高考題立體幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系

1、專題 立體幾何高考考試大綱說明的具體要求： (1）空間幾何體認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了

2、解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個

3、平面平行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：如果一條直線與一個平面平行,經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交,那么這條直線就和交線平行.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直. 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.一、基礎(chǔ)知識梳理：1、三個公理和三條推論：公理1：一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個平面

4、內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。公理2、如果兩個平面有兩個公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個公共點(diǎn)都在同一條直線上。這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。公理3和三個推論是確定平面的依據(jù)。2、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面兩直線平行的判定：隱含的線線平行關(guān)系：題目中涉及中點(diǎn)時，利用中位線的性質(zhì)，利用平行四邊形的對邊平行；線段成比例，兩直

5、線平行；找線線平行。（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；即（2）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；即（3）面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行；即（4）線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。即兩直線垂直的判定：隱含的線線垂直關(guān)系：等腰三角形底邊上的高（中線或角平分線）；矩形的內(nèi)角；直徑所對的圓周角；菱形的對角線；直角三角形（或給出線段的長度滿足勾股定理）（1）異面直線成角定義即（2）轉(zhuǎn)化為證線面垂直,用線面垂直定義即；（3）三垂線定理及逆定

6、理。定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（簡稱線射，線斜）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。（簡稱線斜，線射）。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。兩異面直線及所成的角：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線,叫做異面直線, (1)異面直線所成的角的定義：已知異面直線,過空間任一點(diǎn)分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線與所成的銳角(或直角)叫做兩異面直線所成的角，其范圍為；（2）設(shè)直線與所成的角為，則1.【2015高考新課標(biāo)1，理18】如圖，四邊形為菱形， 是平面同一側(cè)的兩點(diǎn)，

7、平面，平面，。（1）證明：平面平面（2）求直線與直線所成角的余弦值1.連接，設(shè),連接,在菱形中，不妨設(shè)，由,可得.由平面,可知，,又,.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形中，由可得從而， ，平面，平面，平面平面. 6分（）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 的方向為軸，軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，由（）可得， 故.所以直線與所成的角的余弦值為. 異面直線所成角：范圍：； 計算方法:求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上，構(gòu)造平面

8、角；證明這個角（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成角； 解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角的度數(shù)。3、直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，平行、相交其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。直線在平面內(nèi)即；直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。 注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；直線與平面平行即。4、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：直線與平面平行的判定：（二種方法，不包括空間向量的方法） 判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行即面面平行的定義：若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個

9、平面平行。即2、（2013廣東卷文18）（本小題滿分13分）如圖4，在邊長為1的等邊三角形中，分別是邊上的點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將沿折起，得到如圖5所示的三棱錐，其中(1) 證明：/平面；2.證明：,折起后仍成立/平面直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。5、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：直線和平面垂直的判定：(三種方法) 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。即 兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。即 面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂

10、直于它們交線的直線垂直于另一個平面。即3、（2011廣東卷理18）（本小題滿分13分）如圖，在錐體中，是邊長為的菱形，且，, ， ，分別是的中點(diǎn) 證明：平面； 3.證明：法一：是邊長為的菱形， 四邊形是平行四邊形， 法二：是邊長為的菱形，故，得;四邊形是平行四邊形，得;4、（2012年廣東理18）（本小題滿分13分）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn) 在線段上，平面。1 證明：平面；4.證明：5、（2012廣東卷文18） (本小題滿分13分)如圖所示，在四棱錐中，平面，是中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，為中邊上的高。證明：平面；證明：平面5.證明：平面，面 又面取的中點(diǎn)為，連接, ，又平面面面，它

11、們的交線為，面， 點(diǎn)是棱的中點(diǎn)故有四邊形 為平行四邊形， 又 面，故有平面6、（2013廣東卷理18）（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點(diǎn),為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.() 證明:平面；6.證明:在圖1中,得連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知(折起前為)在中, ,所以,同理可證, 又平面,所以平面.直線和平面垂直的性質(zhì)： 如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。即6、直線和平面所成的角：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線

12、和平面的交點(diǎn)叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線 叫做斜線在這個平面上的射影。定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。范圍：；直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是這條直線和它在平面上的射影所成的銳角；直線和平面垂直時，直線和平面所成的角為；直線和平面平行或直線在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角為；由此可知，直線和平面所成角的范圍為；求法：作出直線在平面上的射影； 斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。向量求法：設(shè)直線AB與平面所成的角為,平面的法向量為,則 =7.（20

13、13年全國課標(biāo)1理數(shù)18）（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，.（）證明;（）若平面平面，求直線 與平面所成角的正弦值。7.【答案】（1）取的中點(diǎn)，連接、，因為，所以，由于，故為等邊三角形，所以，又所以平面，因為平面，所以；（2）由（1）知，又平面平面，交線為，所以平面，故兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，為軸的正方向，為單位長，建立如圖直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)為平面的法向量，則，則，可取，故,所以直線 與平面所成角的正弦值.在求解斜線和平面所成角的過程中，確定點(diǎn)在直線上或平面上的射影的位置是一個既基本又重要的問題，確定點(diǎn)在平面上的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線的射影上利用已

14、知垂直關(guān)系得線面垂直，確定射影利用面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，確定射影經(jīng)過一個角的頂點(diǎn)作這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在的直線求直線與平面所成角的一般過程是通過射影轉(zhuǎn)化法，作出直線與平面所成角，在三角形中求角的大小7、平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行-沒有公共點(diǎn)；（2）相交-有一條公共直線。8、兩個平面平行的判定和性質(zhì)：兩個平面平行的判定：（二種方法，不包括空間向量的方法） 如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。即如果兩個平面都垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行即兩個平面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三

15、個平面相交，那么它們的交線平行。兩個平面垂直的判定：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直。也可用向量法證兩平面為直二面角（即二面角的平面角為）。9、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。 在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上； 角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)； 角的兩邊與棱都垂直。二面角的范圍：；作平面角的主要方法： 定義法：

16、直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性； 三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角； 垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；向量法：設(shè)平面與平面所成的角為，且，則。8、（2011廣東卷理18）（本小題滿分13分）如圖，在錐體中，是邊長為的菱形，且，, ， ，分別是的中點(diǎn) 求二面角的余弦值8.解：是邊長為的菱形，且 9、（2012年廣東理18）（本小題滿分13分）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn) 在線段上，平面。證明：平面；若，求二面角的正

17、切值；9., ；又為矩形，故四邊形為正方形。 設(shè)與交點(diǎn)為，連。,為二面角的平面角, 故 為直角三角形。在中，, 又, 又, 二面角的平面角的正切值為10、（2013廣東卷理18）（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點(diǎn),為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.() 證明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.10.()證明:在圖1中,得連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知(折起前為)在中, ,所以,同理可證, 又平面,所以平面.() 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié),因為平面,所以,所以為二面角的平面角.結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而所以,所以二面角的平面角的

18、余弦值為.向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,所以,設(shè)為平面的法向量,則,即,解得,令,得由() 知,為平面的一個法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值為.11. 【2016高考新課標(biāo)1理數(shù)18】（本題滿分為12分）如圖，在以，為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，且二面角與二面角都是 (1)證明:平面平面；(2)求二面角的余弦值11、【解析】(1)證明：由為正方形，有，由有，又，又，所以平面平面；(2)解：過作，垂足為，由（I）知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），由（1）知，為二面角的平面角，故，則， ，得，由，所以平面。又平面平面，故，從而有，故四邊形為梯形。由，