信號(hào)與系統(tǒng)第七章2鄭君里

1、1用差分方程描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)用差分方程描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)由實(shí)際問題直接得到差分方程由實(shí)際問題直接得到差分方程由微分方程導(dǎo)出差分方程由微分方程導(dǎo)出差分方程由系統(tǒng)框圖寫差分方程由系統(tǒng)框圖寫差分方程差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn)2一線性時(shí)不變離散系統(tǒng)一線性時(shí)不變離散系統(tǒng)離離散散時(shí)時(shí)間間系系統(tǒng)統(tǒng))(1nx)(1ny離離散散時(shí)時(shí)間間系系統(tǒng)統(tǒng))(2nx)(2ny離離散散時(shí)時(shí)間間系系統(tǒng)統(tǒng))()(2211nxcnxc )()(2211nycnyc 線性：均勻性、可加性均成立；線性：均勻性、可加性均成立；3時(shí)不變性時(shí)不變性 ，nynx 位位整整個(gè)個(gè)序序列列右右移移NNnyNnx nO)(nx11123

2、系統(tǒng)系統(tǒng)nO)(ny111234nO)(Nnx 1112 3系統(tǒng)系統(tǒng)nO)(Nny 1112 34二由實(shí)際問題直接得到差分方程例如：例如：y(n)表示一個(gè)國家在第表示一個(gè)國家在第n年的人口數(shù)年的人口數(shù)a(常數(shù)常數(shù))：出生率：出生率b(常數(shù)常數(shù)): 死亡率死亡率設(shè)設(shè)x(n)是國外移民的凈增數(shù)是國外移民的凈增數(shù)則該國在第則該國在第n+1年的人口總數(shù)為：年的人口總數(shù)為：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)5三由微分方程導(dǎo)出差分方程 TTtytytty dd TtyTtytty dd后差后差或前差或前差 tftaytty dd ：輸輸出出ty ：輸

3、入：輸入tfT : 時(shí)間間隔時(shí)間間隔若用后差形式若用后差形式 tftayTTtyty 6 nynTyty nfnTftf nfnayTnyny 1 nfaTTnyaTny 1111 tftayTTtyty 若在若在t=nT 各點(diǎn)取得樣值各點(diǎn)取得樣值當(dāng)前輸出當(dāng)前輸出前一個(gè)輸出前一個(gè)輸出輸入輸入n代表序號(hào)代表序號(hào)7四由系統(tǒng)框圖寫差分方程1基本單元 nx1 nx2 nxnx21 nx1 nx2 nxnx21 加法器加法器：乘法器：乘法器： nx1 nx2 nxnx21 8 nx naxa nx naxa延時(shí)器延時(shí)器單位延時(shí)實(shí)際是一個(gè)移位寄存器，把前一個(gè)單位延時(shí)實(shí)際是一個(gè)移位寄存器，把前一個(gè)離散值頂出

4、來，遞補(bǔ)。離散值頂出來，遞補(bǔ)。 ny 1 nyE1 ny 1 ny1z標(biāo)量乘法器標(biāo)量乘法器系統(tǒng)框圖9五差分方程的特點(diǎn) (1)輸出序列的第輸出序列的第n個(gè)值不僅決定于同一瞬間的輸入樣個(gè)值不僅決定于同一瞬間的輸入樣值，而且還與前面輸出值有關(guān)，每個(gè)輸出值必須依次值，而且還與前面輸出值有關(guān)，每個(gè)輸出值必須依次保留。保留。(2)差分方程的階數(shù)：差分方程中變量的最高和最低差分方程的階數(shù)：差分方程中變量的最高和最低序號(hào)差數(shù)為階數(shù)。序號(hào)差數(shù)為階數(shù)。如果一個(gè)系統(tǒng)的第如果一個(gè)系統(tǒng)的第n個(gè)輸出決定于剛過去的幾個(gè)輸出個(gè)輸出決定于剛過去的幾個(gè)輸出值及輸入值，那么描述它的差分方程就是幾階的。值及輸入值，那么描述它的差分方

5、程就是幾階的。 MrrNkkrnxbknya00:通通式式10差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn)(4)差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入序列與輸出序差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入序列與輸出序列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該會(huì)寫列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該會(huì)寫會(huì)畫。會(huì)畫。(3)微分方程可以用差分方程來逼近，微分方程解是微分方程可以用差分方程來逼近，微分方程解是精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之處。處。11例例1: 框圖如圖，寫出差分方程框圖如圖，寫出差分方程 1 naynxny解：解：a nx nyE1a nx nyE1 naynx

6、ny 1 nxnyany 11 )( 或或一階后向差分方程一階后向差分方程一階前向差分方程一階前向差分方程12解法解法1.1.迭代法迭代法3.3.零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+ +零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.2.時(shí)域經(jīng)典法：齊次解時(shí)域經(jīng)典法：齊次解+ +特解特解4. z變換法變換法反變換反變換y(n)解差分方程的基礎(chǔ)方法解差分方程的基礎(chǔ)方法差分方程本身是一種遞推關(guān)系，差分方程本身是一種遞推關(guān)系， 的的解解析析式式但但得得不不到到輸輸出出序序列列ny13二時(shí)域經(jīng)典法 1.齊次解：齊次方程的解 01 nayny anynyyyyyy 10110, 01 nC

