AB、CD的長，即有周長為(50+35)2+102=190(厘米)【例6】 (第七屆”小機靈杯”數(shù)學(xué)競賽初賽)下面兩張圖中，周長較大的是(在橫線上填寫表示圖名的字母)【解析】 通過平移比較發(fā)現(xiàn)比多兩小段邊，得的周長較大【鞏固】 如下圖，正方形操場邊長100米，一只螞蟻沿甲地走了一圈，另一只螞蟻沿乙地走了一圈，誰走的路長？它們各走了多少米？【解析】 我們分別求甲、乙的周長甲的周長可轉(zhuǎn)化為長方形周長(如圖)，即為(100+50+30)2=360(米)再求乙的周長乙的周長等于長方形周長加上2個30米，即為(100+50)2+302=360(米)所以它倆走

9、的一樣長【鞏固】 求右圖所示圖形的周長(單位：分米)【解析】 這道題最簡單的方法也是用平移法來解下面我們來看一個基本解法這是一個組合圖形，由兩個矩形組成，不要誤認為兩個矩形周長的和就是組合圖形的周長仔細觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：右邊矩形的右邊邊長可以移到左邊，這樣就可以使左邊的矩形變得完整所以，這個組合圖形的周長就是左邊矩形的周長再加上右邊矩形的一條已知邊長的倍即：(分米)【例7】 如圖是一個機器零件的側(cè)面圖，圖中每一條最短線段長5厘米，這個零件高30厘米，求這個零件側(cè)面的周長是多少厘米？【解析】 采用平移，零件側(cè)面的周長等于長方形周長加上內(nèi)部10條最短線段長，即(57+30)2+510=180(厘米

10、)【例8】 下圖是一面磚墻的平面圖，每塊磚長20厘米，高8厘米，像圖中那樣一層、二層一共擺十層，求擺好后這十層磚墻的周長是多少？【解析】 我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^平移轉(zhuǎn)化為長方形來求長方形的長是10塊磚的長度，即2010=200(厘米)，寬是10塊磚的寬度，即810=80(厘米)，所以十層磚墻的周長是(200+80)2=560(厘米)【鞏固】 把長2厘米、寬1厘米的長方形磚塊擺成如圖的形狀，求該圖形的周長？【解析】 66厘米【例9】 右圖是由個同樣大小的正方形組成的，如果這個圖形的面積是平方厘米，那么它的周長是多少厘米？【解析】 考慮此類問題我們即可以局部分析，各個突破，也可以縱觀全局整體思考每個正方

11、形的面積為(平方厘米)，所以每個正方形的邊長是厘米觀察右圖，這個圖形的周長從上下方向來看是由條正方形的邊組成，從左右方向來看是由條正方形的邊組成，所以其周長為厘米【鞏固】 下圖是由邊長為1厘米的11個正方形堆成的“土”字圖形試求出其周長【解析】 周長是由24條1厘米的邊長組成，所以周長=124=24(厘米)【例10】 如圖所示，一個大長方形被三條線段分成了四個小長方形，各條線段長度見圖(單位：厘米)求：圖中所有長方形的周長之和【解析】 類似于上題，題目中所說的長方形，并不只包括最小的幾個長方形，因此需要先求出每條線段在求和過程中被累加了多少次因為沒從大長方形的長上找到一條線段，就能對應(yīng)地找到大

12、長方形內(nèi)的一個長方形，所以可以利用上一個問題的結(jié)論來解決這個問題當(dāng)然，要考慮到，每個長方形都有兩條長和兩條寬，因此計算過程中應(yīng)該注意不要漏算先考慮大長方形的長上各邊：應(yīng)用上一道題目的結(jié)論，每條邊上長為4、3、1、2的線段分別被計算了4、6、6、4次然后再考慮大長方形的寬：因為共有個長方形，所以長度為2的寬被計算了（次）故總周長可以用下式計算得到：（厘米）【鋪墊】求圖中所有線段的總長(單位：厘米)【解析】 要注意到，題目所求的是圖中所有線段的總長，而圖中的線段，并不僅僅是、四段，還包括、等等，因此不能簡單地將圖中標(biāo)示的線段長度進行求和同時應(yīng)該注意到，；，等等因此，為了計算圖中所有線段的總長，需要

13、先計算AB、BC、CD、DE這四條線段分別被累加了幾次這里，可以按照每條線段分別是由幾部分組成的加以討論：由1段組成的線段共有4條，即AB、BC、CD、DE，而求和過程中AB、BC、CD、DE這四條線段各被累加了1次類似地考慮到，由2段組成的線段共有3條，求和過程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次由3段組成的線段共有2條，求和過程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次由4段組成的線段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被計算了1次綜上所述，AB、DE各被計算了4次，BC、CD各被計算了6次因而圖中所有線段的總長度為：(厘米)【例11】 如圖，正方形的邊長為，被

