二次根式化簡地方法與技巧

1、實用標準二次根式化簡的方法與技巧二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進行二次根式的化簡與運算時，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式 a b = ab a _ 0,b - 0對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算.二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項.運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法所謂轉(zhuǎn)化：解數(shù)學(xué)題的常用策略。常言道：“兵無常勢，水無常形?！蔽覀冊诮馇ё?nèi)f化的數(shù)學(xué)題時，常常思維受阻，怎么辦？運用轉(zhuǎn)化策

2、略，換個角度思考，往往可以打 破僵局，迅速找到解題的途徑。二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握 基本概念和運算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，約 分、合并是化簡二次根式的兩個重要手段，因此我們在化簡二次根式時應(yīng)想辦法把題目 轉(zhuǎn)化為可以約分和和可以合并的同類根式。現(xiàn)舉例說明一些常見二次根式的轉(zhuǎn)化策略。一、巧用公式法a -2 ba b a。b例1.計算4a-匯分析：本例初看似乎很復(fù)雜，其實只要你掌握好了公式，問題就簡單了，因為4a與 而 成立，且分式也成立，故有 a >0,b >0, «,a-7b0)而同時公式：

3、 (abf = a22ab + b2,a2b2 = (a+b)(ab),可 以 幫 助 我們 將 a 2廟 +b和a -b變形，所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡單。解：原式:-:-2'1-:-1-:- a - b (% a b)( a - b)a- b a=( a - b)a - b)=2a2b二、適當配方法。3 2 2 -3-6例 2 .計算：1 *72 -73分析：本題主要應(yīng)該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點， 二.分母含有1 + J2 - J3其分子必有 含1+J243的因式，于是可以發(fā)現(xiàn) 3 + 2J2 =(1+42 2 ,且J3+J6 = J3(1+J2 ), 通過因式分解

4、，分子所含的 1+V2 -J3的因式就出來了。解：原式32 22 -J3J6122 - V?二（122）2 - j3（lLT）122 - 73二122三、正確設(shè)元化簡法。2 6例3 :化簡J2 + <3 +西分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替數(shù)字化簡法，通過化簡替代，使其變?yōu)楹唵蔚倪\算，再運用有理數(shù)四則運算法則的化簡分式的方法化簡， 例如：J2 = a, J5=c, J3 = b,ab = 76,正好與分子吻 合。對于分子，我們發(fā) 現(xiàn)a2+b2 = c2所以2.222.22a +b -c =0,于是在分子上可加 a +b -c =0,因此可能能使分子也有望化為含有a +b +c

5、因式的積，這樣便于約分化簡。解：設(shè)，2 = a, . 3 = b, 5 = c,則 2ab =2.6,且 a2 b2 -c2 =0所以：2aba b c_2222ab a b - ca b c（a + b）2 - c2a b ca b c a b - ca b c二 a b - c=72 3 - 5四、拆項變形法 .7 2 65例4,計算U5 + J6而+后）分析：本例通過分析仍然要想到，把分子化成與分母含有相同因式的分式。通過約a b 11分化簡，如轉(zhuǎn)化成： ab =1 +再化簡，便可知其答案。 ab a b解：原式二、5 16、6 、7v 5 v 6 、6、7，5、667= 十 ._% 5

6、, 6 % 6 7、5% 6 67111= + 、5 V 6*6 V 7= 6 - 5 V 7 - 6= 7 - 5五、整體倒數(shù)法。.5.3 .31例 5、計算 55+233 +1a b 11化簡但還要分析：本例主要運用了變倒數(shù)后，再運用有關(guān)公式："b =1 +1 ,ab a b通過折項變形，使其具有公因式。解：設(shè)A.5 x3 .3 1、5 2,3 1精彩文檔V52 J 35“3"31v57 s J 31* 37 3111.3 317 5 v 3J3 - 1J 5 - U322v 5 。12.5 12，2所以A =.5 -1借用整數(shù)“1”處理法。1 3、2 - 2 3例6、

7、計算也十久十屈分析：本例運用很多方面的知識如：1=口3 +，2!t/3 J2和.(a b)x,2, 2a . b = a -b ,然后再運用乘法分配率，使分子與分母有相同因式，再約分化簡。 解：原式3 3 22. 33-22. -32 2-2332233 66% 3 、2 3 -、2 6 % 3 - 22 J3 66( 3 -2)( .3 - 22 6),3%26=% 3 - 一 2六.恒等變形整體代入結(jié)合法1 1例7：已知x = (J7 + J5) , y = (47 - V5),求下列各式的值。2 2(D x2 -xy y2 ； (2) - y x分析：本例運用整體代入把x+y與xy的值分

