哈工大力學(xué)習(xí)題課下

1、力學(xué)部分習(xí)題（二）力學(xué)部分習(xí)題（二）姜桂鋮姜桂鋮2015.4.102015.4.10剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 一、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量一、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量2i iiJmr轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2Jr dm角位移角位移21角速度角速度ddt角加速度角加速度22dddtdt角量和線量的關(guān)系角量和線量的關(guān)系2,tnvvr ar avr角動(dòng)量角動(dòng)量力矩力矩力矩的功力矩的功21AM d轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能212kEJ(1) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理(2)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理2zcJJMhMJ 二二、基本定律基本定律(3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理22211122kAE

2、JJ 外0A 內(nèi)(4) 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 系統(tǒng)所受的對某一固定軸的合外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)所受的對某一固定軸的合外力矩為零時(shí)， 系統(tǒng)對此軸的總角動(dòng)量保持不變系統(tǒng)對此軸的總角動(dòng)量保持不變(5) 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 只有保守力做功時(shí)，只有保守力做功時(shí)，kpEE常量三、題型以及例題三、題型以及例題求特殊形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求特殊形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律以及牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律以及牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律、機(jī)械能守恒以及角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律、機(jī)械能守恒以及角動(dòng)量守恒的應(yīng)用守恒的應(yīng)用作業(yè)題：3.7由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：得：mFmgkx Fmg

3、xkm pFmgEkxk22m1()22 Fmg xkx2mm1()2 Fmgxkm2() pFmgEkxk22m12()2 ? 1. 從一個(gè)半徑為從一個(gè)半徑為 R 的均勻薄圓板上挖去一個(gè)半徑為的均勻薄圓板上挖去一個(gè)半徑為 R/2 的圓板，所形的圓板，所形成的圓洞的中心在距圓薄板中心成的圓洞的中心在距圓薄板中心 R/2 處，所剩薄板的質(zhì)量為處，所剩薄板的質(zhì)量為 m 。求此時(shí)薄。求此時(shí)薄板對通過圓中心與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。板對通過圓中心與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ORR/2O半徑為半徑為 R 的圓盤對的圓盤對 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為211(1)2IM R1(2)3Mmm式中整個(gè)圓盤的

4、質(zhì)量式中整個(gè)圓盤的質(zhì)量由平行軸定理，半徑為由平行軸定理，半徑為 R/2 的小圓盤對的小圓盤對 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為222221()()(3)222RRImm式中小圓盤的質(zhì)量式中小圓盤的質(zhì)量21(4)3mm總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2121324IIImRRF2. 均勻圓柱體，在水平恒力 作用下做純滾動(dòng)，下列說法正確的是(A)摩擦力一定不為零，解：設(shè)靜摩擦力的方向如圖示cFfma(B)摩擦力一定與 同向，(C)摩擦力一定與 反向， (D)摩擦力的方向無法確定，(E)摩擦力的大小一定等于 。xFFFFfcFxfRJ212camRR2cRma(2 )3F RxfR2Rx 0f 靜摩擦力的方向向

5、后（與設(shè)定的方向一致）2Rx 0f 靜摩擦力的方向向前（與設(shè)定的方向相反）2Rx 0f 3. 一長為 質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng) . 由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動(dòng) .試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)的角加速度和角速度 .lm 解 細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NF式中231mlJ ddddddddtt 得3sin2gl由角加速度的定義dsin23dlg代入初始條件積分 得)cos1 (3lg1sin2mglJl4.已知：勻質(zhì)桿M子彈 m水平速度0v求：從下緣射入

6、不復(fù)出解： 對M,m 系統(tǒng)0M軸外系統(tǒng)角動(dòng)量守恒2201()3mlmlMlv033mmMlv撞擊后瞬間勻質(zhì)桿的質(zhì)心速度?cv2clv032(3)mmMv設(shè)桿長為l系統(tǒng)動(dòng)量守恒OMm0v?cvc是否動(dòng)量一定不守恒？有沒有特例？?5. 由一根長為由一根長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M 的靜止的細(xì)長棒，可繞其一端在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。的靜止的細(xì)長棒，可繞其一端在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若以質(zhì)量為若以質(zhì)量為 m ，速率為，速率為 的子彈在水平面內(nèi)沿與棒垂直的方向射向棒的的子彈在水平面內(nèi)沿與棒垂直的方向射向棒的另一端。另一端。OvlmM碰撞時(shí)刻，角動(dòng)量守恒碰撞時(shí)刻，角動(dòng)量守恒2013mlvJmlvMlmlv03 ()m

