初一數學一元一次方程復習

1、一元一次方程一、等式和方程 本部分知識的重點是等式的性質和運用這兩性質對等式進行變形；方程的有關概念及會檢驗一個數是不是方程的解。 （一）知識要點： 1等式：用等號來表示相等關系的式子叫等式。如：+=，x+y=y+x, V=a3，3x+5=9都叫等式。而象a+b, m2n不含等號，所以它們不是等式，而是代數式。 2等式的性質： 等式性質1：等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的結果仍是等式。 等式性質2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能是0）所得的結果仍是等式。 如：x-5=4，兩邊都加5得x-5+5=4+5，即x=9仍是等式；在這個等式兩邊都乘以得，×

2、15;x=9×，即x=，也仍是等式，這樣我們就利用了等式的兩個性質解方程。 3方程的有關概念： （1）方程：含有未知數的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知數；又如3x-2y=5其中x, y是未知數。 （2）未知數：在研究方程之前未知的數叫未知數。如5x-4=8中，x是未知數，而5，-4，8是已知數。 （3）方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值，叫方程的解。只含有一個未知數的方程的解，也叫做根。例如方程2x+5=7，當x=1時，方程左邊=2×1+5=7=右邊，所以x=1是方程2x+5=7的解，或說x=1是方程的根。 （4）解方程：求得方程的解的過程。 4會檢驗

3、一個數是不是一個方程的解：將這個數分別代入方程的左邊和右邊，看是否使左邊等于右邊。 如，檢驗x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。 當x=5時，左邊=6×5-5=30-5=25，右邊=2×5+11=10+11=21，左邊右邊，x=5不是原方程的解； 當x=4時，左邊=4×6-5=24-5=19，右邊=2×4+11=8+11=19，左邊=右邊，x=4是原方程的解。 5會根據已知條件列出方程。 如：根據下列條件列出方程 （1）某數比它的4倍小8。 （2）代數式與x+1互為相反數。解：（1）設某數為x，則所求方程為x=4x-8，或x+8=4x或4x

4、-x=8。 （2）+x+1=0或=-x-1。6同解方程： （1）同解方程：如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。如，2x+3=5的解是x=1，3x+15=x+17的解也是x=1，所以這兩個方程是同解方程。 （2）方程同解原理 同解原理1：方程兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程。 同解原理2：方程兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，所得的方程與原方程是同解方程。 我們解方程的過程是同解過程，教材上所說的運用等式性質解方程，實質上是依據方程的同解原理解方程。 （二）例題： 例1判斷下列各式是不是方程，并說明理由： (1) 3+5=4+4 (2)

5、2a+3b (3) x+2y=5 (4) 3+(-2)=8-|7|(5) x+6=3x-5答：（1）不是方程。因為它是不含未知數的等式； （2）不是方程。因為它不是等式，它是一個代數式； （3）x+2y=5是方程，它是含有未知數x, y的等式。 （4）不是方程。因為它是不含未知數的等式。 （5）x+6=3x-5是方程，它是含有未知數x的等式。 注意：方程的概念有兩點是等式，含有未知數，二者缺一不可。 例2檢驗x=是不是下列方程的解： （1）5x+2=2 (2) 3x+5=6 (3)6x+=4 解：（1）當x=時，左邊=5×+2=+2=5右邊， x=不是原方程的解。 （2）當x=時，左

6、邊=3×+5=2+5=7右邊， x=不是原方程的解。 （3）當x=時，左邊=6×+=4+=4=右邊， x=是原方程的解。 檢驗某數是否是方程的解可以用來驗證我們解方程的過程是否正確。 例3根據下列條件列出方程 （1）某數的8倍減去5等于它的4倍加上3； （2）某數比它的大7； （3）某數與3的和的平方比它的平方大4； （4）某數與5的差的3倍等于33； （5）某數與-7的和的與某數加上的和互為相反數； （6）某數的平方比它自身的2倍多8。 解：設某數為x，則根據條件列出方程為： (1) 8x-5=4x+3 (2) x-x=7或x=x+7 (3) (x+3)2-x2=4(4)

7、 3(x-5)=33(5) (x-7)+(x+)=0 (6) x2=2x+8 例4說出下列變形的依據： (1) 2x-5=3，2x=8(2) 3x=27，x=9(3) -3x=，x=-(4) -x=4，x=-12(5) =2，x+3=10 (6) =x+6，x-2=3x+18 解：（1）根據等式的基本性質1，2x-5+5=3+5，得2x=8（2）根據等式的基本性質2，3x×=27×，得x=9 （3）根據等式的基本性質2，-3x×(-)=×(-)，得x=- （4）根據等式的基本性質2，-x×(-3)=4×(-3)，得x=-12 （5）根

