初一數(shù)學(xué)一元一次方程復(fù)習(xí)

1、一元一次方程一、等式和方程 本部分知識(shí)的重點(diǎn)是等式的性質(zhì)和運(yùn)用這兩性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行變形；方程的有關(guān)概念及會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是方程的解。 （一）知識(shí)要點(diǎn)： 1等式：用等號(hào)來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫等式。如：+=，x+y=y+x, V=a3，3x+5=9都叫等式。而象a+b, m2n不含等號(hào)，所以它們不是等式，而是代數(shù)式。 2等式的性質(zhì)： 等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式。 等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0）所得的結(jié)果仍是等式。 如：x-5=4，兩邊都加5得x-5+5=4+5，即x=9仍是等式；在這個(gè)等式兩邊都乘以得，×

2、15;x=9×，即x=，也仍是等式，這樣我們就利用了等式的兩個(gè)性質(zhì)解方程。 3方程的有關(guān)概念： （1）方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知數(shù)；又如3x-2y=5其中x, y是未知數(shù)。 （2）未知數(shù)：在研究方程之前未知的數(shù)叫未知數(shù)。如5x-4=8中，x是未知數(shù)，而5，-4，8是已知數(shù)。 （3）方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，也叫做根。例如方程2x+5=7，當(dāng)x=1時(shí)，方程左邊=2×1+5=7=右邊，所以x=1是方程2x+5=7的解，或說(shuō)x=1是方程的根。 （4）解方程：求得方程的解的過(guò)程。 4會(huì)檢驗(yàn)

3、一個(gè)數(shù)是不是一個(gè)方程的解：將這個(gè)數(shù)分別代入方程的左邊和右邊，看是否使左邊等于右邊。 如，檢驗(yàn)x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。 當(dāng)x=5時(shí)，左邊=6×5-5=30-5=25，右邊=2×5+11=10+11=21，左邊右邊，x=5不是原方程的解； 當(dāng)x=4時(shí)，左邊=4×6-5=24-5=19，右邊=2×4+11=8+11=19，左邊=右邊，x=4是原方程的解。 5會(huì)根據(jù)已知條件列出方程。 如：根據(jù)下列條件列出方程 （1）某數(shù)比它的4倍小8。 （2）代數(shù)式與x+1互為相反數(shù)。解：（1）設(shè)某數(shù)為x，則所求方程為x=4x-8，或x+8=4x或4x

4、-x=8。 （2）+x+1=0或=-x-1。6同解方程： （1）同解方程：如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。如，2x+3=5的解是x=1，3x+15=x+17的解也是x=1，所以這兩個(gè)方程是同解方程。 （2）方程同解原理 同解原理1：方程兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程。 同解原理2：方程兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得的方程與原方程是同解方程。 我們解方程的過(guò)程是同解過(guò)程，教材上所說(shuō)的運(yùn)用等式性質(zhì)解方程，實(shí)質(zhì)上是依據(jù)方程的同解原理解方程。 （二）例題： 例1判斷下列各式是不是方程，并說(shuō)明理由： (1) 3+5=4+4 (2)

5、2a+3b (3) x+2y=5 (4) 3+(-2)=8-|7|(5) x+6=3x-5答：（1）不是方程。因?yàn)樗遣缓粗獢?shù)的等式； （2）不是方程。因?yàn)樗皇堑仁?，它是一個(gè)代數(shù)式； （3）x+2y=5是方程，它是含有未知數(shù)x, y的等式。 （4）不是方程。因?yàn)樗遣缓粗獢?shù)的等式。 （5）x+6=3x-5是方程，它是含有未知數(shù)x的等式。 注意：方程的概念有兩點(diǎn)是等式，含有未知數(shù)，二者缺一不可。 例2檢驗(yàn)x=是不是下列方程的解： （1）5x+2=2 (2) 3x+5=6 (3)6x+=4 解：（1）當(dāng)x=時(shí)，左邊=5×+2=+2=5右邊， x=不是原方程的解。 （2）當(dāng)x=時(shí)，左

