專(zhuān)題一用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類(lèi)

1、用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類(lèi)型求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為下面例析四種常見(jiàn)的類(lèi)型及解法類(lèi)型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類(lèi)題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線在點(diǎn)處的切線方程為（） 1解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選練習(xí)：1設(shè)f(x0)0，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線()A不存在B與x軸平行或重合C與x軸垂直 D與x軸斜交答案B2.已知函數(shù)yf(x)的圖像如右圖所示，

2、則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)>f(xB)Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能確定答案B2曲線y2x21在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率是()A4B0C4 D不存在答案B10已知曲線y2x3上一點(diǎn)A(1,2)，則A處的切線斜率等于()A2 B4C66·x2·(x)2 D6答案D4函數(shù)ysin2x的圖像在處的切線的斜率是()A. B.C. D.答案D分析將函數(shù)ysin2x看作是由函數(shù)yu2，usinx復(fù)合而成的解析y2sinxcosx，y|x2sincos2曲線yx32在點(diǎn)(1，)處切線的傾斜角為()A30° B45&#

3、176;C135° D60°答案B6yx3的切線傾斜角的范圍為_(kāi)答案0，)解析ky3x20.8設(shè)點(diǎn)P是曲線yx3x上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線傾斜角為，則角的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析由y3x2，易知y，即tan.0<或<.14已知曲線C：yx3，求在曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程解析將x1代入曲線C的方程得y1，切點(diǎn)P(1,1)y 3x23xx(x)23x2，y|x13.過(guò)P點(diǎn)的切線方程為y13(x1)，即3xy20.14求曲線ysinx在點(diǎn)A(，)處的切線方程解析ysinx，ycosx.y|xcos，k.切線方程為y(x)化簡(jiǎn)得6x12y6

4、0.6曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1答案D例3求曲線y在點(diǎn)(4，)處的切線方程【思路分析】將函數(shù)變形為y(x23x)，將其看做是由函數(shù)yu、ux23x復(fù)合而成【解析】y(x23x)，y(x23x)·(x23x)(x23x)·(2x3)曲線y在點(diǎn)(4，)處的切線斜率為ky|x4(423×4)·(2×43).曲線在點(diǎn)(4，)處的切線方程為y(x4)，即5x16y280.探究3本題不要將函數(shù)y看做是由y，u，vx23x三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，這樣求導(dǎo)就麻煩了思考題3(1)曲線y在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為

5、_【答案】3x2y10(2)y的水平切線方程是_【解析】令y0，得x0，y1.12求曲線y2xx3在點(diǎn)(1，1)處的切線的方程及此切線與x軸、y軸所圍成的平面圖形的面積答案xy20；28曲線ye x在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.e2 B4e2C2e2 De2答案D解析y·e x，切線的斜率ky|x4e2.切線方程為ye2e2(x4)橫縱截距分別為2，e2，Se2，故選D.11已知函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.答案3解析f(1)，f (1)×12，f(1)f(1)3.5如圖是函數(shù)f(x)及f(x

6、)在點(diǎn)P處切線的圖像，則f(2)f(2)_.答案解析由題圖知，切線方程為1，f(2)4.5·(1)，f(2).f(2)f(2).類(lèi)型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類(lèi)題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決例2與直線的平行的拋物線的切線方程是（） 2 解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為由此得到切點(diǎn)故切線方程為，即，故選評(píng)注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選練習(xí)：3曲線yx3在點(diǎn)P處的切線斜率為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(2，8) B(1,1)，(1，1)C(2,8) D(，)答案B13若曲線y2x3上某點(diǎn)切線的斜率等于6，求此點(diǎn)的坐

7、標(biāo)解析y|xx0 6x0，6x06.x0±1.故(1,2)，(1，2)為所求3已知曲線y3lnx的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A3 B2C1 D.答案A解析yx3，由x.得x3或x2.由于x>0，所以x3.3已知曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程為2xy10，那么()Af(x0)0 Bf(x0)<0Cf(x0)>0 Df(x0)不能確定答案B5如果曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為x2y30，那么()Af(x0)>0 Bf(x0)<0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B7在曲線yx2上切線的傾斜角為的點(diǎn)是()

8、A(0,0) B(2,4)C(，) D(，)答案D2若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析l與直線x4y80垂直，l的斜率為4.y4x3，由切線l的斜率是4，得4x34，x1.切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)切線方程為y14(x1)，即4xy30.故選A.11已知P(1,1)，Q(2,4)是曲線yx2上的兩點(diǎn)，則與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程是_答案4x4y10解析k1，又y2x，令2x1，得x，進(jìn)而y，切線方程為y1·(x)，即4x4y10.13如果曲線yx2x3的某一條切線與直線y3x4平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)

9、與切線方程答案切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，切線方程為3xy4013曲線yx33x26x10的切線中，斜率最小的切線方程為_(kāi)答案3xy110解析y3x26x63(x1)233，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x1，時(shí)y14.切線方程為y143(x1)，即3xy110.9設(shè)直線yxb是曲線ylnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)答案ln214設(shè)曲線yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a等于()A1 B.C D1答案A14設(shè)曲線yeax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x2y10垂直，則a_.答案2解析由題意得yaeax，y|x0aea×02，a2.10函數(shù)f(x)asinax(

