2020屆山西省太原市第五中學高三11月階段性考試數(shù)學(理)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1919 頁2020 屆山西省太原市第五中學高三 11 月階段性考試數(shù)學（理）試題一、單選題21 1 .已知集合A xRx x 60,B x Rnx e，則（）. .A A.AI BB B.AU B RC C.B eRAD D.A B【答案】B B【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得A A 集合，再求得 A A 的補集，根據(jù)集合的運算可得選項. .【詳解】由 A A 中不等式變形得：x 2 x 3 0,解得x3或x 2，即A , 3 U 2, B ne,eRA3,2,. AI B n 3 U 2,e,AUB R. .故選: :B.B.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交

2、并補運算，屬于基礎題. .2 2 .若Z 1 2i，則4i zz 1A A . 1 1B B. -1-1C C. i iD D. -i-i【答案】 C C【解析】 試題分析：4i4ii，故選 C C.zz 1(12i)(12i) 1【考點】 復數(shù)的運算、共軛復數(shù).【舉一反三】復數(shù)的加、減法運算中，可以從形式上理解為關于虛數(shù)單位“”的多項式合并同類項，復數(shù)的乘法與多項式的乘法相類似，只是在結果中把j2換成-1.-1.復數(shù)除法可類比實數(shù)運算的分母有理化.復數(shù)加、減法的幾何意義可依照平面向量的加、減法的 幾何意義進行理解.3 3 下列結論錯誤的是（）第2 2頁共 1919 頁A A 命題 若p，則q

3、”與命題 若q,則P”互為逆否命題;第3 3頁共 1919 頁xB B .命題p : x 0,1, e 1，命題q: xC C .若am1 2bm2,則a b ”的逆命題為真命題；D D 若，為假命題，則P、q均為假命題.【答案】C C【解析】 試題分析：由原命題、逆否命題形式可知選項A A 正確，選項 B B 中，命題p為真命題，命題q為假命題，所以pq為真，若am2bm2,則a b的逆命題為 若則am2bm2”，當m 0時，不成立，所以為假命題，選項D D 為真命題.選 C.C.1一看角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公 式；2二看 函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間

4、的差異，從而確定使用的公式；2 /R, x x 1o,則p q為真;【考四種命題之間的關系和真值表4 4.sin47sin17cOs30cos17cos17o oB B.D D .仝2【答【解由sin 47sinoo3017,利用兩角和的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，第4 4頁共 1919 頁化簡即可【詳解】不等式f log1x0的解集為()45 5.已知定義在R上的可導函數(shù)x是偶函數(shù)，且滿足xf x0，則sin4700 0sin17 cos30sin(17cos17030 ) sin 17 cos30cos17sin17 cos30 cos17cos17sin30Siscos3。眛。1.故選

5、C.2【點三角函數(shù)式的化簡要遵循看”原則:12,2第5 5頁共 1919 頁B B.-,1 U 1,2211C C.,12,D D.0,U2、22【答案】D D【解析】由已知條件得出函數(shù)f X的單調性，再結合其奇偶性，建立不等式，解之可得解集 【詳解】/ f X是定義在R上的可導函數(shù)，且是偶函數(shù)，且滿足xf X 0,當x0時，fx0,f x單調遞增；當x0時，f x0,f x單調遞減. .上110.11又f 0, f不等式f log1x0log1xlog1x 224222或log1x1 01x -或x2. .4221不等式的解集為：0, U 2, 2故選: :D.D.【點睛】本題綜合考查運用導

6、函數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合奇偶性求解不等式的問題，關鍵在于由已知條件得出導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調性，屬于中檔題6 6.將函數(shù)y cosx sinx的圖像先向右平移0個單位，再將所得的圖像上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍，得到y(tǒng)cos2xsin2x的圖像， 貝y,a的可能取值為()c c3 33 31 11 1A A .,a,a 2 2B B.,a,a2 2C C.,a,aD D.,a,a2 2 8 88 8 2 22 2 2 2【答案】D D【解析】由題意結合輔助角公式有：ycosx sin x - 2 cos x4第6 6頁共 1919 頁將函數(shù)y cosx sinx的圖像先向右平移0個

7、單位,第7 7頁共 1919 頁所得函數(shù)的解析式為：y . 2 cos x4再將所得的圖像上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍,一1所得函數(shù)的解析式為：y cos xa4，據(jù)此可得:本題選擇 D D 選項. .為()【答案】B B=-t t,即當 n n= 1010 時，S Sn取得最大值.8 8 已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列an，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4 4 倍，前 3 3項之積為 6464,則a1(). .A A. 1111B B. 1212C C. 1313D D. 1414【答案】B B【解析】根據(jù)已知條件得出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項之間的關系，可求得公比，再由等比中項和前 3 3 項之積

