幾何的極值問題

1、幾何中的最值問題（講義）幾何中的最值問題（講義）一、知識點(diǎn)睛一、知識點(diǎn)睛幾何中最值問題包括幾何中最值問題包括： “面積最值面積最值”及及“線段（和、差）最值線段（和、差）最值”.求面積的最值，需要將面積表達(dá)成函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)結(jié)合取值范圍求解；求線段及線段和、差的最值，需要借助“垂線段最短” 、 “兩點(diǎn)之間線段最短”及“三角形三邊關(guān)系”等相關(guān)定理轉(zhuǎn)化處理.一般處理方法：一般處理方法：常用定理：常用定理：兩點(diǎn)之間，線段最短（兩個(gè)定點(diǎn)）垂線段最短（一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線）三角形三邊關(guān)系（兩邊長固定或其和、差固定）線段和差、周長最值幾何變換、等線段轉(zhuǎn)移構(gòu)建三角形線段最值1折轉(zhuǎn)直；集中線段長；目標(biāo)線段轉(zhuǎn)

2、化為相關(guān)線段.轉(zhuǎn)化PA+PB 最小，需要點(diǎn)在異側(cè)|PA-PB|最大，需要點(diǎn)在同側(cè)1.如圖，圓柱形玻璃杯，高為 12cm，底面周長為 18cm，在杯內(nèi)離杯底 4cm 的點(diǎn) C 處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿 4cm 與蜂蜜相對的點(diǎn) A 處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_cm第 1 題圖第 2 題圖2.如圖，正方形 ABCD 的邊長是 4，DAC 的平分線交 DC 于點(diǎn) E，若點(diǎn) P，Q 分別是 AD 和 AE 上的動(dòng)點(diǎn)，則 DQ+PQ 的最小值為.3.如圖，在銳角ABC 中，4 2AB ，BAC=45，BAC 的平分線交 BC于點(diǎn) D，點(diǎn) M，N 分別是 AD 和 AB 上的動(dòng)點(diǎn)

3、，則 BM+MN 的最小值為_第 3 題圖第 4 題圖4.如圖，在菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，點(diǎn) P、Q、K 分別為線段 BC、CD、BD 上的任意一點(diǎn)，則 PK+QK 的最小值為.5.如圖，當(dāng)四邊形 PABN 的周長最小時(shí)，a=第 5 題圖第 6 題圖6.如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，點(diǎn) P 為邊 BC 上任意一點(diǎn)（可與點(diǎn) B 或點(diǎn)C 重合） ，分別過點(diǎn) B、C、D 作射線 AP 的垂線，垂足分別是 B、C、D，則 BB+CC+DD的最大值為，最小值為7.如圖，兩點(diǎn) A、B 在直線 MN 外的同側(cè)，A 到 MN 的距離 AC=8，B 到 MN 的距離 BD=5，CD=4

4、，P 在直線 MN 上運(yùn)動(dòng)，則PAPB的最大值等于第 7 題圖第 8 題圖8.點(diǎn) A、B 均在由面積為 1 的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若 P 是 x 軸上使得PAPB的值最大的點(diǎn)，Q 是 y 軸上使得 QA+QB 的值最小的點(diǎn)，則OP OQ9.如圖，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 為邊 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于 E，PFAC 于 F，M 為 EF 中點(diǎn)，則 AM 的最小值為_第 9 題圖第 10 題圖10. 如圖，已知 AB=10，P 是線段 AB 上任意一點(diǎn)，在 AB 的同側(cè)分別以 AP 和PB 為邊作等邊APC 和等邊BPD，則 CD 長

5、度的最小值為11. 如圖，點(diǎn) P 在第一象限，ABP 是邊長為 2 的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) B 隨之在 y 軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) P 到原點(diǎn)的最大距離是_.第 11 題圖第 12 題圖12. 動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCD 中，AB=3,AD=5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A 落在 BC 邊上的 A處，折痕為 PQ，當(dāng)點(diǎn) A在 BC 邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q 也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn) P、Q 分別在 AB、AD 邊上移動(dòng)，則點(diǎn) A在 BC邊上可移動(dòng)的最大距離為13. 如圖，直角梯形紙片 ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn) E、F 分別在線段

6、AB、AD 上，將AEF 沿 EF 翻折，點(diǎn) A 的落點(diǎn)記為 P（1）當(dāng) P 落在線段 CD 上時(shí)，PD 的取值范圍為；（2）當(dāng) P 落在直角梯形 ABCD 內(nèi)部時(shí)，PD 的最小值等于多少？14. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，ABE 是等邊三角形，M 為對角線 BD（不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn)， 將 BM 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 BN，連接 EN、AM、CM.（1）當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM 的值最??；（2） 當(dāng)M 點(diǎn)在何處時(shí)， AMBMCM的值最小，并說明理由.15. 如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，-3） ，B（4，-1）.（1）若 P（p，0）是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) p_時(shí)，PAB 的周長最短；（2）若 C（a，0） ，D（a+3，0）是 x 軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) a_時(shí)，四邊形 ABDC 的周長最短；（3）設(shè) M，N 分別為 x 軸和 y 軸上的動(dòng)點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn) M（m，0） ，N（0，n） ，使四邊形 ABMN 的周長最短？若存在，請寫出 m 和 n 的值；若不存在，請說明理由.1. 1522 2344357462，27583912510511.3+112213(1)84 3