10、aR)的圖像過(guò)點(diǎn)P(2，0)，并且在點(diǎn)P處的切線斜率為4，則f(x)的最小正周期為()A2 BC. D.答案B解析f(x)a2cosax，f(2)a2cos2a.又asin2a0，2ak，kZ.f(2)a2cosk4，a±2.T.6曲線yln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy30的最短距離是()A. B2C3 D0答案A解析y2，x1.切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)由點(diǎn)到直線的距離公式，得d.19曲線yx(x1)(2x)有兩條平行于yx的切線，則兩切線之間的距離為_(kāi)答案解析yx(x1)(2x)x3x22x，y3x22x2，令3x22x21，得x11或x2.兩個(gè)切點(diǎn)分別為(1,2)和(，)切線方程為x

11、y10和xy0.d.類(lèi)型三：已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法6下列說(shuō)法正確的是()A曲線的切線和曲線有交點(diǎn)，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)B過(guò)曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)C若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處無(wú)切線D若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)不一定存在答案D例3 求過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程3解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為又知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線這說(shuō)明過(guò)曲線上

12、一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類(lèi)問(wèn)題可用待定切點(diǎn)法練習(xí)：類(lèi)型四：已知過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類(lèi)題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)求解例4 求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程4解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為，即又已知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，即評(píng)注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過(guò)程中卻無(wú)需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性例5已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程5解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足因，故切線的方程為點(diǎn)在切線上，則有化簡(jiǎn)得，解得所以，切點(diǎn)為，切線方程為評(píng)注：此類(lèi)題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為

13、類(lèi)型一或類(lèi)型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)練習(xí)：17已知曲線方程為yx2，求過(guò)A(3,5)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程解析解法一設(shè)過(guò)A(3,5)與曲線yx2相切的直線方程為y5k(x3)，即ykx53k.由得x2kx3k50.k24(3k5)0，整理得(k2)(k10)0.k2或k10.所求的直線方程為2xy10,10xy250.解法二設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由yx2，得y2x.y|xx02x0.由已知kPA2x0，即2x0.又y02x0，代入上式整理，得x01或x05.18已知曲線S：y3xx3及點(diǎn)P(2,2)，則過(guò)點(diǎn)P可向S引切線，其切線條數(shù)為()A0 B1C2 D3答案

14、D解析顯然P不在S上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由y33x2，得y|xx033x0.切線方程為y(3x0x0)(33x0)(xx0)P(2,2)在切線上，2(3x0x0)(33x0)(2x0)，即x03x020.(x01)(x02x02)0.由x010，得x01.由x02x020，得x01±.有三個(gè)切點(diǎn)，由P向S作切線可以作3條綜合練習(xí)：10已知f(x)x22xf(1)，則f(0)等于()A0 B4C2 D2答案B解析f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，f(1)2.f(0)2f(1)4.12設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1)處的切線方程為y

15、2x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為()A4 BC2 D答案A解析依題意得f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，選A.15(1)求過(guò)曲線yex上點(diǎn)P(1，e)且與曲線在該點(diǎn)處的切線垂直的直線方程；(2)曲線yx5上一點(diǎn)M處的切線與直線yx3垂直，求此切線方程解析(1)yex，曲線在點(diǎn)P(1，e)處的切線斜率是y|x1e.過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為k.所求直線方程為ye(x1)，即xeye210.(2)切線與yx3垂直，切線斜率為1.又yx4，令x41，x±1.切線方程為5x5y40或5x5y40.4yax21的圖像與直線yx相切，則a()A. B.C

16、. D1答案B解析由已知有唯一解，即xax21，ax2x10有唯一解，14a0，a.15點(diǎn)P在曲線yf(x)x21上，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線y2x21相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解析設(shè)P(x0，y0)，則y0x1.f(x0) 2x0.所以過(guò)點(diǎn)P的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0x1x.而此直線與曲線y2x21相切，所以切線與曲線y2x21只有一個(gè)公共點(diǎn)由得2x22x0x2x0.即4x8(2x)0.解得x0，y0.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)17若直線ykx與曲線yx33x22x相切，求k的值解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，y|xx03x6x02k.若x00，則k2.若x00，由y0kx

17、0，得k.3x6x02，即3x6x02.解之，得x0.k3×()26×2.綜上，k2或k.16已知函數(shù)f(x)2x3ax與g(x)bx2c的圖像都過(guò)點(diǎn)P(2,0)，且在點(diǎn)P處有公共切線，求f(x)、g(x)的表達(dá)式解析f(x)2x3ax的圖像過(guò)點(diǎn)P(2,0)，a8.f(x)2x38x.f(x)6x28.對(duì)于g(x)bx2c的圖像過(guò)點(diǎn)P(2,0)，則4bc0.又g(x)2bx，g(2)4bf(2)16.b4.c16.g(x)4x216.綜上可知，f(x)2x38x，g(x)4x216.1已知直線l1為曲線yx2x2在點(diǎn)(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1l2.

18、(1)求直線l1，l2的方程；(2)求由直線l1，l2和x軸所圍成的三角形的面積分析(1)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：先求曲線在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，這點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值即為過(guò)此點(diǎn)切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；(2)求面積用Sa·h即可完成解析(1)因?yàn)閥2x1，則直線l1的斜率k12×113，則直線l1的方程為y3x3，設(shè)直線l2過(guò)曲線yx2x2上的點(diǎn)B(x0,y0)，因?yàn)閘1l2。則l2的方程為,所以，所以直線l2的方程為yx.(2)解方程組得所以直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，l1，l2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(，0)所以所求三角形的面積S××|.17求證：雙曲線C1：x2y25與橢圓C2：4x29y272在第一象限交點(diǎn)處的切線互相垂直證明聯(lián)立兩曲線的方程，求得它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)為(3,2)C1