勾股定理綜合性難題(習題)

1、勾股定理復習1、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個三角形周長為（ ）（A） （B） （C） （D）2如圖，A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管的費用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用F。3.ABC中，BC，AC，AB，若C=90°，如圖（1），根據勾股定理，則，若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類比勾股定理，試猜想與的關系，并證明你的結論.4如圖，A市氣象站測得臺風中心在A市正東方向30

2、0千米的B處，以10 千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風中心200千米范圍內是受臺風影響的區(qū)域（1）A市是否會受到臺風的影響？寫出你的結論并給予說明；（2）如果A市受這次臺風影響，那么受臺風影響的時間有多長？課堂練習：1、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm2 如圖，已知：，于P. 求證：. 3 已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。4 一輛

3、裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H解：OC1米(大門寬度一半)，OD0.8米（卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門5、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一所中學，AP160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛

4、時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，實質上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90°，APB30°， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30°所對的直角

5、邊等于斜邊的一半） 點 A到直線MN的距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。 如圖，假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉機行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m÷5m/s24s。 答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。 6、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB

6、、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 思路點撥：現已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，根據直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD解：連接AD因為BAC=90°，AB=AC又因為AD為ABC的中線，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因為EDA+ADF=90°又因為CDF+ADF=90°所以EDA=CDF所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根據勾股定理得：，所以EF=13?？偨Y升華：此題考查了等腰直角三角形的

7、性質及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當的轉化把它們放在同一直角三角形中求解。7 如圖，在等腰ABC中，ACB=90°，D、E為斜邊AB上的點，且DCE=45°。求證：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等三角形的旋轉變換，進行邊角的全等變換，將邊轉移到一個三角形中，并構造直角三角形。8 如圖，長方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長方形沿AC折疊，點D落在點E處，則重疊部分AFC的面積是 。設EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3，S=4*8/2-3*

8、4/2=10答案：109. 一只螞蟻在一塊長方形的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方形上和蜘蛛相對的頂點C1處，如圖，已知長方形長6cm，寬5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方形的表面向上爬，它要從A點爬到C1點，有很多路線，它們有長有短，蜘蛛究竟應該沿著怎樣的路線爬上去，所走的距離最短？你能幫蜘蛛求出最短距離嗎？10. 已知ABC的三邊a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能說明理由嗎？答案： 是直角三角形。（平方差公式的靈活運用）=。家庭作業(yè)：一、選擇題1.下列說法正確的有( ) ABC是直角三角形，C=90°，則a2+b2=c

9、2.ABC中，a2+b2c2，則ABC不是直角三角形.若ABC中，a2-b2=c2，則ABC是直角三角形.若ABC是直角三角形，則(a+b)(a-b)=c2.A.4個 B.3個 C.2個 D.1個2.已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是( )A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm23.已知，如圖，一輪船以20海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以15海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，則2小時后，兩船相距( )A.35海里 B.40海里 C.45海里 D.50海里4.如圖，已知矩形ABCD沿

10、著直線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，則DE的長為( ) A.3B.4C.5D.6二、填空題(共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題后的橫線上.)5.如圖，學校有一塊長方形草坪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條"路".他們僅僅少走了_步路(假設2步為1米)，卻踩傷了青草.6.如圖，圓柱形玻璃容器高20cm，底面圓的周長為48cm，在外側距下底1cm的點A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距上口1cm的點B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度為_.7.如果三條線段的長度分別為8cm

11、、xcm、18cm，這三條線段恰好能組成一個直角三角形，那么以x為邊長的正方形的面積為_.8.已知ABC的三邊a、b、c滿足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，則ABC的面積為_.三、解答題(共6小題，1、2題各10分，3-6題各12分，共68分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)9.如圖是一塊地，已知AB=8m，BC=6m，B=90°，AD=26m，CD=24m，求這塊地的面積. 10.如圖，將一根30長的細木棒放入長、寬、高分別為8、6和24的長方體無蓋盒子中，求細木棒露在盒外面的最短長度是多少？11.如圖，鐵路上A、B兩點相距25km, C、D為兩村莊

12、，DAAB于A，CBAB于B，若DA=10km,CB=15km，現要在AB上建一個周轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則周轉站E應建在距A點多遠處？12.如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕(對角線)AC，再折疊使AB邊與AC重合，得折痕AE，若AB=3，AD=4，求BE的長.13.如圖，A、B兩個小鎮(zhèn)在河流CD的同側，到河流的距離分別為AC=10km，BD=30km，且CD=30km，現在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每km3萬元，請你在河流CD上選擇建水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？ 14.“交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行

