倒立擺系統(tǒng)的建模及Matlab仿真

1、倒立擺系統(tǒng)的建模及Matlab仿真1.系統(tǒng)的物理模型 考慮如圖(1)所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問題。圖(1)倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長(zhǎng)度：l=1m小車的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=9.8m/擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件(由干擾引起)時(shí)，最大超調(diào)量d 10%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts 4s ，通過小車的水平運(yùn)動(dòng)使倒立擺保持在垂直位置。2.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1建立倒置擺的運(yùn)動(dòng)方程并將其線性化。為簡(jiǎn)化問題，在數(shù)學(xué)模型中首先假設(shè)：1)擺桿為剛體；2）忽略擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦；3

2、）忽略小車與接觸面間的摩擦。設(shè)小車瞬時(shí)位置為z,擺心瞬時(shí)位置為（）,在u作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速遠(yuǎn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線遠(yuǎn)動(dòng)方向的慣性力應(yīng)與u平衡，于是有即： 繞擺軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性力矩與重力矩平衡，因而有即： 以上兩個(gè)方程都是非線性方程，為求得解析解，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直立，在試駕合適的外力條件下，假定很小，接近于零時(shí)合理的，則，且可忽略項(xiàng)。于是有 聯(lián)立求解可得2.2列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。選取系統(tǒng)變量， 則即代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到：3.設(shè)計(jì)控制器3.1判斷系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性，rank()=4,故被控對(duì)象完全可控由特征方程 解得特征值為 0，0，。出現(xiàn)大于零的特征

3、值，故被控對(duì)象不穩(wěn)定3.2確定希望的極點(diǎn)希望的極點(diǎn)n=4，選其中一對(duì)為主導(dǎo)極點(diǎn)和，另一對(duì)為遠(yuǎn)極點(diǎn)，認(rèn)為系統(tǒng)性能主要由主導(dǎo)極點(diǎn)決定，遠(yuǎn)極點(diǎn)只有微小影響。根據(jù)二階系統(tǒng)的關(guān)系式，先確定主導(dǎo)極點(diǎn)可得，于是取；取誤差帶，則，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為=-10.8j,遠(yuǎn)極點(diǎn)選擇使它和原點(diǎn)的距離大于主導(dǎo)極點(diǎn)與原點(diǎn)距離的5倍，取3.3采用狀態(tài)反饋方法使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點(diǎn)狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為，；狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，其特征多項(xiàng)式為 希望特征多項(xiàng)式為 比較以上兩式系數(shù)，解得狀態(tài)反饋矩陣4.設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器4.1判斷系統(tǒng)的能觀性，rank()=4,故被控對(duì)象完全可觀4.2確定觀測(cè)器的反饋增益全維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為；其特征多項(xiàng)

4、式為 取觀測(cè)器的希望極點(diǎn)為：-45，-45，-3+3j，-3-3j；則希望特征多項(xiàng)式為 比較以上兩式系數(shù)，解得觀測(cè)器反饋矩陣5.降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)5.1建立倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程設(shè)小車位移z由輸出傳感器測(cè)量，因而無需估計(jì)，可以設(shè)計(jì)降維（三維）狀態(tài)觀測(cè)器，通過重新排列被控系統(tǒng)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)變量與輸出傳感器測(cè)得的狀態(tài)變量分離開。將z作為第四個(gè)狀態(tài)變量，則被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為 簡(jiǎn)記為：式中，=0，被控系統(tǒng)的n-q維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為，式中,為子系統(tǒng)輸出量。故倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為5.2.判斷子系統(tǒng)的可觀測(cè)性A1=0 -1 0;0 0 1;0

5、11 0;C1= 1 0 0;Qg1=obsv(A1,C1);r=rank(Qg1)運(yùn)行Matlab程序；結(jié)果為r=3,故該子系統(tǒng)可觀測(cè)降維狀態(tài)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為式中h=。考慮被控對(duì)象參數(shù)，單倒置擺降維觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為5.3確定三維狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣h三維狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為設(shè)希望的觀測(cè)器閉環(huán)極點(diǎn)為-45，-3+3j，-3-3j，則希望特征多項(xiàng)式為比較以上兩式系數(shù)，解得h=故所求三維狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為6.Matlab仿真分析6.1源程序通過Matlab對(duì)用全維狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的倒置擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，下面是文件名為Inversion_pendulum_syst

