數(shù)學(xué)歸納法(講課用)（課堂PPT）

1、高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)組 林占生林占生2 課前篇檢查與展示問題問題 1 1: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)列列已已知知，猜猜想想其其通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式111a 212a 1nan 313a 問題問題2：某人看到樹上烏鴉是黑的，某人看到樹上烏鴉是黑的，深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。 問題情境一問題情境一.我是白的哦！思考：歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？思考：歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？?jī)?yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：可以幫助我們從一些具體事可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的

2、結(jié)論有時(shí)是不正確的得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的思考思考1 1：與正整數(shù)與正整數(shù)n n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否通過通過一一驗(yàn)證一一驗(yàn)證的辦法來加以證明呢？的辦法來加以證明呢？思考思考2 2：如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n n有有關(guān)關(guān), ,我們能否找到一種既簡(jiǎn)單又有效的證我們能否找到一種既簡(jiǎn)單又有效的證明方法呢？明方法呢？數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法【命題成立的連命題成立的連續(xù)性續(xù)性】137951+3+5+(2n1)=n2 (nN*)證明：證明：例例1：觀察：觀察歸納猜想：歸納猜想：你能得出什么結(jié)論？你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學(xué)歸納法證并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。明你的結(jié)論。nn

3、（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=1, 右邊右邊=12=1，等式成立等式成立.（2）假設(shè)）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，時(shí)等式成立， 即即1+3+5+(2k1)=k2 ,則則n=k+1時(shí)，時(shí)， 1+3+5+2(k+1)1= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1= k2+2k+1=(k+1)2.即即n=k+1時(shí)等式也成立時(shí)等式也成立.根據(jù)（根據(jù)（1）,（2）知等式對(duì)一切）知等式對(duì)一切nN*都成立都成立.135（2n1）用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明n2即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。時(shí)等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1 1）和（）和（2 2）可知，等式對(duì)任何都成立。）可知，等式對(duì)任何都成立。n N證明：

4、證明：135（2k1）+2(k+1)1那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即時(shí)，等式成立，即（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊1，右邊，右邊1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假設(shè)）（假設(shè)）（利用假設(shè)）（利用假設(shè)）注意：注意：遞推基礎(chǔ)不可少，遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到，歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉結(jié)論寫明莫忘掉。證明傳遞性證明傳遞性（湊結(jié)論）湊結(jié)論）數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為： 驗(yàn)證驗(yàn)證n= =n0 0時(shí)時(shí)命題成立。命題成立。若若n = k ( k n0 0 )

5、時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。 命題對(duì)從命題對(duì)從n0 0開始的所有開始的所有的正整數(shù)的正整數(shù)n都成立。都成立。歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推 注：兩個(gè)步驟注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論,缺一不可缺一不可證明證明：（1）當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，,1a 左邊左邊,011ada 右右邊邊等式是成立的等式是成立的（2）假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是,) 1(1dkaak 那么那么daakk 1ddka )1(1這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式對(duì)任何），可知等式對(duì)任何 都成立都成立

6、Nndka1)1(1 dnaan)1(1 如果如果 是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為 公差為公差為 ，那么，那么na1ad對(duì)一切對(duì)一切 都成立都成立 Nn例例2 2試用數(shù)學(xué)歸納法證明試用數(shù)學(xué)歸納法證明 因此數(shù)學(xué)歸納法是一種科學(xué)的遞推方法因此數(shù)學(xué)歸納法是一種科學(xué)的遞推方法 (1)(1)是是遞推的遞推的基礎(chǔ)基礎(chǔ) (2)(2)是是遞推的遞推的依據(jù)依據(jù)都成立。何對(duì)任時(shí)等式都成立，即等式，知道推下去，就時(shí)等式也成立，這樣遞），時(shí)等式成立，再根據(jù)（也成立。由于時(shí)等式），時(shí)等式成立，再根據(jù)（），：根據(jù)（上述結(jié)論是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 nn -1n1已 知 數(shù)

7、 列 a 為 等為 q,求 證 : 通 項(xiàng)：公 式 為 a= a qn nn n - -1 1練練 習(xí)習(xí)比比 數(shù)數(shù) 列列 ，公公 比比（ 提提 示示 ： a a= = q qa a）例例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化利 用 假利 用 假設(shè)設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kk

8、k+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 11 12 23 33 3練習(xí)練習(xí)2用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明6) 12)(1(3212222nnnn證明：證明：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊121，右邊，右邊等式成立。等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是時(shí)，等式成立，就是163216) 12)(1(3212222kkkk那么那么 61)1(21

9、)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。時(shí)等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可知等式對(duì)任何），可知等式對(duì)任何nN都成立。都成立。思考思考1 1：試問等式試問等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立嗎？某成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問該同同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解解: :設(shè)設(shè)n nk k時(shí)成立，即時(shí)成立，即這

10、就是說，這就是說，n nk+1k+1時(shí)也成立時(shí)也成立2+4+6+2kk2+k+1則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí) 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式對(duì)任何所以等式對(duì)任何nNnN* *都成立都成立事實(shí)上，當(dāng)事實(shí)上，當(dāng)n n1 1時(shí)，左邊時(shí)，左邊2 2，右邊，右邊3 3左邊左邊右邊，等式不成立右邊，等式不成立該同學(xué)在沒有證明當(dāng)該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1n=1時(shí)，等式是否成立的前提時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式對(duì)任何下，就斷言等式對(duì)任何nNnN* *都成立，為時(shí)尚早都成立，為時(shí)尚早證明：證明：當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，

11、左邊時(shí)，左邊,21右邊右邊,212111 假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，時(shí)，等式成立，,2112121212132kk 那么那么n=k+1時(shí)時(shí) 1322121212121kk等式成立等式成立這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可知等式對(duì)任何），可知等式對(duì)任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求數(shù)學(xué)歸納法的證明要求思考思考2 2：下面是某同學(xué)下面是某同學(xué) 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過程成立的過程, ,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（nN）nn2112121212132 因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是步是遞推的遞推的基礎(chǔ)基礎(chǔ)，第二步是，第二步是遞遞推的推的依依據(jù)據(jù)。缺了第一步遞推失。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。依據(jù)，因此無法遞推下去。1.1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與