13、駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直線行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測儀所在位置A處正前方30米的C處，過了2秒后，測得小汽車所在位置B處與車速檢測儀間距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？附加題(10分，不計入總分)如圖，P是矩形ABCD內一點，PA=1，PB=5，PC=7，則PD=_.一、1.C 2.A 3.D 4.C二、5.4 6.30cm 7.260cm或388cm 8.30三、9.解：連接AC.1分在ABC中，AB=8m,BC=6m,B=90°，由勾股定理，AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10. 3分在ACD中，AC2+CD2=10

14、2+242=676,AD2=676，AC2+CD2=AD2. ACD是直角三角形.6分8分答：求這塊地的面積是96m2.10分10.解：由勾股定理，82+62=102,3分102+242=262 .6分30-26=4.8分答：細木棒露在盒外面的最短長度是4cm.10分11.解：設E點建在距A點xkm處.1分如圖，則AE長xkm，BE長(25-x)km.2分DAAB，DAE是直角三角形. 由勾股定理，DE2=AD2+AE2=102+x2.5分同理，在RtCBE中，CB2+BE2=152+(25-x)2.7分依題意，102+x2=152+(25-x)2， 9分解得，x=15. 11分答：E應建在距

15、A15km處.12分12.解：在AC上截取AF=AB，連接EF.1分依題意，AB=AF, BE=EF, B=AFE=90°.3分在RtABC中，AB=3，BC=AD=4,AC2=32+42=25,AC=5. CF=AC-AF=5-3=2. 5分設BE長為x，則EF=x,CE=4-x. 7分在RtCFE中，CE2=EF2+CF2,即(4-x)2=x2+22.9分解得，x=. 11分答：BE的長為.12分13.解：作點A關于CD的對稱點E，連接EB，交CD于M. 則AC=CE=10公里.2分過點A作AFBD,垂足為F.過點B作CD的平行線交EA延長線于G，得矩形CDBG.4分則CG=BD

16、=30公里，BG=CD=30公里，EG=CG+CE=30+10=40里.7分在RtBGE中，由勾股定理，BE2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，9分3×50=150(萬元).11分答：鋪設水管的總費用最少為150萬元. 12分14.解：依題意，在RtACB中，AC=30米，AB=50米， 由勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302,BC=40米.3分小汽車由C到B的速度為40÷2=20米/秒. 5分20米/秒=72千米/小時，8分7270，10分因此，這輛小汽車超速了. 12分附加題 解：過點P作MNAD交AB于點M， 交CD于點N， 則AM=DN，

17、BM=CN.2分PMA=PMB=90°， PA2-PM2=AM2，PB2-PM2=BM2.4分 PA2-PB2=AM2-BM2.5分 同理，PD2-PC2=DN2-CN2.7分PA2-PB2=PD2-PC2.又PA=1，PB=5，PC=7，8分 PD2=PA2-PB2PC2=12-5272，PD=5.10分初二數學實數單元復習導學案目標認知一、知識網絡：二、重難點聚焦：教學重點：算術平方根和平方根的概念及其求法；教學難點：平方根和實數的概念.三、知識要點回顧： 4、實數的三個非負性：|a|0，a20，0（a0） 5、實數的運算：加減法：類比合并同類項；乘法：=（a0，b0）；除法：（

18、a0，b0） 6、算術平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別: 定義不同； 個數不同； 表示方法不同； 取值范圍不同. 聯(lián)系: 具有包含關系； 存在條件相同； 0的算術平方根與平方根都是0.提示1. 正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方根；零的平方根和算術平方 根都是零；負數沒有平方根2. 實數都有立方根，且一個數的立方根只有一個，它的符號與被開方數的符號相同3. 所有的實數分成三類：有限小數，無限循環(huán)小數，無限不循環(huán)小數其中有限小數和無限循環(huán)小數 統(tǒng)稱有理數，無限不循環(huán)小數叫做無理數4. 無理數分成三類：開方開不盡的數，如，等；有特殊意義的數，如；有特定結構的 數，如0.

