證明數(shù)列不等式之放縮技巧及縮放在數(shù)列中的應(yīng)用大全

1、證明數(shù)列不等式之放縮技巧以及不等式縮放在數(shù)列中應(yīng)用大全證明數(shù)列型不等式，其思維跨度大、 和挑戰(zhàn)性。這類問題的求解策略往往是: 特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.一、利用數(shù)列的單調(diào)性構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu),深入剖析其例 1.證明：當(dāng) n 之6,nwZ 時，n(n +2) <1 .2n證法一：令cn = n(y2) (n >6)，則 cn4cn =(n 1)(n 3) n(n 2)所以當(dāng)n之6時，a中a .因此當(dāng)n之6時,2n 16 82ncn - c6 = T64旦：1.4于是當(dāng)n至6時，號"證法二：可用數(shù)學(xué)歸納法證.(1)

2、當(dāng)n = 6(2)假設(shè)當(dāng)n =k(k之6)時不等式成立，即6 (6 2)，26k(k 2)1 I.2竺=芻1成立.64 4則當(dāng)n=k+1時,(k 1)(k 3) k(k 2) (k 1)(k 3)2k 1由(1)、(2)所述,當(dāng)n6時,2kn(n 1);：二 1.222k(k 2),1.(k 2)L2k二、借助數(shù)列遞推關(guān)系例2.已知an =2n-1.證明:-1a2-Ill a3an 1證明:12n 1 -12n -1an11 S a2a3例3.已知函數(shù)f(x)=試比較(2)設(shè)數(shù)列分析:an 1< + - +a22 a2n -1a25 2x,設(shè)正項(xiàng)數(shù)列16 -8x5an與的大小，并說明理由

3、;4an1滿足 a1=l , %由=f (an ).I 1 滿足 bn =1 - an41 一記Sn=乙bi.證明：當(dāng)n>2時,SnV (2 id4比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)因?yàn)?an A0,an+0,所以 16 8an >0,0 <an <2.因?yàn)橐?6_8an 4,5、48(an - 4)332(2-an)2a n4,因?yàn)? -an A0,所以an卡2 -an5an 一一同方,45 a14<0,a2<0, a3 <0,，an45< 0,即 an <4一 5(2)當(dāng) n 之2 時，bn =5

4、 -ann 4 n2 2-a2 2-ambn 1 = 2b所以 bn <2 bn22 0 2 ：,W ；2nb,11所以 Sn -b1 b2 HI bn423 .n1(1-2n)41 -2(2n -1).一 ，一一1例4.已知不等式-2.1 .-T" "T"311+ a-log 2 n,其中n為不大于n 22的整數(shù)，log2 n表布不超過102 g的整數(shù)。設(shè)項(xiàng)為正a1 = b(b 0), an _nan(n - 2).證明:證明:由ananan 1n annan/曰得：n and1.1 (n -2), n以上各式兩邊分別相加得:anb n n -1an ：:

5、：2b2 b1og 2n三、裂項(xiàng)放縮例5.求證:6n(n 1)(2n 1)二1an ：二2b2 blog 2 n'n =3,4,5：ana1 nn -1a2a1解析：因?yàn)?2 :n 2nV 111乂 1 1 1 一L24 9 n211b 210g2n =2 b1og 2 n2b(n -3).、所以2n -1 2n 1治 門"1-12n -1 2n 111-1 2 3 3 4=1n(n 1)當(dāng)n之3時，n 6n ，當(dāng)n =1時， 6n 1十1十1).十1 , 門 (n -1)(2n 1)(n - 1)(2n - 1) -4 9 F當(dāng) n=2 時，6n .1J 4-1，所以綜上有

6、6n.1.1 .15.<1 "T"- -T-十 "T"-2- V I -T- T T"T-2 工一(n 1)(2n 1) '4 9 n(n - 1)(2n 1) -4 9 n 3I .1例 6.已知 an =2n +1 f(x)=2xi 求證：Tn=b1f(1) + b2f (2)十+bnf(n)<.2n 1 1 - 2n 1162n 1 2n 1 1 2 2n 1 2n 1 1證明：由于 bnf n =1 2n 1 =-2n 1 212,1111111Tn=bf(1)也 f(2)+川+b1f(n)-,2 +23 + + -