8、據等式的基本性質2，5×()=2×5，得x+3=10 （6）根據等式的基本性質2，3×()=3×(x+6)，得x-2=3x+18 注意：使用方程同解原理時注意方程兩邊同時進行相同的變化，不要只顧一邊，忘記另一邊。 當方程某一邊是多項式時，要注意使用分配律，避免出現這樣的錯誤：如(6)小題=x+6兩邊同時乘以3得x-2=3x+6。 例5已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。 分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右兩邊相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，這是一個關于|a|的方程，可以把|a|求出來，再

9、進一步確定a的值。 解： x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解， 2×(-4)+3|a|=-4-1， -8+3|a|=-5，由等式的基本性質1得：-8+8+3|a|=-5+8，即3|a|=3， 由等式的基本性質2得：|a|=1， a=±1。一元一次方程和它的解法 （一）知識要點： 1一元一次方程的概念： 只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不為0的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的標準形式是：ax+b=0 (其中x是未知數，a,b是已知數，且a0)，它的解是x=-。 我們判斷一個方程是不是一元一次方程要看它化簡后的最簡形式是不是標準形式ax+b=0 (a0)

10、。例如方程3x2+5=8x+3x2，化簡成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一個未知數x，且x的次數是一次，但化簡后為0x=0，不是一元一次方程。 2解一元一次方程的一般步驟： （1）方程含有分母時要先去分母，使過程簡便，具體做法為：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數。要注意不要漏掉不含分母的項，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就錯了，因為方程右邊忘記乘以6，造成錯誤。 （2）去括號：按照去括號法則先去小括號，再去中括號，最后去大括號。特別注意括號前是負號時，去掉負號和括號，括號里的各項都要變號。括號前有數字因數時要注意使用分配律。 （3）移項：把含有未

11、知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊。注意移項要變號。 （4）合并同類項：把方程化成最簡形式ax=b (a0)。 （5）把未知數的系數化成1：在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解x=。 解方程時上述步驟有些可能用不到，并且也不一定按照上述順序，要根據方程的具體形式靈活安排求解步驟。 （二）例題： 例1解方程(x-5)=3-(x-5) 分析：按常規(guī)此方程應先去分母，去括號，但發(fā)現方程左右兩邊都含有x-5項，所以可以把它們看作一個整體，移項，合并同類項，使運算簡便。 解：移項得：(x-5)+(x-5)=3 合并同類項得：x-5=3 x=8。例2解方程2x-=- 解：因為方程含

12、有分母，應先去分母。 去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一項都要乘以6） 去括號：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括號法則) 移項：12x-3x+2x=8-4+3 合并同類項：11x=7 系數化成1：x=。 例3(+4)+6+8=1 解法1：從外向里逐漸去括號，展開求解： 去大括號得：(+4)+6+8=9 去中括號得：(+4)+6+56=63 整理得：(+4)=1 去小括號得：+4=5 去分母得：x+2+12=15 移項，合并同類項得：x=1。 解法2：從內向外逐漸去括號，展開求解： 去小括號得： (+6+8=1 去中括號得：+8=1 去大括號得：+=1

13、去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945 即：x+2+12+90+840=945 移項合并同類項得：x=1。 注意：從上面的兩種解法可以看到，解一元一次方程并不一定要嚴格按照前面說的步驟一步一步來，可以按照具體的題目靈活運用方法。 例4解方程(-1)-2-2x=3 分析：此方程含括號，因為×=1，所以先去中括號簡便。 解：去中括號：(-1)-2x=3 去小括號：-1-2x=3 去分母：5x-20-24-40x=60 移項：5x-40x=60+44 合并同類項：-35x=104 系數化成1得：x=-。 例5解方程-=0 分析：本方程分子、分母

14、中都含有小數，如果直接去分母，會使運算繁瑣。但如果利用分數的性質，即分子分母同乘以不等于零的數分數的值不變的性質，使方程左邊前兩項分子、分母中的小數都化成整數，就能使運算簡便。 解：利用分數的性質（即左邊第一項分子、分母同乘以10，第二項分子、分母同乘以100），原方程可化為： -=0 去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0 去括號：24x+54-30+20x-15x+75=0 移項得：24x+20x-15x=-54+30-75 合并同類項得：29x=-99 系數化成1：x=-。 例6在公式S=(a+b)h中，已知：a=5, S=44, h=8，求b的值。 分析：這是梯形