8、可求得a2，從而求得首項 【詳解】由題意可得所有項之和S奇S偶是所有偶數(shù)項之和的 4 4 倍， S奇S禺4S偶，1而y COs2xsin 2x2 cos 2x一4據(jù)此可得:7 7 .設等an的前n項和為Sn，ai0且h，當Sn取最大值時，n的值a511B B.10C C.11D D.12【解析】由題意，不妨設 a a6= 9t9t, a a5= 11t11t,則公差 d d= 2t2t，其中 t0t0，因此 a a10= t t, anan第8 8頁共 1919 頁設等比數(shù)列an的公比為q，由等比數(shù)列的性質可得S偶qS奇，即S奇一S偶，q11-S偶S偶4S偶,TS偶0, ,解得q -,q3第9

9、 9頁共 1919 頁_3a2又前 3 3 項之積a1a2a3a264，解得a24印-12. .q故選: :B.B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本量的計算，等比中項，以及奇數(shù)項和偶數(shù)項的關系，屬于基礎題 9 9已知ABC中，三個內角A, B,C的對邊分別為a,b,c，若ABC的面積為S,且2S(a b)2c2，則tanC等于( () )3443A A - -B BC CD D4334【答案】 C C【解析】 根據(jù)面積公式，將2S (a b)2c2變形為abs in C2ab a2b2c2，又a2b2c2sin CcosC,兩式結合化簡可得cosC 1再利用二倍角公式化簡得2ab2C到tan2，

10、從而可求得tanC. .2【詳解】由2S (a b)2oc得2Sa2b22ab c2,即12absi nC22ab22ab c2,則abs inC 2ab2ab22c,又因為cosC2 . 2a b2c2absin C所以cosC1 22C.CC即2cos2sin cos222，2abC所以tan2即tanC2C2ta n 22C1 tan22 _222故選 C.C.【點睛】本題考查三角也考查了三角函數(shù)的二倍角公式，熟練掌absin C 2ab sinC 1,2由C (0,第1010頁共 1919 頁設 ABD的邊AB上的高為h1,VACD的邊AC上的高為h?,11S. 223SVABD2SV

11、ACD，32，S 13. .2故選: :C.C.【點睛】本題考查向量的線性關系， 關鍵在于由向量的線性關系轉化為三角形的面積關系，屬于中檔題 ,1 uu1uur1 1則_AE 0 -AF， 一 222 311 uujrh| AC h2，即22握定理和公式是解題的關鍵，屬中檔題uur1010 在VABC中，若AD1 uuu 1 UULT-AB -AC,3記sSAABD,S2SAACD,S3S BCD,則下列結論正確的是（S3A $B B.S2sS22C 3s s216DS3【答【解作出圖示如下圖所示,根據(jù)向量的線性運算和平行四邊形的性質可得出三角形的面積關系 【詳AF，二四邊形AEDF是平行四邊

12、形,11 uu32ABh11lACh22如圖,3uuur ujin則AD AESVADESVADF，【詳解】第 7 7 頁共 1919 頁1111.設不等式 x x2-2ax+a+2-2ax+a+2W0勺解集為 A A ,若 A?A? 11 , 33,貝U實數(shù) a a 的取值范圍是（）A A .1,115【答案】A A解：設f(x)x22ax a 2，則不等式x22ax a 2 0的解集A 13,若A，則V 4a24( a 2)v0,即a2a 2v0，解得1v av2【點睛】 本題考查了一元二次不等式，二次函數(shù)零點分布，屬于基礎題1212 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面

13、積為（）11nA A .B B.6nC C.11nD D .24 n4【答案】C C【解析】根據(jù)三視圖得出幾何體的直觀圖如下圖所示，設現(xiàn)球心的坐標，根據(jù)球心到幾 何體上的每一點的距離相等，求得球心的坐標，得出球半徑，利用球的表面積公式可求得幾何體的外接球的表面積 D D.1,【解析】由不等式x22ax a 20的解集A13，不等式左邊可看做二次函數(shù),分A和A【詳解】結合二次函數(shù)圖像進行討論即可0f 10若A，則f 30，1 a3綜上111a5，故實數(shù)a的取值范圍是f11 a5故選 A A.第1212頁共 1919 頁建立如圖所示的空間直角坐標系，幾何體的外接球的球心坐標為O 1,1,z, ,P

