分段線性插值

1、 數(shù)值分析課程設(shè)計題 目 分段線性插值 學 生 牛彥坡 陳彬 馮夢雨 指導教師 郭閣陽 天津工程師范學院課 程 設(shè) 計 任 務(wù) 書 理學 院 數(shù)學0702 班 學生 牛彥坡 陳彬 馮夢雨 課程設(shè)計課題：考察分段線性插值一、課程設(shè)計工作日自 2009 年 6 月 22 日至 2009 年 6 月 28 日二、同組學生： 牛彥坡 陳彬 馮夢雨 三、課程設(shè)計任務(wù)要求（包括課題來源、類型、目的和意義、基本要求、參考資料等）：² 來源與意義:本課題來源于教材第二章插值法，目的是從幾何意義掌握分段線性插值的思想，加深對其的理解以及掌握用計算機與Matlab解決相關(guān)問題的能力。² 基本要

2、求:要求自編程序；掌握編程思想，學會一門編程語言；報告要有較強的理論分析；有較強說服力的數(shù)據(jù)表或圖像；對結(jié)果進行分析；給出相應(yīng)結(jié)論；鼓勵創(chuàng)新；² 參考資料:1. 數(shù)值分析，李慶揚，王能超，易大義，2001，清華大學出版社（第四版）。2. 數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學出版社。3. 數(shù)值分析與實驗學習指導，蔡大用，2001，清華大學出版社。4. 數(shù)值分析與實驗，薛毅，2005，北京工業(yè)大學出版社。指導教師簽字： 教研室主任簽字：天津工程師范學院課 程 設(shè) 計 評 審 表 理學 院 數(shù)學0702 班 學生 牛彥坡 陳彬 馮夢雨 設(shè)計任務(wù)完成情況及指導教師評語答辯情況評定成績成

3、績： 指導教師簽字： 日期： 教研室主任： 主任簽字： 日期： 日期： 一、 問題提出：考察分段線性插值：對在(-5，5)上進行分段線性插值，取不同節(jié)點個數(shù)，得到不同分段線性插值函數(shù)。（要求：自編程序，報告有數(shù)據(jù)表、圖像、分析、結(jié)論。）雖然matlab里有直接分段線形插值的函數(shù)，但為了對分段插值算法有更明確的理解，編寫該程序是有必要的需要解決的問題：1、 由已知數(shù)據(jù)節(jié)點編寫分段線形插值函數(shù)，從而能由所編函數(shù)得到非節(jié)點的函數(shù)值。2、 比較用不同節(jié)點數(shù)所得插值函數(shù)與真實函數(shù)的誤差，從而得出節(jié)點數(shù)與插值效果的關(guān)系二、理論基礎(chǔ)所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近f（x）。設(shè)已知節(jié)點a=x

4、0<x1<<xn=b上的函數(shù)值f0，f1，fn ，求一折線函數(shù)滿足：1o 2o ,3o 在每個小區(qū)間xk,xk+1上是線性函數(shù)。則稱為分段線性插值函數(shù)。模型一：由定義可知在每個小區(qū)間xk,xk+1上可表示為= 模型二：首先確定間隔序列k，使得：第二個量是局部變量s，其定義為 ：最后一個量是一階均差則插值基函數(shù)可表示為.三、實驗內(nèi)容1、模型一： 用MATLAB分別建立m文件：（1）原函數(shù)fd1.m（2）分段線性插值函數(shù)fd2.m（3）比較不同節(jié)點數(shù)所得分段線性插值函數(shù)的插值效果fd3.m2、選取插值節(jié)點數(shù)為偶數(shù)在MATLAB窗口中執(zhí)行：fd3 n=2的數(shù)據(jù)見附錄，圖像如下：n=

