基于matlab的最小二乘法應(yīng)用

1、基于matlab非線性曲線最小二乘擬摘要：在工程計算與科學(xué)研究中，常常需要從一組測量數(shù)據(jù)出發(fā)，尋找變量x與y的函數(shù)關(guān)系式，有時很難找出他們之間精確地函數(shù)表達式，這時就要觀察所給數(shù)據(jù)值，利用最小二乘曲線擬合來構(gòu)造一個近似的解析式。利用這種方法擬合出的曲線雖然不能保證通過所有的數(shù)據(jù)點，但是很好的逼近它們，從而充分反映已知數(shù)據(jù)間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系。因此這種方法在科學(xué)實驗和生產(chǎn)實踐中具有廣泛的應(yīng)用前景。一般構(gòu)造的方法有很多，本文先介紹了最小二乘法的原理，并通過實例用matlab實現(xiàn)了曲線的擬合以得到函數(shù)關(guān)系的方法和步驟。通過不同的經(jīng)驗公式得到不同的的擬合結(jié)果，并分析其結(jié)果。關(guān)鍵字：最小二乘法 matlab

2、 曲線擬合1 前言在現(xiàn)代科學(xué)研究中, 物理量之間的相互關(guān)系通常是用函數(shù)來描述的。有些函數(shù)關(guān)系是由經(jīng)典理論分析推導(dǎo)得出的, 這些函數(shù)關(guān)系不僅為我們進一步的分析研究工作提供了物理的理論基礎(chǔ),也使我們可以十分方便的運用豐富的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題。在現(xiàn)實的物理研究過程中, 有一些問題很難由經(jīng)典物理理論推導(dǎo)出物理量的函數(shù)表達式, 或者推導(dǎo)出的表達式十分復(fù)雜, 不利于進一步的分析。但由于研究需要, 又很希望能得到這些量之間的函數(shù)關(guān)系, 這時就可以利用曲線擬合的方法,用實驗數(shù)據(jù)結(jié)合數(shù)學(xué)方法得到物理量之間的近似函數(shù)表達式。2 最小二乘法原理在函數(shù)的最佳平方逼近中，如果只在一組離散數(shù)據(jù)點集,上給出，這就是科學(xué)

3、實驗中經(jīng)常見到的實驗數(shù)據(jù)（），的曲線擬合，這里（），要求一個函數(shù)與所給數(shù)據(jù)（），擬合，若誤差（），設(shè)上線性無關(guān)函數(shù)族，在，使得誤差平方和 （2-1）這里 n<m (2-2)這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語言說，就稱為曲線擬合的最小二乘法1。用最小二乘法求擬合曲線時，首先要確定S(x)的形式。這不單純是數(shù)學(xué)問題，還與所研究問題的運動規(guī)律及所得觀測數(shù)據(jù)（）有關(guān)；通常要從問題的運動規(guī)律及給定數(shù)據(jù)描圖，確定S(x)的形式，并通過實際計算選出較好的結(jié)果。S(x)的一般表達式為線性形式，若是k次多項式，S(x)就是n次多項式，為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中都考慮為加權(quán)平方和 （2-

4、3）這里是a,b上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點處的數(shù)據(jù)比重不同一般取值為1.用最小二乘法求擬合曲線的問題，就是求形如S(x)的一個函數(shù)，使取得最小。它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù) （2-4）的極小點問題。再由求多元函數(shù)極值的必要條件，有 (k=0,1,n)若記 （2-5） 上式可改寫成 （2-6）這個方程成為法方程，可寫成距陣形式 （2-7）其中 （2-8）它的均方誤差為： (2-9)最大偏差為： （2-10）3 問題描述在化學(xué)反應(yīng)中，由實驗測得分解物濃度與時間的關(guān)系如下表2所示表2 濃度（y）與時間( x )的關(guān)系實驗數(shù)據(jù)表x0510152025y01.272.162.863.443.87x303540455