15、面積公式，四個量S，a, b, h中知道任意3個量的值，都可以求出第四個量的值。 解法1：把a=5, S=44, h=8代入公式得 44=(5+b)×8這是關于b的一元一次方程 化簡得：b+5=11 移項，合并同類項得：b=6。 解法2：先把b看作未知數，把其它量都看作已知數，將公式變形，用其它三個量來表示b，然后再代入已知數的值求出b。 S=(a+b)h 去分母：2S=(a+b)h 去括號：2S=ah+bh 移項：2S-ah=bh 即bh=2S-ah 系數化成1： h0， b=-a (一定不要忘記條件h0) 當a=5, S=44，h=8時， b=-5=11-5=6 b=6。 例7若

16、單項式3a4b2x與ba4是同類項，求x的值。 分析：這個問題是利用一元一次方程解決實際問題的一個例子，利用同類項的定義，建立關于x的方程，然后解方程求出x的值。 解：依題意，由同類項的概念知兩個單項式中b的次數應相等， 所以有：2x=3(x-) 去括號：2x=3x-1 移項合并同類項得：x=1 x的值為1。例8當x=2時，二次三項式x2+bx+4的值為0，求當x=3時，這個二次三項式的值。 分析：這仍是一元一次方程的應用的例子，要弄清二次三項式的值（即代數式的值）的概念，先求出b的值，也就確定了二次三項式，最后求當x=3時，二次三項式的值。 解： 當x=2時，x2+bx+4的值為0， 4+2

17、b+4=0 (得到關于b的一元一次方程) 解這個方程得2b=-8， b=-4， 二次三項式為x2-4x+4，當x=3時，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1, 當x=3時，這個二次三項式的值為1。 例9解絕對值方程： (1) |2x-1|=8(2) =4(3) =4 (4) |3x-1|+9=5(5) |1-|x|=2 說明：解絕對值方程也是一元一次方程的應用，它的解法主要是：先把|ax+b|看作一個整體，把絕對值方程看作是以|ax+b|為未知數的一元一次方程，變形成|ax+b|=c的形式；對|ax+b|=c進行討論，當c>0時，正確去掉絕對值，得到ax+b=c或

18、ax+b=-c兩個一元一次方程，從而求出x的值；當c=0時，得到ax+b=0一個一元一次方程，從而求出x；當c<0時，由于絕對值是非負數，所以此方程無解。 (1)解： |2x-1|=8 2x-1=8或2x-1=-8 2x=9或2x=-7 x=或x=- x=或x=-是原方程的解。 (2)解：=4 去分母得：|3x+2|=12 3x+2=12或3x+2=-12 3x=10或3x=-14 x=或x=- x=或x=-是原方程的解。 (3)解： =4 去分母：2|x|+5=12 移項，合并同類項：2|x|=7 系數化為1：|x|= x=± x=或x=-為原方程的解。 (4)解： |3x-

19、1|+9=5 |3x-1|=-4 任何有理數的絕對值均為非負數， 此方程無解。 (5)解： |1-|x|=2， 1-|x|=2 或 1-|x|=-2， |x|=-1 或 |x|=3， x=±3，由絕對值概念知，此方程無解； x=±3是原方程的解。 在第（5）個方程中，要處理兩次絕對值，只要嚴格按規(guī)律辦事就能順利求出x的值。 （三）練習： 一、填空： 1方程3(x-2)-5(2x-1)=4(1-2x)的解為_。2若|3x-2|=2，則x為_。3當x=_時，代數式3x-2和3-x的值互為相反數。 4關于x的方程2(x3m-2+3x)=3x3m-2+6x-2是一元一次方程，則m=

20、_。 5若代數式+5的值是代數式的值的倒數，則x=_。 6若|2x+3|+(x-3y+4)2=0，則x=_, y=_。二、解方程： 11-+= 2(+1)-1+x=1 3-= 練習參考答案： 一、填空： 1. x=52. x=或x=03. x=- 4. m=15. x=92 6. x=-, y= 二、解方程： 1. x=2. x=3. y= 綜合檢測題 （時間：45分鐘滿分：100分） 一、填空題：（每小題4分） 1當x=_ 時，代數式的值為0？ 2若x=1是方程 2x-a=7的解，則a=_。 3若2a2b5n-2與3a1-mb3n+m是同類項，則m=_,n=_。4已知三個數的比是2：3：7，

