常微分方程期末復(fù)習(xí)

1、1.求下列方程的通解。.解：方程可化為令，得由一階線性方程的求解公式，得所以原方程為：2.求下列方程的通解。.解：設(shè)，則有，從而，故方程的解為，另外也是方程的解.3.求方程通過的第三次近似解.解：4.求解下列常系數(shù)線性方程。解：對應(yīng)的特征方程為：，.解得所以方程的通解為：5.求解下列常系數(shù)線性方程。解：齊線性方程的特征方程為，解得，故齊線性方程的基本解組為：，因?yàn)槭翘卣鞲?，所以原方程有形如，代入原方程得，所以，所以原方程的通解?.試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)一步判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性：解： 解得所以奇點(diǎn)為（經(jīng)變換，方程組化為因?yàn)橛炙?，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，所對應(yīng)的零解

2、為漸近穩(wěn)定的。7.設(shè)為方程（為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即，證明其中為某一值證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以也是方程的基解矩陣，且也是方程的基解矩陣，.且都滿足初始條件，所以 即命題得證。8.求方程的通解解： 積分因子 兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程： 兩邊積分得： 得： 因此方程的通解為：9.求方程的通解解：令 則 得： 那么. 因此方程的通解為：10.求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)解：， 解的存在區(qū)間為 即 令 又 誤差估計(jì)為：11.求方程的通解解：.是方程的特征值， 設(shè) 得： 則 得：. 因此方程的通解為：12.試求方程組的解解： 得

3、 取 得 取 則基解矩陣 因此方程的通解為：13.試求線性方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性解： （1，3）是奇點(diǎn) 令，那么由 可得： 因此（1，3）是穩(wěn)定中心14.證明題：如果是滿足初始條件的解，那么證明：由定理8可知 又因?yàn)?所以 又因?yàn)榫仃?所以 即命題得證。15.求下列方程的通解解：因?yàn)?，所以此方程不是恰?dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是解16.求下列方程的通解解：線性方程的特征方程故特征根是特征單根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解為17.若試求方程組的解并求expAt解：解得此時(shí) k=1由

4、公式expAt=得18.求下列方程的通解解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為： p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 19.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解解： 20.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性解：由解得奇點(diǎn)（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則因?yàn)?1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。21.證明題：階齊線性方程一定存在個(gè)線性無關(guān)解證明：由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無關(guān)的。22.求解方程：=解： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(

5、ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以23.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：，令z=x+y則所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+.即24.討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點(diǎn)（0，0）的一切解解： 設(shè)f(x,y)=,則 故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)， 因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件， 顯然，是通過點(diǎn)（0，0）的一個(gè)解； 又由解得，|y|= 所以，通過點(diǎn)（0，0）的一切解為及|y|=25.求解常系數(shù)線性方程：解： (1) 齊次方程的通解為x= (2)不是特征根，故取代

6、入方程比較系數(shù)得A=，B=-于是 通解為x=+26.試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算解： det()= 所以， 設(shè)對應(yīng)的特征向量為 由 取 所以，= 27.試討論方程組 （1）的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。解： 因?yàn)榉匠探M（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0） 又由det(A-E)=得 所以，方程組的奇點(diǎn)（0，0）可分為以下類型：a，c為實(shí)數(shù)28.試證：如果滿足初始條件的解，那么 證明： 設(shè)的形式為= （1） （C為待定的常向量）則由初始條件得= 又= 所以，C= 代入（1）得= 即命題得證。29.求解方程解：因?yàn)橛忠驗(yàn)樗苑匠逃蟹e分因子：u(x)=方程兩

7、邊同乘以得：也即方程的解為 30.求解方程 解：令，則即從而又故原方程的通解為t為參數(shù) 31.求解方程 解：齊線性方程的特征方程為故齊線性方程的一個(gè)基本解組為， 因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰奶卣鞲栽接行稳绲奶亟鈱⒋朐匠?，比較t的同次冪系數(shù)得：故有解之得：，所以原方程的解為：32.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解.解： .33.試求：的基解矩陣解：記A=,又得，均為單根 .設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則由得取,同理可得對應(yīng)的特征向量為：則均為方程組的解 .令又所以即為所求。 34.試求 的奇點(diǎn)類型及穩(wěn)定性.解：令，則：.因?yàn)?，又由得解之?為兩相異實(shí)根，且均為負(fù)故奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，對應(yīng)的零解是漸近穩(wěn)定的