7、any 指數(shù)形式指數(shù)形式 不不能能全全為為零零但但起起始始狀狀態(tài)態(tài)Nyyy ,2,1 所以所以的幾何級數(shù)的幾何級數(shù)是一個(gè)公比為是一個(gè)公比為說明說明 , anyarar 可可得得或或由由特特征征方方程程, 0 nnCaCrny 14求待定系數(shù)C由邊界決定由邊界決定 210 ayy代入原方程，代入原方程， ,21ay 設(shè)設(shè)0 n令令 ny 由方程解由方程解 CCay 002 C所所以以 nany2 齊次解齊次解求差分方程齊次解步驟差分方程差分方程特征方程特征方程特征根特征根y(n)的解析式的解析式由起始狀態(tài)定常數(shù)由起始狀態(tài)定常數(shù)15根據(jù)特征根，解的三種情況 nnnnnrCrCrCny 2211階階

8、方方程程無無重重根根nrrrn 21 .12.2.有重根有重根 如三重根如三重根r r1 1=r=r2 2=r=r3 3=r=r3.3.有共軛復(fù)數(shù)根有共軛復(fù)數(shù)根 可視為二個(gè)不等單根可視為二個(gè)不等單根 n23n2n1rnCrnCrCny162.特解線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出有相同的形式線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出有相同的形式 annxe anAnye nnx je nAny je 輸入輸入輸出輸出 nnx cos )cos( nAny nnx sin )sin( nAny knnx 0111AnAnAnAnykkkk Anx Cny nrnx nrCny nrnx nnrCrnCny21 （r與特征根

9、重）與特征根重） 17三零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.零輸入響應(yīng)：輸入為零，差分方程為齊次C由初始狀態(tài)定（相當(dāng)于由初始狀態(tài)定（相當(dāng)于0-的條件）的條件） nrC齊次解：齊次解：2.零狀態(tài)響應(yīng)：初始狀態(tài)為0，即 021 yy求解方法求解方法經(jīng)典法：齊次解經(jīng)典法：齊次解+ +特解特解卷積法卷積法18例1： 111300 yyn 410311 yyn 1311322 yyn 4012333 yyn由遞推關(guān)系由遞推關(guān)系,可得輸出值：可得輸出值： ,40,13, 4, 10nny 求求解解方方程程。，且且已已知知, 0113 ynunyny19 02615 nynyny 11, 20。已已知知 yy3, 2

10、21 rr 132112002121 CCynCCyn nnny3325 特征方程特征方程 0320652 rrrr齊次解齊次解 nnCCny3221 定定C1,C2解出解出3, 521 CC例例2: 求解二階差分方程求解二階差分方程特征根特征根20 的解。求方程03ny82ny121ny6ny nnnnCnCCny2222321 特征方程特征方程 0208126323 rrrr三三重重根根 2 r給定邊界條件即可求出常數(shù)給定邊界條件即可求出常數(shù)321,CCC例321例4:設(shè)差分方程的特征根為設(shè)差分方程的特征根為 jjMerMer 21 nnrCrCny2211 njnjMeCMeC 21 n

11、jnMCnjnMCnnsincossincos21 nQMnPMnnsincos P,Q為待定系數(shù)為待定系數(shù)為減幅正弦序列為減幅正弦序列 nyM1 nyM1 為等幅正弦序列為等幅正弦序列 nyM1 為增幅正弦序列為增幅正弦序列討論零輸入響應(yīng)情況討論零輸入響應(yīng)情況22例例5 5 求求全全解解且且 11512ynunyny202 rr齊次解齊次解 （常數(shù)）（常數(shù)）時(shí)全為時(shí)全為 5 05 nnunx Cnyp )0(52 nCC35 C代入原方程求特解代入原方程求特解 3521 nphCnynyny nhCny21 特解特解 全全解解形形式式233)1(25)0( 0 yyn 迭迭代代出出由由11

12、y ，得，得代入解代入解3521 nCny 33501Cy341 C 035234 nnyn由由邊邊界界條條件件定定系系數(shù)數(shù) 125512nynunynunyny24 1nxnx2ny21ny3ny LTIS的差分方程 0102 yynunxn已已知知 時(shí)時(shí)的的解解。即即當(dāng)當(dāng)零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)0, nxnyzi求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 02213 nynyny1, 2023212 rrrr nnziCCny1221 例625求初始狀態(tài)（0-狀態(tài)） 題目中題目中 ,是激勵(lì)加上以后的是激勵(lì)加上以后的,不能說明狀態(tài)不能說明狀態(tài)為為0,需迭代求出需迭代求出 。 010 yy 2,1 yy 021212031 10uuyyyn 1121200 y 211 y 120222130 010 uuyyyn 122130 yy 452 y26 :2,1代代入入方方程程以以 yy 45122211212