專題三推理與證明及數(shù)學(xué)歸納法與不等式選講

1、專題三：推理與證明及數(shù)學(xué)歸納法與不等式選講例1設(shè)數(shù)列滿足：（1）證明：對恒成立；（2）令，判斷與的大小，并說明理由。例2在數(shù)列中，設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和為。（1）若對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對任意的整數(shù)，；（3）是否存在實(shí)數(shù)M，使得對任何的，恒成立，如果存在求出最小的，如果不存在請說明理由。例3已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求證：；（3）求證：例4.數(shù)列an滿足。（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）已知不等式，其中無理數(shù)e=2.71828。例5.在單調(diào)遞增數(shù)列中，不等式對任意都成立。（1）求的取值范圍；（2）判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列？說明理

2、由；（3）設(shè)，求證：對任意的，。例6.已知實(shí)數(shù) 曲線與直線的交點(diǎn)為(異于原點(diǎn)).在曲線上取一點(diǎn) 過點(diǎn)作平行于軸，交直線于過點(diǎn)作平行于軸，交曲線于 接著過點(diǎn)作平行于軸，交直線于過點(diǎn)作平行于軸，交曲線于如此下去，可得到點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為。（1）試用表示 并證明；（2）證明： 且；（3）當(dāng)時(shí)，求證：。例7.數(shù)列（1）求證：；（2）比較的大小，并加以證明。例8已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足。（1）證明；（2）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對任意b>0，都有。例9.已知數(shù)列中，且當(dāng)時(shí)，。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，對一切正整數(shù)，若不等式恒成立，求的最小值。13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29例10.把正奇數(shù)列中的數(shù)按上小下大,左小右大的原則排列成如圖“三角形”所示的數(shù)表，設(shè)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行,從左向右數(shù)第個(gè)數(shù)。（1）若,求的值；（2）已知函數(shù)的反函數(shù)為,)，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行各數(shù)的和為。求數(shù)列的前項(xiàng)的和；令的前項(xiàng)之積為，求證:。例11.（）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；（）請將（）中的