14、 2,0,1，由OP OA，得119 .11I一 一 _,4 4 4 211z2，解得z 443，所以外接球的半徑為2該幾何體外接球的表面積為11n. .故選: :C.C.【點睛】本題考查由三視圖得出原幾何體和幾何體的外接球的表面積,原幾何體，求出幾何體和外接球的球心和半徑，屬于中檔題關鍵在于由三視圖正確還、填空題1313 若tan-，則cos221【答案】丄3【解析】根據(jù)余弦的二倍角公式轉化成關于正弦、余弦的齊次式,再運用關于正切的表達式，代入可得值【詳tancos22cos2sin2.22cossin1&21 tan22 11 tan21、2232由題意可知幾何體的直觀圖如下圖所1

15、第1313頁共 1919 頁故答案為：丄. .3【點睛】本題考查余弦的二倍角公式，正弦、余弦的齊次式，同角三角函數(shù)的關系中的商數(shù)關系,屬于基礎題. .1414 .已知正數(shù)a,b滿足ab 2a b，則a b的最小值為 _【答案】3 2,2【解析】 將等式ab2a b兩邊同除以2 2 1 1ab，得1 1，再對“ 1 1 巧妙地運用b b a aa ba b12c b 2a3 -運用基本不等式可得最小值 aba b【詳解】2 2 1 1 將等式ab 2a b兩邊同除以ab，得一1，且a 0, b 0,b b a aa bab1-c b 2a3 -32 2,a ba b當且僅當b a2a時，即bb

16、, 2a時，與 亍ab 2a b聯(lián)立得，a 1.2，b 22時，等號成立 故答案為：3 2、2 【點睛】本題考查基本不等式的運用，關鍵在于將所給的已知條件轉化為“1 1 的形式，構造成基本不等式所需的形式，屬于基礎題 1515 設數(shù)列an的通項公式為an= 2n-1，且bnanan1 an 1數(shù)列bn的前n31【答案】66【解析】代入數(shù)列an可求得值【詳解】bn的通項公式裂項,運用裂項求和法,由an= 2，可得bnanan1an 112n12n 11 2n112n 11項和為Tn，則T5_第1414頁共 1919 頁【點睛】 本題考查對數(shù)列的通項裂項， 運用裂項求和法求數(shù)列的和， 解決的關鍵在

17、于正確地裂項,運用時注意項的腳標，屬于中檔題 m,n，若f x在0,上的值域與函數(shù)f f x在m,n上的值域相同，則實 數(shù)a的取值范圍為_ . .【答案】2,【解析】對f x求導，分析導函數(shù)的正負，得到函數(shù)f x的單調性，進而得其值域,【詳解】1 1201 2 111L11113124552 1 2121 2 12 216631故答案為：661616 .已知函數(shù)3ln x12ax2a 3 x 2a 1 a 0,f x 0的解集為再設t f x,由已知得需f 1解之求得a的范圍. .由已知得函數(shù)fx的定義域為0,，且ax2ax a33x3ax 3 x 1, a 0,0,1上單調遞增，在1 1上單

18、調遞減;f x在0,上的值域為根據(jù)題意有f 14 0；f x2；0的解集為m,n,則設t fx,當x m,n時，t fx0, f 1;f x在0,函數(shù)f fx在m,n上的值域相同；即ft在0, f 1上的值域為，f1;只需f11，即f 1上的值域與1第1515頁共 1919 頁得a 2. .第1616頁共 1919 頁故答案為：2,【點睛】本題考查運用導函數(shù)分析原函數(shù)的單調性、值域，關鍵在于根據(jù)已知的值域間的關系建立關于a的不等式，屬于難度題. .三、解答題1717 在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知1 cos B si nAbecos Asin Ba c(1) 求角A的大

19、?。?2) 若VABC的面積為,b c 3，求a. .22n_【答案】(1 1)n(2 2) . 7 73a c b c【解析】(1 1)根據(jù)正弦定理將已知進行邊角互化得，再根據(jù)余弦定理求得b a ccosA，由三角形的角的范圍可求得角A;(2 2)根據(jù)三角形的面積公式得出bc，又根據(jù)b c 3，和余弦定理可求得邊a. .【詳解】(1)根據(jù)正弦定理由1 cosBsinAcosA ,得sin Ba c【點睛】sin A sin AcosB cos AsinBsin A si nAB所以b2sin Bsin Bsin A sinCsin B(2)b2c2a2bc，所以cosA1bcsin A2c2

20、bc2b c bc 9bc2bc0, n,2n所以A33，所以2 7,所以a .7. .本題考查解三角形的正弦定理和余弦定理,以及三角形的面積公式,關鍵在于熟悉公式第1717頁共 1919 頁的結構，合理選擇公式運用邊角互化，屬于中檔題1818 已知數(shù)列an中,a1 1，an1為山N*)-第1818頁共 1919 頁(1)求證:11an3是等比數(shù)列，并求an的通項公式an；(2)數(shù)列bn滿足bn(41)即an,求數(shù)列bn的前n項和Tn. .【答案】(1)(1)答案見解析;15Tn匚2n 54Y7【解析】 試題分析: 根據(jù)數(shù)列的遞推關系， 結合等比數(shù)列的定義即可證明an等比數(shù)列，并求an的通項公