8、。35.一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。解：由物理知識得：根據(jù)題意：故：.即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有.又當(dāng)t=0時(shí)，V=0，故c=因此，此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系為：36.求解方程 解：， 則所以另外也是方程的解 37.求方程經(jīng)過的第三次近似解解：.38.討論方程，的解的存在區(qū)間解：兩邊積分所以方程的通解為.故過的解為通過點(diǎn)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在區(qū)間為.39.求方程的奇解解: 利用判別

9、曲線得 消去得 即 所以方程的通解為 , 所以 是方程的奇解 40.求解方程 解: =, = ,= , 所以方程是恰當(dāng)方程. 得 . 所以故原方程的解為 .41.求解方程 解: 故方程為黎卡提方程.它的一個(gè)特解為 ,令 , 則方程可化為 , .即 , 故 .42.求解方程 解: 兩邊同除以得 .所以 , 另外 也是方程的解 .43.試證:若已知黎卡提方程的一個(gè)特解,則可用初等積分法求它的通解證明: 設(shè)黎卡提方程的一個(gè)特解為 令 , 又 .由假設(shè) 得 此方程是一個(gè)的伯努利方程,可用初等積分法求解 .44.試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線性方程 , 當(dāng) , 在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一證

10、明: 令 : , , 在上連續(xù), 則 顯然在上連續(xù) , 因?yàn)?為上的連續(xù)函數(shù) ,故在上也連續(xù)且存在最大植 , 記為 即 , .,=因此 一階線性方程當(dāng) , 在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一45.求解方程解：所給微分方程可寫成即有 .上式兩邊同除以，得 由此可得方程的通解為 即 .46.求解方程解：所給方程是關(guān)于可解的，兩邊對求導(dǎo)，有（1） 當(dāng)時(shí)，由所給微分方程得； （2） 當(dāng)時(shí)，得。因此，所給微分方程的通解為， （為參數(shù)） 而是奇解。 47.求解方程解：特征方程，故有基本解組， 對于方程，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故有形如的特解，將其代入，得，解之得，對于方程，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故有形如的特解，將其代入，得，所?/p>

11、原方程的通解為48.試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算，其中解：，均為單根，設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則由，得,取，同理可得對應(yīng)的特征向量為，則， ，均為方程組的解， 令，又，所以即為所求基解矩陣。49.求解方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性解：令，得，即奇點(diǎn)為（2，-3）令，代入原方程組得， 因?yàn)椋钟桑?解得，為兩個(gè)相異的實(shí)根，所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，零解不穩(wěn)定。 50.求方程經(jīng)過（0，0）的第二次近似解解：， ， 。假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如其中，是常數(shù)向量。51.證明: 假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如其中，是常數(shù)向量。證：設(shè)方程有形如的解，則是可以

12、確定出來的。事實(shí)上，將代入方程得， 因?yàn)?，所以?（1）又不是矩陣的特征值， .所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解52.求解方程 解： . .故方程的通解為 . 53求解方程 解：兩邊除以： .變量分離： .兩邊積分：即： .54.求解方程 解：令則于是 得 . 即 .4分. 兩邊積分 .于是，通解為 .55.求解方程 解： . .積分：故通解為： .56.求解方程 解：齊線性方程的特征方程為，故通解為 .不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 .于是原方程通解為 .57.求解方程 解：齊線性方程的特征方程為，解得 .于是齊線性方程通解為令為原方程的解，則得， .積分得；故通解為 .5

13、8.求解方程 解： 則 .從而方程可化為 ， .積分得 .59.求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性 解：解方程組，解得所以（1，3）為奇點(diǎn)。 令則而， 令，得為虛根，且，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定中心，零解是穩(wěn)定的。60.求解方程解：因?yàn)?，所以此方程不是恰?dāng)方程，方程有積分因子， 兩邊同乘得所以解為 .即另外y=0也是解 .61.求解方程解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)： .即由得即將y代入（*） .即方程的 含參數(shù)形式的通解為： p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 62.求解方程解：線性方程的特征方程故特征根 .是特征單根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 .不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解為.63求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解解： 64.若試求方程組的解并求expAt解：解得 .此時(shí)