專題13 創(chuàng)新型問題（原卷版）.docx

1、專題13創(chuàng)新型問題:專題點撥1 .創(chuàng)新型數(shù)學問題，主要涉及兩大類：一類是創(chuàng)造性地綜合運用已有的數(shù)學知識經(jīng)驗解 決新情境問題或陌生的問題；另一類是發(fā)現(xiàn)新問題(或提出新問題)并解決提出的新問題.不論是哪一類創(chuàng)新型數(shù)學問題，都需要強化閱讀理解，充分研究問題的條件和結論之間 的聯(lián)系，運用數(shù)學知識方法，發(fā)現(xiàn)解題策略，展開充分的數(shù)學推理，完成數(shù)學問題提出的研 究目標.2.創(chuàng)新型數(shù)學問題常見的問題類型：(1) 構造型問題：一般需要構造不等式、方程、代數(shù)式、函數(shù)、圖形等加以解決的問題；(2) 歸納猜想型問題：通過歸納一猜想-一證明實現(xiàn)從特殊到一般的推理論證；(3) 新概念型問題：問題情境給出新定義、新法則(公

2、式、原理)，考察學習者的及時學 習能力，一般需要先理解新概念，再運用新概念解決問題；存在判斷型：這類問題常見的有：探究給定的結論是否成立；探究符合條件的數(shù)學 對象是否存在；類比已有結論探索獲得的新命題是否成立；(4) 探究性問題：探究一類問題的解題策略，或是探究給定命題是否正確，或可否進一 步推廣.總之，解決創(chuàng)新型數(shù)學問題，既需要閱讀理解問題情境，也需要綜合運用邏輯思維與直 覺思維、演繹推理與合情推理，需要運用特殊與一般、歸納與類比等數(shù)學思維方式解決問題.。例題剖析【例1】稱項數(shù)相同的兩個有窮數(shù)列對應項乘積之和為這兩個數(shù)列的內(nèi)積，設：數(shù)列甲：XI,X2,，尤5為遞增數(shù)列，e /V* (z=l,

3、 2,，5);數(shù)列乙：yi, >2, >3, )4,滿足 瓶 -1,1 (z=l, 2,，5)則在甲、乙的所有內(nèi)積中()A. 當且僅當xi = L %2=3,尤3 = 5, x4=7, x5 = 9時，存在16個不同的整數(shù)，它們同為 奇數(shù)B. 當且僅當X1=2, X2=4, X3 = 6, X4=8, %5= 10時，存在16個不同的整數(shù)，它們同 為偶數(shù)C. 不存在16個不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)D. 存在16個不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)11. (2021秋普陀區(qū)期末)設g, d為常數(shù),若存在大于1的整數(shù)使得無窮數(shù)列%滿 an 金 N*足。+|=<*,

4、貝U稱數(shù)列N*)為 “ M(k)數(shù)列”.nk(1) 設d = 3, 0 = 0,若首項為1的數(shù)列%為(3)數(shù)列”，求02】；(2) 若首項為1的等比數(shù)列也為“ MQ)數(shù)列”，求數(shù)列也的通項公式，并指出相應的婦d , q的值；(3) 設d = l,q = 2,若首項為1的數(shù)列cn為“ M(10)數(shù)列”，求數(shù)列化的前10項和§。12. 給定整數(shù) n (n4),設集合 A =。1, ai,，q.記集合 B=ai+ajai9 46A, 1WW) W(1) 若 A= -3, 0, 1, 2,求集合&(2) 若s, 12,。構成以s為首項，d (d>0)為公差的等差數(shù)列，求證：集合

5、B中的 元素個數(shù)為2- 1；(3) 若QI, Q2,，構成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求集合8中元素的個數(shù)及 所有元素之和.13. 將個數(shù)。1, Q2,，S的連乘積aval。記為71 Qi,將個數(shù)。1, 02,，。的和i=l。1+。2+。記為E但1 Q” £N*)(1) 若數(shù)列時滿足xi = l, xn+=x £+尤，£N*,設P= £潔三，S= £仁1潔三求 F5+S5;(2) 用對表示不超過X的最大整數(shù)，例如2 = 2, 3.41 = 3, -1.8=-2.若數(shù)列慶滿足XI =b Xn+=X S +如 能N*,求£晉;9Xi1

6、+Xi的值;(3) 設定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)f (/:)滿足，當771 (:T)正±12 (住n*)時, f ()=m,問是否存在正整數(shù)，使得Z金1 f。)=2019?若存在，求出的值；若不存在，說明理由(已知Zk " 頊*羿+1).【例2】己知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，其中第一項是 2°,接下來的兩項是2°、2】，再接下來的三項是2°、2】、22,以此類推，若N00且該 數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)幕，則N的最小值為（）A. 440B. 330C. 220D. 110【例31（2021秋寶山區(qū)期末）設

7、"2, neR,定義運算和“V”如下：mn = ,n, m > nm” ft、mVn ="若正數(shù)2, n , p , q 滿足 mn,.4 , p +務 4,貝lj （）m, m > nA. 2 , p a， 2B. mV/?.2, pV.2C. m A n.2 , pS/q.2D. mVn.2, q” 2【例4】和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件 的動點的軌跡，在空間直角坐標系。-工埒中，空間平面和曲面的方程是一個三元方程F （尤，y, z） =0.（1）類比平面解析幾何中直線的方程，寫出過點P3,典，zo）,法向量為n