6、邊=3×+5=2+5=7右邊， x=不是原方程的解。 （3）當(dāng)x=時(shí)，左邊=6×+=4+=4=右邊， x=是原方程的解。 檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是方程的解可以用來(lái)驗(yàn)證我們解方程的過(guò)程是否正確。 例3根據(jù)下列條件列出方程 （1）某數(shù)的8倍減去5等于它的4倍加上3； （2）某數(shù)比它的大7； （3）某數(shù)與3的和的平方比它的平方大4； （4）某數(shù)與5的差的3倍等于33； （5）某數(shù)與-7的和的與某數(shù)加上的和互為相反數(shù)； （6）某數(shù)的平方比它自身的2倍多8。 解：設(shè)某數(shù)為x，則根據(jù)條件列出方程為： (1) 8x-5=4x+3 (2) x-x=7或x=x+7 (3) (x+3)2-x2=4(4)

7、 3(x-5)=33(5) (x-7)+(x+)=0 (6) x2=2x+8 例4說(shuō)出下列變形的依據(jù)： (1) 2x-5=3，2x=8(2) 3x=27，x=9(3) -3x=，x=-(4) -x=4，x=-12(5) =2，x+3=10 (6) =x+6，x-2=3x+18 解：（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，2x-5+5=3+5，得2x=8（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，3x×=27×，得x=9 （3）根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，-3x×(-)=×(-)，得x=- （4）根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，-x×(-3)=4×(-3)，得x=-12 （5）根

8、據(jù)等式的基本性質(zhì)2，5×()=2×5，得x+3=10 （6）根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，3×()=3×(x+6)，得x-2=3x+18 注意：使用方程同解原理時(shí)注意方程兩邊同時(shí)進(jìn)行相同的變化，不要只顧一邊，忘記另一邊。 當(dāng)方程某一邊是多項(xiàng)式時(shí)，要注意使用分配律，避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：如(6)小題=x+6兩邊同時(shí)乘以3得x-2=3x+6。 例5已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。 分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右兩邊相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，這是一個(gè)關(guān)于|a|的方程，可以把|a|求出來(lái)，再

9、進(jìn)一步確定a的值。 解： x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解， 2×(-4)+3|a|=-4-1， -8+3|a|=-5，由等式的基本性質(zhì)1得：-8+8+3|a|=-5+8，即3|a|=3， 由等式的基本性質(zhì)2得：|a|=1， a=±1。一元一次方程和它的解法 （一）知識(shí)要點(diǎn)： 1一元一次方程的概念： 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0 (其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)，它的解是x=-。 我們判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程要看它化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)形式是不是標(biāo)準(zhǔn)形式ax+b=0 (a0)

10、。例如方程3x2+5=8x+3x2，化簡(jiǎn)成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一個(gè)未知數(shù)x，且x的次數(shù)是一次，但化簡(jiǎn)后為0x=0，不是一元一次方程。 2解一元一次方程的一般步驟： （1）方程含有分母時(shí)要先去分母，使過(guò)程簡(jiǎn)便，具體做法為：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)。要注意不要漏掉不含分母的項(xiàng)，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就錯(cuò)了，因?yàn)榉匠逃疫呁洺艘?，造成錯(cuò)誤。 （2）去括號(hào)：按照去括號(hào)法則先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)。特別注意括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，去掉負(fù)號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào)。括號(hào)前有數(shù)字因數(shù)時(shí)要注意使用分配律。 （3）移項(xiàng)：把含有未

11、知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊。注意移項(xiàng)要變號(hào)。 （4）合并同類項(xiàng)：把方程化成最簡(jiǎn)形式ax=b (a0)。 （5）把未知數(shù)的系數(shù)化成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=。 解方程時(shí)上述步驟有些可能用不到，并且也不一定按照上述順序，要根據(jù)方程的具體形式靈活安排求解步驟。 （二）例題： 例1解方程(x-5)=3-(x-5) 分析：按常規(guī)此方程應(yīng)先去分母，去括號(hào)，但發(fā)現(xiàn)方程左右兩邊都含有x-5項(xiàng)，所以可以把它們看作一個(gè)整體，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)便。 解：移項(xiàng)得：(x-5)+(x-5)=3 合并同類項(xiàng)得：x-5=3 x=8。例2解方程2x-=- 解：因?yàn)榉匠毯?/p>