5、8的圖如下:n=20的圖 3、模型二：用MATLAB分別建立m文件：（1）分段插值函數(shù)fd22（2）插值效果比較函數(shù)fd32（選取插值節(jié)點數(shù)為奇數(shù)）程序代碼（參見附錄）在MATLAB窗口中執(zhí)行：fd32得下圖：上圖為不同節(jié)點數(shù)插值函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像，下圖為誤差圖像3、 由上所有的圖可看出，由于原函數(shù)是偶函數(shù)，等距節(jié)點所得插值函數(shù)有很強對稱性，下任取節(jié)點，編寫程序fd33.m，得圖上圖為不同節(jié)點數(shù)插值函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像，下圖為誤差圖像 4、 比較不同節(jié)點所得插值函數(shù)與被插函數(shù)誤差的平方和，程序模板為d1.m得下圖:紅星由fd32得奇數(shù)節(jié)點誤差平方和，綠星加圈由fd3得偶數(shù)節(jié)點誤差平方和，圈由

6、f33得隨機節(jié)點誤差平方和,數(shù)據(jù)見附錄四、結(jié)果分析1、不同插值節(jié)點數(shù)所得的分段線形插值函數(shù)，在節(jié)點處與原函數(shù)的函數(shù)值一定相同2、所得的分段線形插值函數(shù)在原函數(shù)斜率絕對值變化大的地方，與原函數(shù)的誤差比較大3、由誤差平方和e，插值節(jié)點個數(shù)越多，e有減小的趨勢，最后趨于0。單考慮奇數(shù)或偶數(shù)個節(jié)點，則隨節(jié)點數(shù)增加e嚴格減小。4、隨機生成的節(jié)點不如等距節(jié)點使插值效果好。五、結(jié)論插值節(jié)點個數(shù)越多，分段線形插值函數(shù)與原函數(shù)誤差平方和有減小趨勢,插值效果越好。六、參考文獻數(shù)值分析與實驗 薛 毅 編著 北京工業(yè)大學出版社附錄代碼如下：% fd1.m線性插值原函數(shù)function y=fd1(x)y=1./(1+

7、x.2);% fd2.m 分段線性插值函數(shù)function yi=fd2(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n=merror('X和Y向量的長度必須相同');return;endfor k=1:n-1if abs(x(k)-x(k+1)<eps % x(k)-x(k+1) 的絕對值 必須大于eerror('數(shù)據(jù)有誤');return;endif x(k)<=xi&xi<=x(k+1) % 保證 x(k) < xi < x(k+1)temp=x(k)-x(k+1);yi=(xi-x(k+1)/

8、temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1)return;endend% fd3.m 比較插值效果a=-5;b=5;n=input('請輸入分端節(jié)點數(shù)：');if n<=0error('你輸入的數(shù)據(jù)有誤！');break;endh=(b-a)/(n-1); % 求節(jié)點x=a:h:b;y=fd1(x);xx=a:0.1:b; % 用分段線性插值函數(shù)求非節(jié)點函數(shù)值yyi=fd1(xx);m1=length(xx);z=zeros(1,m1);for k1=1:m1z(k1)=fd2(x,y,xx(k1);endw=z-yyi; % 計算誤

9、差subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xx,yyi,'-',x,y,'k:');%插值圖像xlabel('x');ylabel('y');title('原函數(shù)(實線)-插值函數(shù)（虛線）');hold onsubplot(2,1,2);plot(xx,w,'k:'); % 誤差的圖像xlabel('x');ylabel('R（x）');title('誤差分析');hold onxx=xx'yyi=yyi'

10、;z=z'w=w'% fd22.m 分段線性插值函數(shù)function v=fd22(x,y,u)delta=diff(y)./diff(x);n=length(x);k=ones(size(u);for j=2:n-1k(x(j)<=u)=j;ends=u-x(k);v=y(k)+s.*delta(k);² % fd32.m 同時畫不同節(jié)點的插值函數(shù)圖像和誤差圖像clearcloset=-5:0.01:5;a='k' 'g' 'r' 'c' 'm'for i=1:5n=2*i+1;x

11、=linspace(-5,5,n); %把區(qū)間-5 5分為（n1）份，算插值節(jié)點y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p' %計算以（x，y）為插值點的插值函數(shù)在t處的各個值y1=fd1(t);y1=y1' e=p-y1; %計算誤差subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);hold on; %畫出插值函數(shù)圖像及誤差圖像subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);hold on;end subplot(2,1,1);legend('n=3','n=5','n=7','n=9