21、這三個數的和是144，則這三個數為_。 5若3x:2=4:0.8，則x=_。 6某化肥廠第一季度和第二季度共生產化肥4300噸。已知第二季度比第一季度增長15%，則第一季度的產量是_。 二、選擇題：（每小題4分） （1）方程的解為（）。 A、0B、1C、2D、-2 （2）方程2m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程，則m的值為（） A、0B、1C、-2D、- （3）若使方程(m+2)x=n-1是關于x一元一次方程，則m取值是（）。 A、m-2B、m0C、m2D、m>2 （4）ax-b=0, (a0), a,b互為相反數，則x等于（）。 A、1B、-1C、-1和+1D、任意有理數 （5）

22、ax-b=bx-a(ab)時x等于（）。 A、0B、-1C、+1D、任意有理數 （6）單項式2x2y3n+1與-3y1-2nx2是同類項，則n的值為（）。 A、-1B、0C、1D、2 （7）水結成冰體積增大，冰化成水體積減少（）。 A、B、C、D、 （8）甲池有水xm3，乙池有水ym3，甲池每分鐘流入乙池zm3, n分鐘兩池水水量相等，則n等于（）。 A、B、C、D、 （9）在800米跑道上有兩人練中長跑，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，兩人同時同地同向出發(fā)跑，t分鐘后第一次相遇,t等于（）。 A、10分B、15分C、20分D、30分 （10）在梯形面積公式S=(a+b)h中，已知S=

23、24cm2, a=3cm, h=6cm, 則b=()cm. A、1B、5C、3D、4 三、解方程（每小題6分） 1. =1. 2. (x-1)×30%-(x+2)×20%=2 3. 21-(x-)=3 四、列方程解應用題：（每小題9分） 1甲車在早上5時以每小時32千米的速度由A地向B地行駛，6時30分鐘乙車才開始出發(fā)，結果在9時30分時乙車追上了甲車，問乙車的車速是多少？ 2一水池安有甲、乙、丙三個水管，甲獨開12小時注滿水池，乙獨開8小時注滿水池，丙獨開24小時可排掉滿池的水，如三管齊開多少小時后，剛好水池的水是滿的？ 答案： 一、1. 解：由題意，得=0，解方程得x=

24、. 2分析：因為x=1是方程2x-a=7的解，所以x=1滿足2x-a=7，把x=1代入2x-a=7，從而求得a的值。 解：把x=1代入2x-a=7中， 2×1-a=7, a=-5. 3分析：根據同類項的概念：2=1-m, 5n-2=3n+m, 由得m=-1，把m=-1代入得5n-2=3n-1, n=, m=-1, n=。 4分析：因為237是三個數的比，所以可設每份為x。 解：設每份為x，則三個數分別為2x, 3x,7x, 2x+3x+7x=144, 解得 x=12. 2x=24, 3x=36, 7x=84, 這三個數為24，36，84。 5分析：根據內項之積等于外項之積，得關于x的

25、一元一次方程，即2.4x=9, x=. 6分析：設第一季節(jié)產量是x噸，第二季節(jié)(1+15%)x噸，第一季度產量+第二季度產量=4300. 解：設第一季度產量是x噸， x+(1+15%)x=4300 x=4300 x=2000. 第一季節(jié)的產量是2000噸。 二、（1）解：去分母，得3x-2(x-1)=3 3x-2x+2=3 x=1, 選B。 （2）分析：因為2m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程， 所以的解x=2滿足，2m+2=1, m=-,選D。 （3）分析：根據一元一次方程概念ax=b(a0),所以m+20, m-2，選A。 （4）分析：由a,b互為相反數，可得a=-b. ax-b=0, ax=b, x=, x=-1, 選B。 （5）解：ax-b=bx-a ax-bx=b-a (a-b)x=-(a-b) , x=-1，選B。 （6）解：由題意得，3n+1=1-2n 5n=0, n=0，選B。 注意：相同字母的指數相同。 （7）分析：1升水結成冰后，體積增大升，此時冰的體積為(1+)升（把1升水的體積看作整體1），設1升冰化為水后為x升，則1:( 1+)=x:1，解得x=升，故體積減少為1-=升，故選C。 （8）分析：甲池有水xm3, n