放縮法在不等式證明中的應(yīng)用

1、放縮法在不等式證明中的應(yīng)用摘要放縮法是不等式證明中一種很精細(xì)、很巧妙的證明方法，但是，如何快速、有效地進(jìn)行放縮這是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者必須要掌握的內(nèi)容，以及如何靈活、適度地進(jìn)行這是我們研究學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).關(guān)鍵詞：放縮法;不等式 ;證明 ;方式 ;目標(biāo) ;適度AbstractScaling law is the inequalities in a very sophisticated and very clever that way, but how quickly, efficiently scaling this is our mathematics learners have to master

2、the content, and how flexible, appropriate manner that is The weight of learning difficulties.Key words: Scaling law;Inequality;Prove;Manner;Target;Moderation目 錄第一章 引言1頁第二章 不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用2頁2.1 不等式的傳遞性2頁2.2 利用絕對值不等式的性質(zhì)2頁2.3 利用均值不等式的性質(zhì)3頁第三章 放縮法在不等式中的應(yīng)用4頁3.1放縮的基本類型4頁 3.1.1舍添一些恒正或恒負(fù)的項4頁 3.1.2 適當(dāng)?shù)貙⒎质降姆肿樱ɑ蚍?/p>

3、母）放大或縮小4頁 3.1.3 利用基本不等式5頁 3.1.4 利用函數(shù)的單調(diào)性5頁 3.1.5 利用二項式定理進(jìn)行適度地放縮6頁3.2 放縮的目的6頁 3.2.1有利于約分6頁 3.2.2 有利于差分7頁 3.2.3 有利于消元7頁 3.2.4 有利于運(yùn)用公式8頁第四章 如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s9頁第五章 總結(jié)11頁參考文獻(xiàn)12頁致謝;第1章 引言不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位，特別是不等式的證明，因此，學(xué)會靈活地運(yùn)用其證明不等式是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在不等式的證明中，我們往往遇到從直接給出的已知條件是很難以證明的，這時如果我們對式子進(jìn)行放大或縮小，使問題發(fā)生相應(yīng)的變化，這樣就使問題得以解決，我們稱

4、這種方法為放縮法.清楚地說放縮法就是在證明不等式中，利用不等式的傳遞性，作相應(yīng)的放大或縮小，證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明，放縮法的目的性很強(qiáng)，在利用放縮法中，其要求很高，在運(yùn)用時必須要恰到好處，否則不能達(dá)到目的，至于放縮法適用于哪種不等式，這沒有明確的規(guī)定，這需要我們在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)真總結(jié)、歸納.第二章 不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用2.1 不等式的傳遞性：若則 我們常常說借別人的東西，就是借別人的東西來使用，在不等式的證明中我們也使用到，當(dāng)我們不能直接證明A<C時，我們可以借助B，讓它起到連接A和C的作用，我們可以先證存在B，使得證A<B,B<C,這樣我們就得出A

5、<C，這就是不等式的傳性的運(yùn)用 例：已知，且，求證： 證明： 2.2 利用絕對值不等式的性質(zhì)： 在數(shù)學(xué)證明里，證明兩個數(shù)（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，當(dāng)這些方法難以證明時，特別是在絕對值不等式中時，我們可以利用我們學(xué)過的絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明. 例：已知且，求證： 證明： 所以2.3 利用均值不等式的性質(zhì)：若，則. 我們知道任何數(shù)的平方都大于或等于0，即，化簡得，即任何兩個數(shù)的平方之和大于或等于他們積的2倍，而在均值不等式中，因?yàn)榍遗c同號，所以要滿足上述公式，可知，下面我們談?wù)勂湫再|(zhì) 例：若，且，求證： 證明： 所以 第三章 放縮法在不等式中的應(yīng)用3.1 放縮

6、的基本類型 3.1.1 舍添一些恒正或恒負(fù)的項 為了往不等式的解靠近，我們在不能直接解題的情況下，我們可以將式子添加（或減去）某些正項或者負(fù)項，這樣就能使式子放大或縮小.例：證明級數(shù)收斂.證明：當(dāng)時，有而，所以， ，于是，對，只須，當(dāng)時，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則知收斂 3.1.2 適當(dāng)?shù)貙⒎质降姆肿樱ɑ蚍帜福┓糯蠡蚩s小 在分式中，如果分母不變、分子變大（或變?。﹦t值變大（或變?。?；反之，如果分子不變、分母變大（或變?。﹦t值變?。ɑ蜃兇螅?，這是我們在放縮過程中應(yīng)該掌握的結(jié)論.例：已知，求S的整數(shù)部分證明：由，知道(1); (2) ,由（1）、（2）知S=165 3.1.3 利用基本不等式 放縮是沒有固定