14、分割成如下個小長方形，求這個小長方形的所有周長之和【解析】 【鞏固】（“希望杯”第一試）如右圖，正方形的邊長是厘米，過正方形內(nèi)的任意兩點畫直線，可把正方形分成個小長方形。這個小長方形的周長之和是多少厘米？【解析】 從總體考慮，在求這個小長方形的周長之和時，、這四條邊被用了次，其余四條虛線被用了次，所以個小長方形的周長之和是：（厘米）?！纠?2】 邊長是厘米的個正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是多少？【解析】 想一想，把幾個正方形拼合在一起，拼出的長方形的周長與所有正方形的周長相差多少呢？由個大小相同正方形拼成一個長方形，只有一種拼法，就是把三個正方形排成一排于是拼成的長方形的長是厘米，寬

15、是厘米所以長方形的周長是：(長寬)(厘米)【鞏固】 兩個大小相同的正方形拼成了一個長方形，長方形的周長比原來的兩個正方形周長的和減少了厘米，原來一個正方形的周長是多少厘米？【解析】 先想一想，減少的厘米相當(dāng)于正方形的幾條邊的邊長呢？把兩個正方形拼成一個長方形時，拼成的長方形的周長比原來兩個正方形的條邊減少了條邊(如圖所示)而這兩條邊的和正好是減少的厘米，所以，正方形的邊長是厘米，原來一個正方形的周長是厘米所以原來一個正方形的周長是：(厘米)【總結(jié)】通過這個例題，可以看出，求組合圖形及一些特殊圖形的周長與面積，一定要仔細觀察，善于發(fā)現(xiàn)其中內(nèi)在的聯(lián)系，找出未知與已知的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化，從而得到解決

16、下面我們來學(xué)習(xí)幾種求幾何圖形周長和面積的技巧【例13】 (年”希望杯”第一試)右圖中的陰影部分是正方形，線段長厘米，線段長厘米，則長方形的周長是厘米【解析】 本題需要注意，長方形的寬應(yīng)等于正方形的邊長由于圖中陰影部分是個正方形，其四條邊的邊長都相等，且等于長方形的寬的和應(yīng)為長方形的長加上正方形的邊長，所以等于長方形的長與寬之和所以長方形的周長為：厘米【鞏固】 如圖，在長方形中，是正方形已知，求長方形的周長【解析】 通過觀察發(fā)現(xiàn)是長方形的長與寬，所以長方形的周長是()【例14】 如右圖所示，在一個正方形內(nèi)畫中、小兩個正方形，使三個正方形具有公共頂點，這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和形區(qū)域乙

17、和丙甲的周長為厘米，乙的邊長是甲的周長的倍，丙的周長是乙的周長的倍，那么丙的周長為多少厘米？長多少厘米？【解析】 乙的周長實際上是正方形的周長(我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移)，同樣的，丙的周長也就是正方形的周長由于，所以丙的周長為厘米，(厘米)【例15】 用若干個邊長都是厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個？【解析】 大平行四邊形上、下兩邊的長為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個平行四邊形的邊，所以共有小平行四邊形個，而三角形的數(shù)量與小平行四邊形的數(shù)量相等，也是個【鞏固】 用若干個邊長都是厘米的平

18、行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個？【解析】 大平行四邊形上、下兩邊的長為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個平行四邊形的邊，所以有三角形個，小平行四邊形個【例16】 有個小長方形，它們的長和寬分別相等，用這個小長方形拼成的大長方形(如圖)的面積是平方厘米，求這個大長方形的周長【解析】 從圖上可以知道，小長方形的長的倍等于寬的倍，所以長是寬的倍每個小長方形的面積為平方厘米，所以寬寬，所以寬為厘米，長為厘米大長方形的周長為厘米【鞏固】 右圖的長方形被分割成個正方形，已知原長方形的面積為平方厘米，求原長方形的長與寬【解析】 大正方形邊長的倍等于小正方形邊長的倍，所以大正方形的邊長是小正方形邊長的倍，大正方形的面積是小正方形面積的倍，所以小正方形面積為平方厘米，所以小正方形的邊長為厘米，大正方形的邊長為厘米，原長方形的長為厘米，寬為厘米【例17】 馮大叔給兒子做玩具用個一樣大的小長方形拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖案甲是一個正方形，圖案乙是一個大的長方形；圖案甲的中間留下了邊長是的正方形小洞求小長方形的長和寬？【解析】 由甲圖可以看出小長方形的長加上小正方形的邊長等于小長方形的兩個寬，由乙圖可以看出，設(shè)小長方形的寬為