12、有分母，應(yīng)先去分母。 去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一項(xiàng)都要乘以6） 去括號(hào)：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括號(hào)法則) 移項(xiàng)：12x-3x+2x=8-4+3 合并同類項(xiàng)：11x=7 系數(shù)化成1：x=。 例3(+4)+6+8=1 解法1：從外向里逐漸去括號(hào)，展開求解： 去大括號(hào)得：(+4)+6+8=9 去中括號(hào)得：(+4)+6+56=63 整理得：(+4)=1 去小括號(hào)得：+4=5 去分母得：x+2+12=15 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x=1。 解法2：從內(nèi)向外逐漸去括號(hào)，展開求解： 去小括號(hào)得： (+6+8=1 去中括號(hào)得：+8=1 去大括號(hào)得：+=1

13、去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945 即：x+2+12+90+840=945 移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：x=1。 注意：從上面的兩種解法可以看到，解一元一次方程并不一定要嚴(yán)格按照前面說(shuō)的步驟一步一步來(lái)，可以按照具體的題目靈活運(yùn)用方法。 例4解方程(-1)-2-2x=3 分析：此方程含括號(hào)，因?yàn)?#215;=1，所以先去中括號(hào)簡(jiǎn)便。 解：去中括號(hào)：(-1)-2x=3 去小括號(hào)：-1-2x=3 去分母：5x-20-24-40x=60 移項(xiàng)：5x-40x=60+44 合并同類項(xiàng)：-35x=104 系數(shù)化成1得：x=-。 例5解方程-=0 分析：本方程分子、分母

14、中都含有小數(shù)，如果直接去分母，會(huì)使運(yùn)算繁瑣。但如果利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，即分子分母同乘以不等于零的數(shù)分?jǐn)?shù)的值不變的性質(zhì)，使方程左邊前兩項(xiàng)分子、分母中的小數(shù)都化成整數(shù)，就能使運(yùn)算簡(jiǎn)便。 解：利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（即左邊第一項(xiàng)分子、分母同乘以10，第二項(xiàng)分子、分母同乘以100），原方程可化為： -=0 去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0 去括號(hào)：24x+54-30+20x-15x+75=0 移項(xiàng)得：24x+20x-15x=-54+30-75 合并同類項(xiàng)得：29x=-99 系數(shù)化成1：x=-。 例6在公式S=(a+b)h中，已知：a=5, S=44, h=8，求b的值。 分析：這是梯形

15、面積公式，四個(gè)量S，a, b, h中知道任意3個(gè)量的值，都可以求出第四個(gè)量的值。 解法1：把a(bǔ)=5, S=44, h=8代入公式得 44=(5+b)×8這是關(guān)于b的一元一次方程 化簡(jiǎn)得：b+5=11 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：b=6。 解法2：先把b看作未知數(shù)，把其它量都看作已知數(shù)，將公式變形，用其它三個(gè)量來(lái)表示b，然后再代入已知數(shù)的值求出b。 S=(a+b)h 去分母：2S=(a+b)h 去括號(hào)：2S=ah+bh 移項(xiàng)：2S-ah=bh 即bh=2S-ah 系數(shù)化成1： h0， b=-a (一定不要忘記條件h0) 當(dāng)a=5, S=44，h=8時(shí)， b=-5=11-5=6 b=6。 例7若

16、單項(xiàng)式3a4b2x與ba4是同類項(xiàng)，求x的值。 分析：這個(gè)問題是利用一元一次方程解決實(shí)際問題的一個(gè)例子，利用同類項(xiàng)的定義，建立關(guān)于x的方程，然后解方程求出x的值。 解：依題意，由同類項(xiàng)的概念知兩個(gè)單項(xiàng)式中b的次數(shù)應(yīng)相等， 所以有：2x=3(x-) 去括號(hào)：2x=3x-1 移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：x=1 x的值為1。例8當(dāng)x=2時(shí)，二次三項(xiàng)式x2+bx+4的值為0，求當(dāng)x=3時(shí)，這個(gè)二次三項(xiàng)式的值。 分析：這仍是一元一次方程的應(yīng)用的例子，要弄清二次三項(xiàng)式的值（即代數(shù)式的值）的概念，先求出b的值，也就確定了二次三項(xiàng)式，最后求當(dāng)x=3時(shí)，二次三項(xiàng)式的值。 解： 當(dāng)x=2時(shí)，x2+bx+4的值為0， 4+2