5、055y4.154.374.514.584.624.64（1）試畫出以上數(shù)據(jù)的散點圖；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的變化趨勢，使用合適的經(jīng)驗公式擬合以上數(shù)據(jù)，求出偏差和均方誤差，并說明優(yōu)劣。4 問題求解及分析過程由所給的實驗數(shù)據(jù)點通過orgin軟件做出如圖1所示的散點圖，從圖中可以 圖1.分解物濃度與時間的散點圖及問題的物理背景可以看出，擬合曲線應(yīng)具有如下特點：曲線隨時間的增加而上升，但上升速度由快到慢。當x=0時反應(yīng)尚未開始，即y=0當x時，y趨于某一常數(shù)。故曲線應(yīng)通過原點，且有一水平漸近線。具有這兩種特點的曲線有很多，懸著不同的數(shù)學(xué)模型可以后的不同的擬合曲線和經(jīng)驗公式本文提供如下兩種方案。方案一：設(shè)想具

6、有指數(shù)形式 （4-1）在求解參數(shù)a和b時，為了避免求解一個非線性方程組，對上式兩邊取對數(shù)方程變?yōu)椋?（4-2）引入新的變量，并記上式變?yōu)?此時的問題就轉(zhuǎn)化為求形如的最小二乘解。運用matlab語言編寫計算和畫圖程序，程序一見附錄部分2。運算的結(jié)果：a=5.2151,b=-7.4962。最大偏差，均方誤差。故擬合的曲線為： （4-3）擬合的曲線圖形如圖2所示：圖2. 方案二：設(shè)想是雙曲線型的，具有下面的形式： （4-4）此時如直接按最小二乘原則來確定參數(shù)a和b的值，問題則歸結(jié)為求二元函數(shù)的極小點，這將導(dǎo)致要求解非線性方程組，從而給計算帶來麻煩，我們可以通過變量替換將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于求解待定參數(shù)的線性

7、函數(shù)。為此將（4-3）式轉(zhuǎn)化為 （4-5）引入新變量，方程變?yōu)椋?(4-6)問題同樣轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庑稳绲淖钚《私狻Ｍ瑯舆\用matlab語言來編寫其計算和作圖的程序，其程序見附錄第二部分。計算結(jié)果。此種方案的擬合曲線方程為 （4-7）擬合曲線圖形見圖3所示：圖3.把兩種方案的所得到的經(jīng)驗方程（4-3）和（4-7）進行比較見表4-1，從最大偏差和均方誤差這兩個角度來看前者優(yōu)于后者。表4-1經(jīng)驗公式最大偏差均方誤差式（4-3）0.30440.5811式（4-7）3.01104.1074因此在解決實際問題時，常常要經(jīng)過反復(fù)的分析，多次選擇、計算與比較，最終才能得到較好的數(shù)學(xué)模型。5 參考文獻1 李慶揚，

8、王能超，易大義.數(shù)值分析M.北京：清華大學(xué)出版社，2008.2鄭阿奇，曹戈。Matlab實用教程M.北京：電子工業(yè)出版社，2007.6 附錄程序1：x=5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55;y=1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64; Y=log(y);X=1./x; a=polyfit(X,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A), X=0:1:55; Y=a*exp(b./X); f=a*exp(b./x);plot(x,y,'r*',X,Y,'

9、b-'), xlabel('x'),ylabel('y')legend('數(shù)據(jù)點(xi,yi)','擬合曲線y=f(x)')title('數(shù)據(jù)點(xi,yi)和擬合曲線y=f(x)的圖形')fy=abs(f-y); fy2=fy.2; Ew=max(fy), E1=sum(fy), E2=sqrt(sum(fy2)程序2：x=5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55;y=1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64; Y=1./y;X=1./x; a=polyfit(X,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=A X=0:1:55; Y=X./(a*X+b); f=x/(a*x+b);plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'), xlabel('x'),ylabel('y')le