6、em.m的源程序%倒立擺系統(tǒng)建模分析%a)判斷系統(tǒng)能控性和能觀性clear all;clcA=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;-1;C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);if rc=n disp('The system is controlled.')elseif rc<n disp('The system is uncontrolled.') endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);if ro=n disp('The s

7、ystem is observable.')elseif ro=n disp('The system is no observable.')end%b)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(length(find(Re>0)=0) disp('The system is unstable and the ubstable poles are:') v(find(Re>0)else disp('The system is stable!');end% c)極點(diǎn)配置與控制器-全維狀態(tài)觀測(cè)

8、器設(shè)計(jì)與仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15;po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D); %將受控過程創(chuàng)建為一個(gè)LTI對(duì)象disp('受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型：');H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;disp('觀測(cè)器控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0) %將觀測(cè)器-控制器創(chuàng)建為一個(gè)LTI對(duì)象disp('觀測(cè)器控制器的極點(diǎn)：');f_poles=pole(Gc)GpGc=G

9、p*Gc; %控制器和對(duì)象串聯(lián)disp('觀測(cè)器控制器與對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：');Gcl=feedback(GpGc,1,-1) %閉環(huán)系統(tǒng)disp('閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)：');c_poles=pole(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgain(Gcl) %低頻增益N=1/lfg % 歸一化常數(shù)T=N*Gcl; %將N與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)x0=100 10 30 10 0 0 0 0;%初始條件向量t=0:0.01:1' %時(shí)間列向量r=0*t; %零參考輸入y t x=lsim(T,r,t,x0); %初始條件仿真p

10、lot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8) %由初始條件引起的狀態(tài)響應(yīng)title('bf狀態(tài)響應(yīng)')legend('x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat')figure(2)step(T)title('bf階躍響應(yīng)')figure(3)impulse(T)title('bf脈沖響應(yīng)') 6.2 程序運(yùn)行結(jié)果The system

11、 is controlled.The system is observable.P = 1 0 -11 0 0v = 0 0 3.3166 -3.3166The system is unstable and the ubstable poles are:ans = 3.3166K = -36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G = 96 2594 -14826 -64984受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型 Transfer function:s2 - 1.776e-015 s - 10- s4 - 11 s2 觀測(cè)器控制器模型： a = x1 x2 x3 x4 x1 -9

12、6 1 0 0 x2 -2557 49.92 333.5 81.92 x3 1.483e+004 0 0 1 x4 6.495e+004 -49.92 -323.5 -81.92 b = u1 x1 -96 x2 -2594 x3 1.483e+004 x4 6.498e+004 c = x1 x2 x3 x4 y1 36.9 49.92 334.5 81.92 d = u1 y1 0 Continuous-time model.觀測(cè)器控制器的極點(diǎn)：f_poles = 1.0e+002 * -1.4948 + 1.8786i -1.4948 - 1.8786i 1.7424 -0.0328 觀

13、測(cè)器控制器與對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型： a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 -1 0 36.9 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 11 0 -36.9 x5 96 0 0 0 -96 x6 2594 0 0 0 -2557 x7 -1.483e+004 0 0 0 1.483e+004 x8 -6.498e+004 0 0 0 6.495e+004 x6 x7 x8 x1 0 0 0 x2 49.92 334.5 81.92 x3 0 0 0 x4 -49.92 -334.5 -81.92 x5 1 0 0 x6 49.92 333.5 81.92 x7 0 0 1 x8 -49.92 -323.5 -81.92 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 -96 x6 -2594 x7 1.483e+004 x8 6.498e+004 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 y1 1 0 0 0 0 0 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)：c_poles = -45.0000 -45.0000 -15.0001 -14.9999 -3.0000