17、b+4=0 (得到關(guān)于b的一元一次方程) 解這個(gè)方程得2b=-8， b=-4， 二次三項(xiàng)式為x2-4x+4，當(dāng)x=3時(shí)，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1, 當(dāng)x=3時(shí)，這個(gè)二次三項(xiàng)式的值為1。 例9解絕對(duì)值方程： (1) |2x-1|=8(2) =4(3) =4 (4) |3x-1|+9=5(5) |1-|x|=2 說(shuō)明：解絕對(duì)值方程也是一元一次方程的應(yīng)用，它的解法主要是：先把|ax+b|看作一個(gè)整體，把絕對(duì)值方程看作是以|ax+b|為未知數(shù)的一元一次方程，變形成|ax+b|=c的形式；對(duì)|ax+b|=c進(jìn)行討論，當(dāng)c>0時(shí)，正確去掉絕對(duì)值，得到ax+b=c或

18、ax+b=-c兩個(gè)一元一次方程，從而求出x的值；當(dāng)c=0時(shí)，得到ax+b=0一個(gè)一元一次方程，從而求出x；當(dāng)c<0時(shí)，由于絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，所以此方程無(wú)解。 (1)解： |2x-1|=8 2x-1=8或2x-1=-8 2x=9或2x=-7 x=或x=- x=或x=-是原方程的解。 (2)解：=4 去分母得：|3x+2|=12 3x+2=12或3x+2=-12 3x=10或3x=-14 x=或x=- x=或x=-是原方程的解。 (3)解： =4 去分母：2|x|+5=12 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)：2|x|=7 系數(shù)化為1：|x|= x=± x=或x=-為原方程的解。 (4)解： |3x-

19、1|+9=5 |3x-1|=-4 任何有理數(shù)的絕對(duì)值均為非負(fù)數(shù)， 此方程無(wú)解。 (5)解： |1-|x|=2， 1-|x|=2 或 1-|x|=-2， |x|=-1 或 |x|=3， x=±3，由絕對(duì)值概念知，此方程無(wú)解； x=±3是原方程的解。 在第（5）個(gè)方程中，要處理兩次絕對(duì)值，只要嚴(yán)格按規(guī)律辦事就能順利求出x的值。 （三）練習(xí)： 一、填空： 1方程3(x-2)-5(2x-1)=4(1-2x)的解為_。2若|3x-2|=2，則x為_。3當(dāng)x=_時(shí)，代數(shù)式3x-2和3-x的值互為相反數(shù)。 4關(guān)于x的方程2(x3m-2+3x)=3x3m-2+6x-2是一元一次方程，則m=

20、_。 5若代數(shù)式+5的值是代數(shù)式的值的倒數(shù)，則x=_。 6若|2x+3|+(x-3y+4)2=0，則x=_, y=_。二、解方程： 11-+= 2(+1)-1+x=1 3-= 練習(xí)參考答案： 一、填空： 1. x=52. x=或x=03. x=- 4. m=15. x=92 6. x=-, y= 二、解方程： 1. x=2. x=3. y= 綜合檢測(cè)題 （時(shí)間：45分鐘滿分：100分） 一、填空題：（每小題4分） 1當(dāng)x=_ 時(shí)，代數(shù)式的值為0？ 2若x=1是方程 2x-a=7的解，則a=_。 3若2a2b5n-2與3a1-mb3n+m是同類項(xiàng)，則m=_,n=_。4已知三個(gè)數(shù)的比是2：3：7，

21、這三個(gè)數(shù)的和是144，則這三個(gè)數(shù)為_。 5若3x:2=4:0.8，則x=_。 6某化肥廠第一季度和第二季度共生產(chǎn)化肥4300噸。已知第二季度比第一季度增長(zhǎng)15%，則第一季度的產(chǎn)量是_。 二、選擇題：（每小題4分） （1）方程的解為（）。 A、0B、1C、2D、-2 （2）方程2m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程，則m的值為（） A、0B、1C、-2D、- （3）若使方程(m+2)x=n-1是關(guān)于x一元一次方程，則m取值是（）。 A、m-2B、m0C、m2D、m>2 （4）ax-b=0, (a0), a,b互為相反數(shù)，則x等于（）。 A、1B、-1C、-1和+1D、任意有理數(shù) （5）