7、11II 21(,1 -2 1 221 22 1 232n 1 2 Tn 12 12 2例7.已知f (X) = X數(shù)列an的首項(xiàng)a1求證:an書 >an ;(2)求證:1 nA6時1廊12 , an 1 二 f(an).1 1+ +1 a21 an:二 2證明:(1)2an 由一anan，a11.一，一 a2,a3, 2>0, an書 > an .(2)an 11a2 an故+an(1 an)1anan1a11 a21ana111-"r a2a2a3an 1a1an -1二2-二an 1_ ,1,2, a2 -(2)-(當(dāng)23 一(4)3+ >1,又 n 之

8、2 an 由 a an , 4an 1二 a3 1 .四、分類放縮<2 ,11 1 :二-1 a11 a21例8.當(dāng)n至3, n w Z,時，求證：1 + +2證明：當(dāng)n=1, n =2時不等式顯然成立.11"T- "T"34J J2n -12例9.11.3 41n2 -11/11、 / 1+一十(-2+一2)十(22223231、+,十)2n已知an =22nI -(-1)n.證明：對任意整數(shù) m3111>4,有+a4 a5分析：不等式左邊很復(fù)雜，要設(shè)法對左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放縮，使之能夠求和。a4a5am3111= 3-+-+巾+f，如果我們把上式2

9、22 .1 23 12心一(一1)中的分母中的土1去掉，就可利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知:1111+ > +22 -123 122231111T37 ' -4 3 K . 421 2-122一一人 1,因此，可將二保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮,2 -1即可求和。這里需要對 m進(jìn)行分類討論，(1)當(dāng)m為偶數(shù)(m >4)時,a41+a5am a4,11、，11、13, 11()()<-(a5a6amam22 221311、137二 一一(1 - m 4) :二一,一 二 一2 242m 28

10、8(2)當(dāng)m是奇數(shù)(m a4)時，m + 1為偶數(shù),a4a5am a4 a5 a6am am 17:一.811所以對任意整數(shù) m>4,有，十，十十a(chǎn)4a5am五、利用函數(shù)單調(diào)性(導(dǎo)數(shù))放縮例 10.已知函數(shù) f (x) =x-ln (1+x )數(shù)列an滿足 0 <a <1, an41=f(an)；數(shù)列bj滿足 b =Lbn+ 2(n +1)bn, n w N*.求證: 22(I ) 0 <an+ <an <1; ( II ) an 由 <a-;(出)若 a1 = 2 ,則當(dāng) n > 2 時，bn 22an n!.分析：第(1)問用數(shù)學(xué)歸納法證明；

11、第(2)問利用函數(shù)的單調(diào)性；第(3)問進(jìn)行放縮。 _ . *證明：(I)先用數(shù)學(xué)歸納法證明 0<an<1,nWN .(1)當(dāng)n=1時，由已知得結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即0 < ak <1 .則當(dāng)n=k+1時，一1 x 一 因?yàn)?Vx<1時，f (x) =1 => 0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)x 1 x 1又 f(x)在 10,1】上連續(xù)，所以 f(0)<f( ak)<f(1),即 0<ak書 <1 ln2 <1.故當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.即0 <an <1對于一切正整數(shù)都成立又由 0

12、can <1,得an書- an =an ln(1+an )an =-ln(1+an) <0,從而 an4 can.綜上可知 0 ： an 1 ： an ： 1.22X 一 X(n)構(gòu)造函數(shù) g(x)= -f(x)= 一+ln(1+x)x, 0Vx<1,222,x由 g (x) 一 01 x,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在0,1上連續(xù)，所以g(x)>g(0)=0.an2因?yàn)? <an <1，所以g(an )a0,即萬2 anf (an )>0,從而 an書 < 11b n 1(出)因?yàn)閎1二 ,bn4之一(n+1)bn,所以bn &g