19、10100100015. 有理數和無理數統(tǒng)稱實數，實數和數軸上的點一一對應6. 實數的運算：實數運算的基礎是有理數運算，有理數的一切運算性質和運算律都適用于實數運算 正確地確定運算結果的符號和靈活運用各種運算律來進行運算是掌握好實數運算的關鍵規(guī)律方法整合1有關概念的識別1下面幾個數：0.23 ，1.010010001，3，其中，無理數的個數有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解析：本題主要考察對無理數概念的理解和應用，其中，1.010010001，3，是無理數故選C【變式1】下列說法中正確的是（ ）A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的

20、平方根的相反數【答案】本題主要考察平方根、算術平方根、立方根的概念，=9，9的平方根是±3，A正確1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不正確【變式2】如圖，以數軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數軸正半軸于點A，則點A表示的數是（ ）A、1 B、1.4 C、 D【答案】本題考察了數軸上的點與全體實數的一一對應的關系正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知|AO|=，A表示數為，故選C【變式3】例：已知那么a+b-c的值為_【答案】初中階段的三個非負數：;a20;0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-22計算類型題2.

21、設，則下列結論正確的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因為，所以選B【變式1】1）1.25的算術平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；. 2）-3. 3）， ， 【變式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4【變式3】化簡：【答案】=+-=3數形結合3. 點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為，則A，B兩點的距離為_解析：在數軸上找到A、B兩點，【變式1】如圖，數軸上表示1，的對應點分別為A，B，點B關于點A的對稱點為C，則點C表示的數是（ ） A1 B1 C2 D2【答案】選C4

22、.易錯題4.判斷下列說法是否正確（1）的算術平方根是-3； （2）的平方根是±15.（3）當x=0或2時， （4）是分數解析：（1）錯在對算術平方根的理解有誤，算術平方根是非負數.故（2）表示225的算術平方根，即=15.實際上，本題是求15的平方根，故的平方根 是.（3）注意到，當x=0時， =，顯然此式無意義，發(fā)生錯誤的原因是忽視了“負數 沒有平方根”，故x0，所以當x=2時，x=0.（4）錯在對實數的概念理解不清. 形如分數，但不是分數，它是無理數.學習成果測評：A組（基礎）一、細心選一選1下列各式中正確的是（ ）A B. C. D. 2. 的平方根是( )A4 B. C. 2

23、 D. 3. 下列說法中 無限小數都是無理數 無理數都是無限小數 -2是4的平方根 帶根號的數都是無理數。其中正確的說法有（ ）A3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個4和數軸上的點一一對應的是（ ）A整數 B.有理數 C. 無理數 D. 實數5對于來說（ ）A有平方根 B.只有算術平方根 C. 沒有平方根 D. 不能確定6在（兩個“1”之間依次多1個“0”）中，無理數的個數有（ ）A3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個7面積為11的正方形邊長為x，則x的范圍是（ ）A B. C. D. 8下列各組數中，互為相反數的是（ ）A-2與 B.-與 C. 與 D. 與9-8的立方根與4的平方根

24、之和是（ ）A0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或410已知一個自然數的算術平方根是a ，則該自然數的下一個自然數的算術平方根是（ ）A B. C. D. 二、耐心填一填11的相反數是_，絕對值等于的數是_，=_。12的算術平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算術平方根等于它本身。14已知x的算術平方根是8，那么x的立方根是_。15填入兩個和為6的無理數，使等式成立： _+_=6。16大于，小于的整數有_個。17若2a-5與互為相反數，則a=_，b=_。18若a=6，=3，且ab0，則a-b=_。19數軸上點A，點B分別表示實數則A、B兩點間的距離為_。2

25、0一個正數x的兩個平方根分別是a+2和a-4，則a=_，x=_。三、認真解一解21計算 + ×+× 4× 9 + 2×（） （結果保留3個有效數字）22在數軸上表示下列各數和它們的相反數，并把這些數和它們 的相反數按從小到大的順序排列，用“”號連接：參考答案：一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二：11、，-3 12、3， 13、0，0、，0、114、 15、答案不唯一 如： 16、517、 18、-15 19、2 20、1，9三：21、 -17 -9 2 -36 37.922、B組（提高）一、選擇題： 1的算術平方根是 （ ）A.0.14 B.0.014 C. D.2的平方根是 （ ）A.6 B.36 C.±6 D.±3下列計算或判斷：±3都是27