7、vvMl（1）若子彈穿棒而過，速度為）若子彈穿棒而過，速度為 ，求棒的旋轉(zhuǎn)角速度，求棒的旋轉(zhuǎn)角速度0以以 m , M 為系統(tǒng)，以為系統(tǒng)，以 O 為參考點(diǎn)。為參考點(diǎn)。（2）若子彈嵌入棒中，求棒的最大旋轉(zhuǎn)角）若子彈嵌入棒中，求棒的最大旋轉(zhuǎn)角碰撞時(shí)刻，角動(dòng)量守恒碰撞時(shí)刻，角動(dòng)量守恒22013mlvJm lMml（2）若子彈嵌入棒中，求棒的最大旋轉(zhuǎn)角）若子彈嵌入棒中，求棒的最大旋轉(zhuǎn)角棒旋轉(zhuǎn)過程，機(jī)械能守恒棒旋轉(zhuǎn)過程，機(jī)械能守恒221111cos1cos222JmvMglmgl033mvMm l2203cos132m vMmMm gl 222111()222mvm lJ注意：注意：類似的例題類似的例題由

8、一根長為由一根長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M 的靜止的細(xì)長棒，可繞其一端在的靜止的細(xì)長棒，可繞其一端在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m、速率為、速率為 的木塊，的木塊，水平面內(nèi)碰水平面內(nèi)碰豎直桿的另一端再返回，木塊碰后速度減少一半。豎直桿的另一端再返回，木塊碰后速度減少一半。求棒的求棒的最大旋轉(zhuǎn)角？最大旋轉(zhuǎn)角？lo0v0v1）碰撞時(shí)刻，角動(dòng)量守恒）碰撞時(shí)刻，角動(dòng)量守恒2）棒旋轉(zhuǎn)過程，機(jī)械能守恒）棒旋轉(zhuǎn)過程，機(jī)械能守恒解：解：兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度, ,合合外力矩為外力矩為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。1J2J12)(212211JJJJCL L0

9、212211JJJJ共同角速度共同角速度嚙合過程機(jī)械能損失：嚙合過程機(jī)械能損失：EEE06. 6. 兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分別，角速度分別為為 1 、2，求兩飛輪嚙合后共同的角速度，求兩飛輪嚙合后共同的角速度 。嚙合過。嚙合過程機(jī)械能損失。程機(jī)械能損失。221222211)(21)2121(JJJJ)(2)(2122121JJJJ7. 兩個(gè)同樣重的小孩 ，各抓著跨過滑輪繩子的兩端。一個(gè)孩子用力向上爬，另一個(gè)則抓住繩子不動(dòng)。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦都可忽略，哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪處？若兩個(gè)小孩重量不等，情況又如何？解：把每個(gè)小孩看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以滑輪的

10、軸為參考點(diǎn)，把兩個(gè)小孩和滑輪看成系統(tǒng)。規(guī)定向里為角動(dòng)量和力矩的正方向。系統(tǒng)的總角動(dòng)量為v1 ： 左邊小孩向上的速度；v2 ： 右邊小孩向上的速度；此系統(tǒng)所受外力矩只有兩個(gè)小孩所受重力矩，二者大小相等，方向相反，彼此抵消，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。 hhm1m212LRmvRmvR設(shè)兩個(gè)小孩起初都不動(dòng)以后，雖然 v1 ,v2 不再為零，但總角動(dòng)量繼續(xù)為零（角動(dòng)量守恒），即 v1 , v2 隨時(shí)保持相等，所以他們將同時(shí)到達(dá)滑輪。若兩個(gè)小孩重量不等，系統(tǒng)所受外力矩系統(tǒng)總角動(dòng)量仍設(shè)起初兩個(gè)小孩都不動(dòng)，由角動(dòng)量定理21)合外（dLMmm gRdt若有輕的升得快10200vv12mm21)合外（Mmm gR1 12

11、2()Lm vm v R10200vv12,0dLmmdt1 12212120,即mam aaavv12,0dLmmdt1 12212120,即mam aaavv有8. 一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長為l， 一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放，求：當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度。OlmN解一：Cmg1cos2mglM MJ21cos213mglml3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003 cos2gddl 3 singl3gl0,3 / 2/ 2,0gl8. 一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長為l， 一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放，求：當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度。OlmN解二：C

