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1、一、定義1、從一個角的頂點引出一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的角平分線 。2、三角形頂點到其內(nèi)角的角平分線交對邊的點連的一條線段,叫三角形的角平分線。 角平分線與三角形的角平分線的區(qū)別:三角形的角平分線不是角的平分線:一個是線段,一個是射線。 二、角平分線的性質(zhì)定理與逆定理性質(zhì)定理:角的平分線上的點到角兩邊的距離相等。判定定理:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。BADCBAPOABOPEF二、角的平分線的定義和性質(zhì)應(yīng)用:例:如圖,AD是ABC的角平分線,DEAB , DFAC ,垂足分別是E,F(xiàn),連接EF。EF與AD交于G。AD與EF垂直嗎?說明你的理由。
2、ABCEFDG三、探究三角形角平分線的性質(zhì)1、三角形一個內(nèi)角的平分線所分得的兩個三角形面積之比等于這個角的兩鄰邊之比;也等于分對邊所成的兩條線段之比。例:如圖,ABC中,AD是它的角平分線。求證 : = AB : AC = BD : DCABDSACDSDCBA2、三角形兩條角平分線所成的夾角與三角形中第三角的關(guān)系。(1)已知,如圖在ABC中BP、CP分別平分ABC、 ACB相交于點P。求證:BPC = + APACBPACBPACBPACB2121(2)已知,如圖在ABC中BP、CP分別平分ABC、 ACB的外角相交于點P。求證:BPC = A(3)已知,如圖在ABC中BP、CP分別平分AB
3、C的外角、 ACB的外角相交于點P。求證:BPC = A0902109021(圖1)(圖2)(圖3)3、三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點且這點到三邊的距離相等。FEHPNMCBAG四、角平分線的性質(zhì)在證明題中的作用。1、根據(jù)角平分線的定義可得到相等的角或判定角的平分線例:已知,如圖AB=AC,BD平分ABC,求證:DB平分ADCADCB2、根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理充分利用垂線段相等條件例:如圖,ABCD,BCCD于C,CDA的平分線交BC于點E,且E為BC的中點,連接AE,問:AE是DAB的平分線嗎?為什么?DCABE3、利用角的對稱性在角平分線兩側(cè)構(gòu)造全等三角形。例:如圖,在ABC中, C=2 B,AD是ABC的角平分線,求證:AB=AC+CDABCD練一練:1、已知ABC中,C= ,AC=BC,AD是BAC的角平分線,求證:AC+CD=AB090ABCD2、如圖,在四邊形ABCD
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