8、別求出來，再運用整體代入法將x+y與xy代入例題中，但一定要把所求多項式進行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式，如x2 xy + y2 =(x + y)2 -3xy ,然后再約分化簡。解：因為：x = 1(" + <5), y = (V7 - <5),22所以：x + y=J7,xy=。222x - xy y2=(x y ) - 3 xy二 (、7)23 1£22L 工y x22x y xy2-_ x y - 2 xy xy(U7 )2-21一 2.12=1 2七、降次收募法：八2- 一例8、已知x=2+%：3,求3x 2x 5的值。2x -7分析：本例運用了

9、使題中2次募項轉(zhuǎn)化成 1次方的項再化簡。如例題中把多項式2x + 4x -1轉(zhuǎn)化為4x-1,這樣進行低次哥運算就容易了。I解：由 x=2+d3，得x2=、；3。（x2）2=3 整理得：x2 = 4x 1。所以：3x2 -2x 5=3(4x-1) - 2x 5= 10(2 J3) 2=22 10x32x-7 = 2(2 3)-7 = 2：3-3所以原式22 - 10 v 32 J3 - 3, c 74 73二 423二次根式的化簡與計算的策略與方法1.公式法x + y + 2而ab-b2【解后評注】以上解法運用了 “完全平方公式”和“平方差公式”,從而使計算較為簡便.2.觀察特征法25,-3及【

10、例2】計算：2 + 72-76【方法導(dǎo)引】若直接運用根式的性質(zhì)去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以招，即得分子，于是可以簡解如下：【解】原式2 +、泛-#.【例3】把下列各式的分母有理化.6:丘瓜+1 +(1)- 匠;而+ E (1>1)【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子 將有三個因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母， 再化簡.但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中 Jx-1的系數(shù)若為“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了

11、！因此，可以解答如下：=1+ G【解】原式T_ + /&&7)(石+Q +工-力:丘+1 -&J/ T -x + 1 3 11 p-;=1 += - - x + Vx -122 223 .運用配方法【例4】化簡【解】原式=也-2貶+ l=J（、0-2x顯xl1-夜=4后1=72-1【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負數(shù)，顯然不能等于“4 .平方法【例5】化簡46-汪+丘汪二第十2乖*引用閡+ 6+厚=12+ 2/1-35=7斤春+而后河【解后評注】對于這類共軻根式 值-必 與1+五 的有關(guān)問題，一般用平方法都可 以進行化簡5 .恒等變形公式法【例6】化簡的+后

12、同+（下-后府【方法導(dǎo)引】若直接展開，計算較繁，如利用公式 一一 ' ,'十'則使運算簡化.【解】原式=/ *（應(yīng)-河+依-（夜-制=2j +版-扁=2x（3+g-4招）= 22-8 出6 .常值換元法【例7】化簡J1993x1999瓶000豆001 +1【解】令1998 =。,則：原式:一,一：，"=Jp +35 儲；% + 2»1二，廿 + 3af + 2廿 + 3鼻）+1=+ 35 + 1丫二 J+3 什 1=19 冰+3x1998+1=39979997 .裂項法1 11Al+ + +A +【例8】化簡1+質(zhì)夜+招-3 + 499+100【解】

13、原式各項分母有理化得原式一 ：P J :不尸尸， L=100 _1 = 10-1:= 9【例9】化簡2 + 27+7104+ 2/13+ 10即+、同2+初（向底4 +何【方法導(dǎo)引】這個分數(shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和，于是則有如下簡解：_（2 +蟲+疝/垂十洞+炳【解】原式= + , +行+廂 2 + 77、位+而 4 + %位廂-不6-2 ./13-./10 4-713=+3333=；麻-、斤+石-2 +岳-而+ 4-呵=g8 .構(gòu)造對偶式法線 + 2 +-4 w +2 + .-4【例10】化簡片+2' 7 月+ 2+。"-4【解】構(gòu)造對偶式，于是沒儀="2 + 冊-4 , b=/2-歸-4則4+b=2程+ 4,威=4然+8,處=2缶+5)=«+2-2 = ?39 .由里向外，逐層化簡J1998-/1997 J1996V1995 x 1993 + 1 + 1 + 1 + 1【解】, ',',/ '",- '-1719947 = 1994而一一二，下 71997x1995 + 1 = .1996 刁（199