12、mg1cos2mglM 22001cos22mgllAMddmg力矩 2313mglmglgJlml2201122AJJ力矩2122lmgJ212J8. 一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長為l， 一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放，求：當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度。OlmN解三：Cmg2211()22cEmghmvJ恒量 21022 lmgJ2313mglmglgJlml9.9. 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為 ，長為，長為 的均勻細(xì)桿。一端固定于的均勻細(xì)桿。一端固定于 水平轉(zhuǎn)軸上，開始使細(xì)桿在鉛直平面內(nèi)與鉛直方向水平轉(zhuǎn)軸上，開始使細(xì)桿在鉛直平面內(nèi)與鉛直方向 成成 角，并以角速度角，并以角速度 沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。

13、當(dāng)細(xì)桿沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿 轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，有一質(zhì)量轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，有一質(zhì)量 的細(xì)小油灰團(tuán)以速的細(xì)小油灰團(tuán)以速 度度 水平迎面飛來，并與細(xì)桿上端發(fā)生完全非彈性水平迎面飛來，并與細(xì)桿上端發(fā)生完全非彈性 碰撞。碰撞后細(xì)桿再次轉(zhuǎn)到與鉛直方向成碰撞。碰撞后細(xì)桿再次轉(zhuǎn)到與鉛直方向成 角時(shí)角時(shí) 角速度為多大？角速度為多大？ 0601mL00v2m0600v0600O201011cos6022LEJm g2211122LEm gJ2113Jm L由由 得得12EE21032gL0v0600O解：解：整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程可分為三個(gè)階段。第一階段，細(xì)桿由初整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程可分為三個(gè)階段。第一階段，細(xì)桿由初 始位置轉(zhuǎn)到豎直位

14、置時(shí)，取細(xì)桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，設(shè)始位置轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，取細(xì)桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，設(shè) 點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)。由于轉(zhuǎn)軸的支持力不做功，點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)。由于轉(zhuǎn)軸的支持力不做功， 所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。則有所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。則有O第二階段，細(xì)桿在鉛直位置與油灰團(tuán)發(fā)生完全非彈性碰撞。第二階段，細(xì)桿在鉛直位置與油灰團(tuán)發(fā)生完全非彈性碰撞。取細(xì)桿與油灰團(tuán)為一系統(tǒng)，在碰撞過程中所受的合外力矩取細(xì)桿與油灰團(tuán)為一系統(tǒng)，在碰撞過程中所受的合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎较?，為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎较?，于是有于是?12022()Jm v LJm L120222112.5sJm

15、v LJm L因?yàn)橐驗(yàn)?，所以碰撞完畢后兩物體，所以碰撞完畢后兩物體沿角速度沿角速度 的方向轉(zhuǎn)動(dòng)。的方向轉(zhuǎn)動(dòng)。2010v0600O第三階段，取細(xì)桿、油灰團(tuán)和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，因轉(zhuǎn)軸的支第三階段，取細(xì)桿、油灰團(tuán)和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，因轉(zhuǎn)軸的支持力不做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒持力不做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒222212220023121()221()cos60cos6022LJm Lm gm gLLJm Lm gm gL1313.1s0v0600O 10. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m，半徑為，半徑為 R 的均勻圓柱體沿傾角為的均勻圓柱體沿傾角為的粗糙斜的粗糙斜 面，在離地面為面，在離地面為 h0 處從靜止開始無滑下滾

16、（處從靜止開始無滑下滾（純滾動(dòng)純滾動(dòng)）。）。 試求：試求： 1 ) 圓柱體下降到高度為圓柱體下降到高度為 h 時(shí)它的質(zhì)心速度時(shí)它的質(zhì)心速度 vc 和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度； 2）最大靜摩擦系數(shù)應(yīng)滿足的條件。）最大靜摩擦系數(shù)應(yīng)滿足的條件。解解: 對圓柱體進(jìn)行受力分析對圓柱體進(jìn)行受力分析mcvmgrf ARh0Nxyh選選A為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：232JmR轉(zhuǎn)動(dòng)定理：轉(zhuǎn)動(dòng)定理：23sin2mgRmR由由 A 點(diǎn)瞬時(shí)速度為零，對于質(zhì)心有：點(diǎn)瞬時(shí)速度為零，對于質(zhì)心有：,ccvRaR0,AcR根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理sinrcmgfma解得解得1sin3rfm