7、的方式，這要看情況而選，在選擇時重要的還是根據(jù)題意所給的條件來決定的，如下是選擇利用不等式的性質(zhì)來進(jìn)行放縮例：已知，求證：證明：因?yàn)椋?所以 所以 3.1.4 利用函數(shù)的單調(diào)性 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，知道單調(diào)函數(shù)具有增減性，而其增減性正相似于放縮法里面的放大或縮小，其實(shí)放大就是往右移動，縮小就是往左邊移動.例：已知各項為正數(shù)的數(shù)列滿足，求證：證明：（1）當(dāng)時，由已知有，于是，所以，因?yàn)?，所以，即?dāng)時不等式成立 （2）假設(shè)時不等式成立，即，由已知有，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時不等式成立，綜合（1）、（2）知，對時不等式都成立 3.1.5 利用二項式定理進(jìn)行適度地放縮 在不等式

8、的證明中，如果正面不能進(jìn)行的話，我們要想到作一些相應(yīng)的變形，使題目變成我們熟悉的公式或恒等式.如二項式定理在不等式證明中的應(yīng)用例：設(shè)，且，求證：證明：令，則，即證，因，故，所以結(jié)論得證，即3.2 放縮的目的 在運(yùn)用放縮法證明不等式時，我們一定要認(rèn)真審題，我們應(yīng)該明白我們應(yīng)該怎么放縮，這樣放的目的是什么，這就是放縮過程中的重要性，如： 3.2.1 有利于約分 我們知道放縮法就是放與縮的過程，重要的是我們?nèi)绾畏藕涂s，使它達(dá)到我們要證明的問題，像在分式中，如果式子不能直接化簡，我們可以給式子放或縮，使它能夠含有公因式這樣就可以約去公因式達(dá)到化簡，明白的說就是讓分母不變、分子變大（或變?。┦蛊渲底兇蠡?/p>

9、變小；反之，讓分子不變、分母變大（或變?。┦怪底冃。ɑ蜃兇?，）. 如下題 就是利用分母變小，使值變大的放縮. 例：證明： 證明：因?yàn)?因此，對，只要，即，取，當(dāng)時，有，即所以 3.2.2 有利于差分 數(shù)學(xué)是很講究技巧的，表面上有些式子是無法求出來的，但是，如果我們認(rèn)真審題，找出題意的本質(zhì)，我們就會發(fā)現(xiàn)它里面蘊(yùn)含著很大的秘密或技巧，例如，的結(jié)果我們可以通分很快就可以算出來，但是，甚至?xí)r我們該怎么求呢？我們知道他們他們各子分?jǐn)?shù)都是可以拆開的，當(dāng)他們拆開時我們發(fā)現(xiàn)中間兩項之和剛好等于0，最后只剩下首尾兩項.下面我們再看一題 例：證明數(shù)列收斂，其中 證明：對，取，當(dāng)時， 所以 3.2.3 有利于消元

10、我們知道解題的過程就是化簡，使問題由繁化簡，由難化易，當(dāng)由已知條件無法化簡時，我們可以給問題進(jìn)行適度地放縮，使得問題能夠化簡消元，使問題得以解決. 例:證明級數(shù)的斂散性 證明：取，則不論取多大，若令，則有，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則之知級數(shù)發(fā)散3.2.4 有利于運(yùn)用公式 數(shù)學(xué)里面我們學(xué)習(xí)了很多數(shù)學(xué)公式，但是我們應(yīng)該如何運(yùn)用這些公式呢，這要具體問題具體分析，我們要認(rèn)真地審題，題目的意思跟哪個公式比較接近，然后把我們所要求的問題向所需要的公式靠攏，使問題得以解決. 例：證明： 證明：對任意的實(shí)數(shù)，有，即，這就等價于求一元二次方程的解的問題，要滿足上述條件，我們知道判別式要小于或等于零，即，化簡得，所以結(jié)論得

11、證.第四章 如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s運(yùn)用放縮法證明不等式的確是一種很巧妙的證明方法，但是才能如何做到快速、有效地放縮，即應(yīng)該放多大，縮多小，這是我們在利用放縮法選擇證明不等式時要認(rèn)真考慮的事情，需要我們在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)一步地探討. 例1： 求證：分析：由通項，知，可這樣放縮顯然達(dá)不到目的，這里無疑是放得太大了，若由通項，經(jīng)檢驗(yàn)可以達(dá)到證明的目的.證明：由通項，所以 （無窮等比數(shù)列），即.例2:：求證：分析：由通項（1） （2）（A）由（1）有 ，顯然放縮過大.（B）若適當(dāng)?shù)乇Ａ裟骋豁棧ㄟ@里保留一項），得，放縮正確（C）由（2）有，顯然放縮過?。―）若適當(dāng)?shù)乇Ａ裟骋豁棧ㄟ@里保留一項），得，知放縮正確.綜合上述，聯(lián)合（B）、（C）得證，即參考文獻(xiàn)1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)5（必修）M,人民教育出版社,2