數(shù)學(xué)運算之?dāng)?shù)的整除性專題

1、數(shù)學(xué)運算之?dāng)?shù)的整除性專題數(shù)學(xué)運算之?dāng)?shù)的整除性專題1、數(shù)的整除性質(zhì)：(1)對稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。(2)傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。(2) 若兩個數(shù)能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。(3) 幾個數(shù)相乘，若其中有一個因子能被某一個數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。(4) 若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。(5) 若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。(6) 若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能

2、整除這兩個自然數(shù)中的一個。2、數(shù)的整除特征：一個數(shù)要想被另一個數(shù)整除，該數(shù)需含有對方所具有的質(zhì)數(shù)因子。(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。(2)若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。 (3)若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3（9）整除，則這個整數(shù)能被3（9）整除。 (4) 若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4（25）整除，則這個數(shù)能被4（25）整除。 (5)若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。 (6)若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。 (7)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。(8

3、)若一個整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8（125）整除，則這個數(shù)能被8（125）整除。 (9)若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。 (10)若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。（不夠減時依次加11直至夠減為止）。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。 (11)若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。 (12)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。 一個三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只須看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)

4、字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11或13）整除。另法：將一個多位數(shù)從后往前三位一組進行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7（11或13）整除，則原多位數(shù)也被7（11或13）整除。(13)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。(14)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。 (15)若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。 (16)若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19

5、整除。 (17)若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整除。例題1.(2007年中央第60題)有一食品店某天購進了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購進了()公斤面包。A.44 B.45 C.50 D.52【解析】本題是整除運算題目。由題意可知，6箱食品共重102公斤，設(shè)賣出的一箱面包為x公斤，又由于剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，所以(102x)應(yīng)是3的倍數(shù)，并且(102x)÷3應(yīng)是其余5箱中一箱的重量或幾箱重量的和。只有

6、當(dāng)x27時符合條件，此時共有面包27(10227)÷352公斤。故選D。例題2.(2006年中央(一類)第50題，(二類)第34題)一個三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有()。A.5個 B.6個 C.7個 D.8個【解析】本題要運用整除運算。根據(jù)“除以5余2”，可知該數(shù)的尾數(shù)為2或7；而根據(jù)“除以4余3”，可知其尾數(shù)只能為7，根據(jù)“除以9余7”，該數(shù)可以表示為9x7，其中x的范圍為11至110；其中尾數(shù)為7的有9y7，其中y的范圍為20至110，經(jīng)檢驗可知，當(dāng)y為30、50、70、90、110時，該三位數(shù)仍不能符合“除以4余3”的條件，即只有當(dāng)y為20、40、

7、60、80、100時，該三位數(shù)才滿足三個條件，因此共有5個三位數(shù)。故選A。例題3：求一個首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。分析：由于要求被9整除，可只考慮數(shù)字和，又由于要求最小的，故從第二位起應(yīng)盡量用最小的數(shù)字排，并試驗?zāi)┪粩?shù)字為哪個數(shù)時，六位數(shù)為9的倍數(shù)?！窘馕觥恳粋€以5為首位數(shù)的六位數(shù)，要想使它最小，只可能是501234（各位數(shù)字均不相同）。但是501234的數(shù)字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍數(shù)，故只能將末位數(shù)字改為7，這時， 5+0+1+2+3+7=18是9的倍數(shù)，故501237是9的倍數(shù)。即501237是以5為首位，且是9的倍數(shù)的最小六位數(shù)

8、。例題4：從0、1、2、4、7五個數(shù)中選出三個組成三位數(shù)，其中能被3整除的有 幾個？【解析】三位數(shù)的數(shù)字和字和應(yīng)被3整除，所以可取的三個數(shù)字分別是： 0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。 于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18個例題5：某個七位數(shù)1993能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依次是多少？【解析】這個七位數(shù)能被2、3、4、5、6、7、8、9整除， 所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)整除。 這個最小公倍數(shù)是5*6*7*8*9=2520。1993000/2520=790.22002520-2200=320 所以最后三位數(shù)依次是3、2、0。例題6：十個連續(xù)的自然