17、g要保證無滑滾動(dòng)，所需摩擦力要保證無滑滾動(dòng)，所需摩擦力 f 不能大于最大靜摩擦力，即不能大于最大靜摩擦力，即cos,11sincos,.33fNm gm gm gtg或圓柱體質(zhì)心的速度為圓柱體質(zhì)心的速度為042()3ccva xg hh解得解得2sin3cag11. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的小球，的小球， 以速度以速度 v0 在水平冰面上滑動(dòng)，撞在與小在水平冰面上滑動(dòng)，撞在與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直的一根細(xì)木棍的一端，并粘附在木棍上。設(shè)木球運(yùn)動(dòng)方向垂直的一根細(xì)木棍的一端，并粘附在木棍上。設(shè)木棍的質(zhì)量為棍的質(zhì)量為 M，長度為，長度為 l。試求：（。試求：（1） 忽略冰的摩擦，定量地忽略冰的摩擦，定量地描述小

18、球附在木棍上后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。（描述小球附在木棍上后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。（2） 剛剛發(fā)生碰撞剛剛發(fā)生碰撞之后，木棍上有一點(diǎn)之后，木棍上有一點(diǎn) p 是瞬時(shí)靜止的，問該點(diǎn)在何處？是瞬時(shí)靜止的，問該點(diǎn)在何處？解：解： 棒和球組成的系統(tǒng)為研究對象。棒和球組成的系統(tǒng)為研究對象。 碰撞后系統(tǒng)質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞后系統(tǒng)質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)系統(tǒng)繞質(zhì)心作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)系統(tǒng)繞質(zhì)心作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。 （1）系統(tǒng)質(zhì)心位置）系統(tǒng)質(zhì)心位置 c 距右端距離距右端距離()22()ccclMlMlmllMm由動(dòng)量守恒求質(zhì)心平動(dòng)速度由動(dòng)量守恒求質(zhì)心平動(dòng)速度 vc：00();()ccmvmvMm vvMmcOlMmv0clcv（

19、2）瞬時(shí)靜止的一點(diǎn)）瞬時(shí)靜止的一點(diǎn) p 在質(zhì)心的左側(cè)，在質(zhì)心的左側(cè)，p 點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)瞬時(shí)向下線速度恰好等于質(zhì)心平動(dòng)速度動(dòng)相應(yīng)瞬時(shí)向下線速度恰好等于質(zhì)心平動(dòng)速度 vc, 即即cpcv(4)6 ()cvlmMpcmM由角動(dòng)量守恒求系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度由角動(dòng)量守恒求系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：2220061()122(4)cccvlmmv lmlMlMllm M0()cmvvMm2()cMllMmcvcOcllMmP12. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M ，長度為，長度為 L 的均勻細(xì)桿，放在光滑的水平桌面上，可繞通過其中點(diǎn)的均勻細(xì)桿，放在光滑的水平桌面上，可繞通過其中點(diǎn) O 的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，

20、開始時(shí)靜止。一質(zhì)量為的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)靜止。一質(zhì)量為 m 的（的（m M）子彈以速度）子彈以速度 v0 垂直擊中桿的一端，撞擊后從桿的一端打下質(zhì)量也為垂直擊中桿的一端，撞擊后從桿的一端打下質(zhì)量也為m 的一段（可視為質(zhì)點(diǎn)），與的一段（可視為質(zhì)點(diǎn)），與子彈結(jié)合在一起以子彈結(jié)合在一起以 v0/ 8 的速度沿垂直于桿的方向飛出，如圖。求的速度沿垂直于桿的方向飛出，如圖。求(1)撞擊后瞬間桿撞擊后瞬間桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度(2)撞擊過程中的機(jī)械能損失。撞擊過程中的機(jī)械能損失。v08v0OlmMmv)3(290 解：由角動(dòng)量守恒解：由角動(dòng)量守恒 Jlvmlmv 8)2(2121002241121mlMlJ 2)3(121lmM （2）損失的機(jī)械能）損失的機(jī)械能v08v0OlmMmv)3(290 21)8(2212122020 JvmmvEk )316273231(2120mMmmv 2220222020)3(481)3(24164121lmMvmlmMmvmv 13. 有兩個(gè)質(zhì)量為有兩個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由長度為的質(zhì)點(diǎn)，由長度為a的一根輕質(zhì)硬桿連結(jié)的一根輕質(zhì)硬桿連結(jié)在一起，在自由空間二者質(zhì)心靜止，但桿以角速度在一起，在自由空間二者質(zhì)心靜止，但桿以