最優(yōu)控制求解停車問(wèn)題

1、停車問(wèn)題1 問(wèn)題描述如下圖所示，考慮一個(gè)10m*7m大小的停車場(chǎng)，將車從如下初始位置停到停車場(chǎng)中任意位置，如圖停車位置14所示。圖1 問(wèn)題描述示意圖2 數(shù)學(xué)模型車的模型示意圖如下所示，則可以得到如下數(shù)學(xué)模型方程式： （1）圖2 車的模型示意圖3 問(wèn)題求解3.1 變分法求解最優(yōu)控制定義如下性能指標(biāo)函數(shù)： （2）通過(guò)構(gòu)建Hamiltonian求解，并采用數(shù)值法求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。（1）停車位置1：圖3 變分法求解結(jié)果（停車位置1）（2）停車位置3圖4 變分法求解結(jié)果（停車位置3）3.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制定義如下性能指標(biāo)函數(shù)： （3）采用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解，分別將時(shí)間、狀態(tài)量、控制量、狀態(tài)方程和性

2、能指標(biāo)函數(shù)離散化。分別嘗試不同的離散化程度。（1）第一次離散化求解：運(yùn)行時(shí)間（1120s）離散化后的維度為：時(shí)間（150）；狀態(tài)（4*10*2*3*6）；控制（6*6）圖5動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解結(jié)果（第一次離散化）（2）第二次離散化求解： 運(yùn)行時(shí)間（70291s）離散化后的維度為：時(shí)間（30）；狀態(tài)（10*25*12*16*15）；控制（15*15）圖6 動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解結(jié)果（第二次離散化）3.3 直接打靶法求解最優(yōu)控制定義如下性能指標(biāo)函數(shù)： （4）采用SQP方法求解，結(jié)果如下：（1）停車位置1圖7 直接打靶法求解結(jié)果（停車位置1）（2）停車位置3圖8 直接打靶法求解結(jié)果（停車位置3）3.4 模型預(yù)測(cè)控制求

3、解最優(yōu)控制定義如下性能指標(biāo)函數(shù)：（5）預(yù)測(cè)步長(zhǎng) ，控制步長(zhǎng)。（1）停車位置1圖9 模型預(yù)測(cè)控制求解結(jié)果（停車位置1）（2）停車位置3圖10 模型預(yù)測(cè)控制求解結(jié)果（停車位置3）3.5 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制（嘗試）首先采用經(jīng)典的HDP92方法進(jìn)行嘗試，但多次試驗(yàn)的效果都不好；之后嘗試每次用數(shù)值法求解最優(yōu)的控制量，但效果依舊很差；然后采用值迭代的方法，并嘗試用二次型近似值函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似值函數(shù)兩種方式，但是最后的效果依舊很差（包括一般值迭代和廣義值迭代）。（上述方法對(duì)PPT上的例子，效果還不錯(cuò)）4 結(jié)果分析變分法求解最優(yōu)控制：針對(duì)本問(wèn)題這樣一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的模型，變分法無(wú)法很好地處理控制量和狀態(tài)

4、量的約束。而且在求解過(guò)程中，由于無(wú)法得到解析解，因而需要采用數(shù)值法求解一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。而在采用BVP4C求解時(shí)，需要經(jīng)過(guò)多次初值選擇試湊，才能保證可解，否則BVP4C無(wú)法求解。因此只能采用自己編寫打靶法程序求解，致使最后的求解結(jié)果不是特別好（速度在剛開(kāi)始一下增加到很大，即加速度過(guò)大；針對(duì)停車位置3，路徑曲線不是很光滑）。另外，所得結(jié)果是一個(gè)開(kāi)環(huán)控制。離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制：如果對(duì)時(shí)間、狀態(tài)、控制的離散化程度太低，則求解結(jié)果很差；當(dāng)增加離散化程度，求解結(jié)果有一定的改善，但還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，需要繼續(xù)提高離散化程度。然而，由于本問(wèn)題狀態(tài)量的維數(shù)較大，此時(shí)將導(dǎo)致維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。第二次離散化求解的運(yùn)行時(shí)間為

5、70291s（19個(gè)多小時(shí)），如果繼續(xù)增加離散化程度，雖然求解結(jié)果會(huì)更加好，但求解時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)。而針對(duì)本問(wèn)題，如此長(zhǎng)的求解時(shí)間是沒(méi)有太多價(jià)值的。直接打靶法求解最優(yōu)控制：相比變分法，求解結(jié)果更加好。而且可以比較好地處理控制量和狀態(tài)量的約束。但是，最后時(shí)刻的控制并不是0，而在實(shí)際停車過(guò)程中最后時(shí)刻控制應(yīng)該為0。另外，所得結(jié)果是一個(gè)開(kāi)環(huán)控制。模型預(yù)測(cè)控制求解最優(yōu)控制：同樣可以比較好地處理控制量和狀態(tài)量的約束。而且相比直接打靶法求解，最后時(shí)刻的控制能緩慢變?yōu)?。另外，所得結(jié)果是一個(gè)近似閉環(huán)控制，這在實(shí)際停車過(guò)程中是很有必要的，因?yàn)檐嚨拿恳徊竭\(yùn)動(dòng)都會(huì)有誤差。自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制：我們嘗試了幾種自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，但效果都不是很好。針對(duì)PPT上的例子，這些方法的效果還可以。在這些例子中，系統(tǒng)最后的穩(wěn)定狀態(tài)都是0，而且控制的目標(biāo)是要使?fàn)顟B(tài)盡可能快得到0。然后，停車問(wèn)題和這些例子不太相同