13、t;0,也之22bn2所以bn ='也|殳1bln!bnbn/ b 2n由(n)2an 加an由 < ，知:2an 1ananan a2 a3. j一，所以 一二一 一 I2a1a1 a2an,史當(dāng) h外an2 22因?yàn)閍10 :二 an 1 :二 an：二 1.所以an<2 a；2n由兩式可知：bnan n!.例 11.求證：ln2+ln3+ln4+ +Jn33nn-：3造函數(shù)5n 6*(n 二 N ).6有 In xIn xx-1- x1-1-(2In2 In 3 In 4+ + +234因?yàn)橐?J，一 二1二一 .一 .一 .一.一. .12 33n 23456789

14、2n 2n -13n5 3 3-9 -9- - - 3 工亡 =5n6 6 918 272 3n1 3n6所以 史.螞.InJ . .In.31 ：.3n _1 一旦=3。_旦二 2343n66高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)， 且多是在壓軸題 中出現(xiàn)。放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法，它綜合性強(qiáng)，形式復(fù)雜，運(yùn)算要求高，往往能考查考生思維的嚴(yán)密性，深刻性以及提取和處理信息的能力， 較好地體現(xiàn)高考的甄別功能。本文旨在歸納幾種常見的放縮法證明不等式的方法，以冀起到舉一反三，拋磚引玉的作用。一、放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。2例1. bn滿足：匕21彌平=4

15、2泡+3(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn至n(2)111+3 bl 3 b2 3 b31+,求證:3 bnTn解：(1)略(2):'bn. 3由。-可 2g 3)*二 bn書 +3 之2(bn +3) , nW N迭乘得：bn 3 _2nJ(b1 3) -2n 1bn 31*卞，n N1111,T < 2 2ndn 2 22§2 42n 1點(diǎn)評：把握“ bn +3”這一特征對“ bn書=bn2 (n 2)bn +3”進(jìn)行變形，然后去掉一個正項(xiàng)，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項(xiàng)或者用數(shù)學(xué)歸納法，似乎是不可能的，為什么？值得體味！ 二、放縮后裂項(xiàng)迭加1例2.

16、數(shù)列an , an =(-1)一,其前n項(xiàng)和為Snn2求證：S2n :二一2-1 1 1斛：S2n =1-2 GN2n-1 2n2n(2n -1)bn的前n項(xiàng)和為Tn,1111bn - 二 一 ( 一2n(2n -2)4 n-1 n丁 1111111111,1S2n =Tn()().(212304 344 564n-171210 4n點(diǎn)評：本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數(shù)，也是常用的放縮手 法。值得注意的是若從第二項(xiàng)開始放大，得不到證題結(jié)論，前三項(xiàng)不變，從第四項(xiàng)開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。b例3.已知函數(shù)f(x) =ax+b+c(a >0)的圖象在(1

17、,f (1)處的切線方程為xy = x -1(1)用a表示出b,c(2)若f(x)至lnx在1,+w)上恒成立，求a的取值范圍(3)證明:111n1. ln( n 1)2 3 n2(n 1)解:(1) (2)略1(3)由(II )知：當(dāng) a 之時，有f (x) > ln x(x > 1)2.1 ,11令 a = a,有f (x) = (x -一)2 ln x(x >1).11.且當(dāng) x . 1時，(x ) ln x. 2 x令 x=k,<ln<1k- = 1(1+1)-(1-), kk 2 k k 12 k k 1幡111、即 ln(k 1)-lnk (), k = 1,2,3, ,n.2 k k 1將上述n個不等式依次相加得11112(n 1) ,n2(n 1)ln(n 1)()223n整理得1111 -111ln(n 1)-23n點(diǎn)評：本題是2010湖北高考理科第 21題。近年，以函數(shù)為背景建立一個不等關(guān)系，然后對變量進(jìn)行代換、變形，形成裂項(xiàng)迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢, 應(yīng)特別關(guān)注。當(dāng)然，此題還可考慮用數(shù)學(xué)歸納法，但仍需用第二問的結(jié)論。三、放縮后迭乘1例4. ai=1,an=N（1+4an+7TT24a；）（nwN ）.(1)求 a2,a3(