22、ax-b=bx-a(ab)時(shí)x等于（）。 A、0B、-1C、+1D、任意有理數(shù) （6）單項(xiàng)式2x2y3n+1與-3y1-2nx2是同類項(xiàng)，則n的值為（）。 A、-1B、0C、1D、2 （7）水結(jié)成冰體積增大，冰化成水體積減少（）。 A、B、C、D、 （8）甲池有水xm3，乙池有水ym3，甲池每分鐘流入乙池zm3, n分鐘兩池水水量相等，則n等于（）。 A、B、C、D、 （9）在800米跑道上有兩人練中長(zhǎng)跑，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，兩人同時(shí)同地同向出發(fā)跑，t分鐘后第一次相遇,t等于（）。 A、10分B、15分C、20分D、30分 （10）在梯形面積公式S=(a+b)h中，已知S=

23、24cm2, a=3cm, h=6cm, 則b=()cm. A、1B、5C、3D、4 三、解方程（每小題6分） 1. =1. 2. (x-1)×30%-(x+2)×20%=2 3. 21-(x-)=3 四、列方程解應(yīng)用題：（每小題9分） 1甲車在早上5時(shí)以每小時(shí)32千米的速度由A地向B地行駛，6時(shí)30分鐘乙車才開始出發(fā)，結(jié)果在9時(shí)30分時(shí)乙車追上了甲車，問乙車的車速是多少？ 2一水池安有甲、乙、丙三個(gè)水管，甲獨(dú)開12小時(shí)注滿水池，乙獨(dú)開8小時(shí)注滿水池，丙獨(dú)開24小時(shí)可排掉滿池的水，如三管齊開多少小時(shí)后，剛好水池的水是滿的？ 答案： 一、1. 解：由題意，得=0，解方程得x=

24、. 2分析：因?yàn)閤=1是方程2x-a=7的解，所以x=1滿足2x-a=7，把x=1代入2x-a=7，從而求得a的值。 解：把x=1代入2x-a=7中， 2×1-a=7, a=-5. 3分析：根據(jù)同類項(xiàng)的概念：2=1-m, 5n-2=3n+m, 由得m=-1，把m=-1代入得5n-2=3n-1, n=, m=-1, n=。 4分析：因?yàn)?37是三個(gè)數(shù)的比，所以可設(shè)每份為x。 解：設(shè)每份為x，則三個(gè)數(shù)分別為2x, 3x,7x, 2x+3x+7x=144, 解得 x=12. 2x=24, 3x=36, 7x=84, 這三個(gè)數(shù)為24，36，84。 5分析：根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，得關(guān)于x的

25、一元一次方程，即2.4x=9, x=. 6分析：設(shè)第一季節(jié)產(chǎn)量是x噸，第二季節(jié)(1+15%)x噸，第一季度產(chǎn)量+第二季度產(chǎn)量=4300. 解：設(shè)第一季度產(chǎn)量是x噸， x+(1+15%)x=4300 x=4300 x=2000. 第一季節(jié)的產(chǎn)量是2000噸。 二、（1）解：去分母，得3x-2(x-1)=3 3x-2x+2=3 x=1, 選B。 （2）分析：因?yàn)?m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程， 所以的解x=2滿足，2m+2=1, m=-,選D。 （3）分析：根據(jù)一元一次方程概念ax=b(a0),所以m+20, m-2，選A。 （4）分析：由a,b互為相反數(shù)，可得a=-b. ax-b=0, ax=b, x=, x=-1, 選B。 （5）解：ax-b=bx-a ax-bx=b-a (a-b)x=-(a-b) , x=-1，選B。 （6）解：由題意得，3n+1=1-2n 5n=0, n=0，選B。 注意：相同字母的指數(shù)相同。 （7）分析：1升水結(jié)成冰后，體積增大升，此時(shí)冰的體積為(1+)升（把1升水的體積看作整體1），設(shè)1升冰化為水后為x升，則1:( 1+)=x:1，解得x=升，故體積減少為1-=升，故選C。 （8）分析：甲池有水xm3, n