8、= （A, B, C） 的平面的點法式方程；平面的一般方程；在x, y, z軸上的截距分別為s b,。的 平面的截距式方程（不需要證明）；（2）設E, F2為空間中的兩個定點，|FiF2| = 2C,我們將曲面定義為滿足|PFi|+|PF2| = 2q （6/>c）的動點P的軌跡，試建立一個適當?shù)目臻g直角坐標系。-xyz,求曲面r的方程；（3）對（2）中的曲面，指出和證明曲面C的對稱性，并畫出曲面的直觀圖.【例5】設/(x)是定義在。上的函數(shù)，若對任何實數(shù)(0, 1)以及D中的任意兩數(shù)工1、X2,恒有 f (ocri+ (1 - a) %2) Wq/' (xi) + (1 - a

9、) / (%2),則稱f (x)為定義在。上的 C函數(shù).(1) 證明函數(shù)fi(x) = 乂2是定義域上的C函數(shù)；(2) 判斷函數(shù)/23) = ?3<0)是否為定義域上的c函數(shù)，請說明理由；(3) 若/(%)是定義域為R的函數(shù)，且最小正周期為7,試證明/(x)不是R上的C函數(shù).【例6】(2021秋徐匯區(qū)期末)已知數(shù)列%和也,其中。是72 = 1.41421356237的小數(shù)點后的第位數(shù)字，(例如=4, %=3).若A = & ,且對任意的,均有如+1=%，則滿足侖=-2019的所有的值為 沙固訓練一、填空題1 .天干地支紀年法，源于中國.中國自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、乙

10、、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天 干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為 “丙寅”，以此類推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲''重新開始，即“甲戌”，“乙 亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.己知2017年為丁酉年，那么到改革開放100年時，即2078年為年.2. (2021秋普陀區(qū)期末)設非空集合當。中所有元素和為偶數(shù)時(集合為單元素 時和為元素本身)，稱。是M的偶子集.若集合M

11、 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,則其偶子集 。的個數(shù)為二、選擇題3. 朱載埴(15361611),是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著 作律學新說中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組 音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十 二等程律”.即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最 初那個音的頻率的2倍.設第三個音的頻率為fi,第七個音的頻率為力，則?=( )A. 4】扼B. 1V16C. V2D. V24. 已知數(shù)列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、

12、16、，其中第一項是 2°,接下來的兩項是2°、21,再接下來的三項是2°> 2 22,以此類推，若N>100且該數(shù)列 的前N項和為2的整數(shù)驀，則N的最小值為()A. 440B. 330C. 220D. 110三、解答題5. 己知集合Pn = %|2n <x <2n+1_x = 7m + 3/ m, n E TV*-(1) 用列舉法寫出集合P4；(2) 是否存在自然數(shù)，使得2019£P，若存在，求出的值，并寫出此時集合P的元素個數(shù)；若不存在，請說明理由.6 .閱讀下面材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin (a+6)=sinac

13、osp+cosasinp - sin (a - p) =sinacosp - cosasinp -由+得 sin (a+p)+sin (a - p) =2sinacosp -令 a+p=A, a - p = B 有 a= 6= 2代入得A+B A-BsiM+sinB=2sincos22類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:A+B A-BcosA - cosB= - 2sinsin227. 絕對值|x- 1|的幾何意義是數(shù)軸上的點x與點1之間的距離，那么對于實數(shù)s b,x- E+|x- Z?|的幾何意義即為點工與點。、點b的距離之和.(1) 直接寫出|工- 1|+|廠2|與|x- l

14、|+k-2|+|x-3|的最小值，并寫出取到最小值時x滿足的條 件；(2) 設qiWg2WWq是給定的個實數(shù)，記S =|x - oi|+|x -愆|+|工-。|試猜想：若 為奇數(shù)，則當能時S取到最小值；若為偶數(shù)，則當對時，S取到最小值；(直 接寫出結果即可)(3) 求|x- l|+|2x- l|+|3x- l|+-+|10x- 1|的最小值.8. (2021秋嘉定區(qū)期末)已知函數(shù)y =的定義域為區(qū)間。，若對于給定的非零實數(shù)，存在工0,使得/(x0) = /(x0 +m),則稱函數(shù)y = f(x)在區(qū)間D上具有性質P(m).(1) 判斷函數(shù)/(X)= X若函數(shù)/Xx) = sinx在區(qū)間(0,

15、n)(n > 0) ±具有性質P(-),求的取值范圍；4 已知函數(shù)y = f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且/(0) = f (2),求證：函數(shù)y = /(x)在 區(qū)間0, 2上具有性質P(-).在區(qū)間-1, 1上是否具有性質P(-),并說明理由；29. 由下面四個圖形中的點數(shù)分別給出了四個數(shù)列的前四項，將每個圖形的層數(shù)增加可得到這四個數(shù)列的后繼項.按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列為“三角形數(shù)列”、“四邊形數(shù)列”，將構圖邊數(shù)增加到可得到“邊形數(shù)列。記它的第尸項為P 3,尸),1, 3, 6, 101, 4, 9, 161, 5, 12, 221, 6, 15, 28(1) 求使得F (3, r) >36的最小,的取值；(2) 問3725是否為“五邊形數(shù)列”中的項，若是，為第幾項；若不是，說明理由；(3) 試推導P S, r)關于、,的解析式.10. 如果數(shù)列曲同時滿足：（1）各項均為正數(shù)，（2）存在常數(shù)k,對任意neN