12、9;,'n=11')subplot(2,1,2);legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11')subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,'k'); %畫出原函數(shù)圖像hold off%fd33.m 插值節(jié)點非等分區(qū)間獲得closet=-5:0.01:5;a='k' 'g' 'r' 'c' 'm'for i=1:5n=2*i+1;x=-5 rand(1,n-2

13、)*10-5 5; %得（-5，5）上的n維隨機向量x=sort(x);y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);p=p'y1=fd1(t);y1=y1'e=p-y1;subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);hold on;subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);hold on;endsubplot(2,1,1);legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11')subplot(2,1,2);legend('n=3',

14、'n=5','n=7','n=9','n=11')subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,'k');hold off%fd1.m 比較不同節(jié)點數(shù)誤差平方和cleart=-5:0.01:5;a=;b=;for i=1:10 n=2*i; %n=2*i+1則是奇數(shù)節(jié)點x=linspace(-5,5,n)y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);y1=fd1(t);e=p-y1;e=e*e'a=a e;b=b n;endplot(b,a,'go')xlabel('n

15、節(jié)點數(shù)')ylabel('e誤差平方和')hold onn=2的數(shù)據(jù)：XYYI（原函數(shù)）W-5.00000.03850.03850-4.90000.04000.0577-0.0177-4.80000.04160.0769-0.0353-4.70000.04330.0962-0.0528-4.60000.04510.1154-0.0703-4.50000.04710.1346-0.0876-4.40000.04910.1538-0.1047-4.30000.05130.1731-0.1218-4.20000.05360.1923-0.1387-4.10000.05610.

16、2115-0.1554-4.00000.05880.2308-0.1719-3.90000.06170.2500-0.1883-3.80000.06480.2692-0.2045-3.70000.06810.2885-0.2204-3.60000.07160.3077-0.2361-3.50000.07550.3269-0.2515-3.40000.07960.3462-0.2665-3.30000.08410.3654-0.2813-3.20000.08900.3846-0.2956-3.10000.09430.4038-0.3096-3.00000.10000.4231-0.3231-2.

17、90000.10630.4423-0.336-2.80000.11310.4615-0.3484-2.70000.12060.4808-0.3601-2.60000.12890.5000-0.3711-2.50000.13790.5192-0.3813-2.40000.14790.5385-0.3905-2.30000.15900.5577-0.3987-2.20000.17120.5769-0.4057-2.10000.18480.5962-0.4113-2.00000.20000.6154-0.4154-1.90000.21690.6346-0.4177-1.80000.23580.653

18、8-0.418-1.70000.25710.6731-0.416-1.60000.28090.6923-0.4114-1.50000.30770.7115-0.4038-1.40000.33780.7308-0.3929-1.30000.37170.7500-0.3783-1.20000.40980.7692-0.3594-1.10000.45250.7885-0.336-1.00000.50000.8077-0.3077-0.90000.55250.8269-0.2744-0.80000.60980.8462-0.2364-0.70000.67110.8654-0.1942-0.60000.

19、73530.8846-0.1493-0.50000.80000.9038-0.1038-0.40000.86210.9231-0.061-0.30000.91740.9423-0.0249-0.20000.96150.96150-0.10000.99010.98080.009301.00001.000000.10000.99010.98080.00930.20000.96150.961500.30000.91740.9423-0.02490.40000.86210.9231-0.0610.50000.80000.9038-0.10380.60000.73530.8846-0.14930.700

20、00.67110.8654-0.19420.80000.60980.8462-0.23640.90000.55250.8269-0.27441.00000.50000.8077-0.30771.10000.45250.7885-0.3361.20000.40980.7692-0.35941.30000.37170.7500-0.37831.40000.33780.7308-0.39291.50000.30770.7115-0.40381.60000.28090.6923-0.41141.70000.25710.6731-0.4161.80000.23580.6538-0.4181.90000.21690.6346-0.41772.00000.20000.6154-0.41542.10000.18480.5962-0.41132.20000.17120.5769-0.40572.30000.15900.5577-0.39872.40000.14790.5385-0.39052.50000.13790.5192-0.38132.60000.12890.5000-0.37112.70000.12060.4808-0.36012.80000.11310.4615-0.34842.90000.10630.4423-0.