全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題38550

1、2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題 考試時(shí)間：10月11日上午8：009：20一、 填空題：本大題共8小題，每小題7分，共56分。把答案填在橫線上。1、2、3、4、5、6、7、一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)字之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前100個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是。8、某車站每天都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站的時(shí)刻8：109：108：309：308：509：50概率一旅客8：20到站，則它候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為。（精確到分）分析：二、 解答題：本大題共3小題，共44分

2、。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。1、（本小題滿分14分）2、（本大題滿分15分）3、（本大題滿分15分）2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省賽區(qū)預(yù)賽試題一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.1.方程在區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)為_.2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是_.3.已知（，）是常數(shù)，且，是區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的最大值等于_.4.圓周上給定10個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一條弦，如果沒(méi)有三條弦交于圓內(nèi)一點(diǎn)，那么，這些弦在圓內(nèi)一共有_個(gè)交點(diǎn).5.一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個(gè)頂點(diǎn)，它都等機(jī)會(huì)地爬向另外兩個(gè)頂點(diǎn)之一，則它在次爬行后恰好回到起始點(diǎn)的概率為 .6.設(shè)是

3、平面上一個(gè)定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡為_.7.對(duì)給定的整數(shù)，符號(hào)表示中使能被3整除的唯一值，那么_ _.8.分別以直角三角形的兩條直角邊，和斜邊為軸將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為，則與的大小關(guān)系是_.二、解答題：本大題共3小題，共56分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.1.（滿分16分）是否存在實(shí)數(shù)，使直線和雙曲線相交于兩點(diǎn)、，且以為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)系的原點(diǎn)？2.（滿分20分）求證：不存在這樣的函數(shù)，滿足對(duì)任意的整數(shù)，若，則.3.（本小題滿分20分）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，求證：2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省預(yù)賽參考答案一、填空題1.設(shè)，則，

4、又，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)根.2. 易知數(shù)列是首項(xiàng)是，公比是的等比數(shù)列，于是，故最小整數(shù)是7.3.，故函數(shù)的最大值等于.4. 圓周上任意四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)必在圓內(nèi)，所以四邊形的個(gè)數(shù)與每?jī)蓷l弦的交點(diǎn)數(shù)相等，故有個(gè)交點(diǎn).5.6. ，即，又，為單位向量，由向量加法的平行四邊形法則，知點(diǎn)的軌跡為的平分線.7.由二項(xiàng)式定理知，即被3除余1，故.8. ，作商，有，故.二、解答題1.解：設(shè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)為、，由消去，得，由韋達(dá)定理，得， ，以為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，即，整理，得將代入，并化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)，確實(shí)滿足題目條件2.證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)，則對(duì)任意的整數(shù)，設(shè)，其中，由條件知.由于，且，即是除去，后剩下的那個(gè)數(shù)，不妨設(shè)又由于，.以代替，得，但這與矛盾