21、式an，利用錯位相減法即可求得答案;解析：(1 1) a ananan4an4anbn1111 4nan 13an3114a11,a13311是以-為首項，以an331 14 ,n 14an3314n1an3 ，3*annN4n1n 12)bn4n1nan,3n1N4 4 為公比的等比數(shù)列bn(ananan 13n1Tnbi b2331n3n 2n3n1818 已知數(shù)列an中,a1 1，an1為山N*)-第1919頁共 1919 頁2第2020頁共 1919 頁若 I I：是正三角形，求三棱柱廣的體積. .【答案】（1 1）見證明；（2 2）4 4【解析】（1 1）分別證明工八再門和*門亠匸

22、1 1：，結合直線與平面垂直判定，即可。（2 2）法一：計算 $AAB$AAB，結合 V Vc c_ _A A aBaB= =AJAJ CFCF 和訃心 y y G G AABAAB，即可。法二 計算V VABBABBl lA A1 1-PCC-PCC1 1a|,亍故” A A 冋CL=小L- - PCC,QPCC,Q = =；，故三棱柱2C人 2,2, 1 1 的體積為甘. .中，由(1)(1)得江?，是三棱錐|二心甘寸的高，6 6 分 記到平面二：的距離為論.由V VC-C- ABDABD ABCABC 加 3 3 心=1%D二 2 2 呂曲口2|ABD|ABD = =ADB = 2ra2

23、ra，在中，典& /) I I，金沁1D =亍，(2)(2)法故三棱柱的體積=，故三棱柱且高一樣,餡財 CECE51X XMx x sinj I I為的中點，故|寸到平面乂啟；的距離為法三、在三棱錐 J-ABDJ-ABD法二、將三棱柱補成四棱柱如圖，因故V VAfiCAfiC - - 1 1 占|亡廣V VATCATC - - A At tQC,QC,C1?AE-d，即第2222頁共 1919 頁故三棱柱iWCiWC - - 2 2 心的體積為扌【點睛】 本道題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱柱的體積計算公式，難度較大。2020已知f X Iog99X1-X為偶函數(shù),2(1(1)

24、求實數(shù) k k 的值;【答案】(1 1)-1-1( 2 2)a a 0 0【詳解】Iog99X1Iog93xIog92 3Xx log92 3Xa. .(2)若X 0,1時，函數(shù)fX的圖象恒在g圖象的下方，求實數(shù)a a 的取值范圍. .【解析】(1 1)根據(jù)函數(shù)f X是偶函數(shù)得1 1，代入可求得實數(shù)k的值;(2(2)根據(jù)已知Iog99Xlog92 3X0,1時恒成立，對 a a 進行參變分離a 3X0,1恒成立，y 3X扌在X 0,1上單調遞增，可得實數(shù)a a 的取值范圍. .(1) T f XIog99X1-x為偶函數(shù),21 1 ，即,_ k 10 kIog910 2 log9 2，二k1.

25、 .(2)由題意可得X 0,1時，Iog99XlOg92 3Xa恒成立，即即lOg99X13XlOg92 3Xa恒成立,所以9X33Xa恒成立，且2 3X0，即aX1337在X0,1恒成立,3因為y3X0,1上單調遞增，所以08，所以aymin，3所以 a a0.0.第2323頁共 1919 頁【點睛】第2424頁共 1919 頁本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，將兩個函數(shù)的圖象關系轉化為建立兩函數(shù)的恒成立的不等式，運用參變分離和恒等式的思想， 從函數(shù)的最值方面求解是解決此類問題 的常用方法，屬于難度題. .2121.已知函數(shù)f(x) In x 2ax, a R. .(1)(1)求函數(shù) f(

26、x)f(x)的單調區(qū)間；若不等式f(x) x ax2在x 1時恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1 1)見解析；(2 2)1,0【解析】(1)(1)本題首先可以對函數(shù)f x進行求導，然后通過對a 0以及a 0兩種情況進行分類討論，分別求出每一種情況下函數(shù)f x的單調性，即可得出結果;2 2Inx ax 2a 1 x 0在x 1時恒成立，然后令g x Inx ax 2a 1 x，再對函數(shù)gx的導函數(shù)g x的性質進行分類討論，即可得出結果【詳解】1c12ax ,小、(1 1)fx2a,(x 0),xx若a0,f x0,f x在(0,+?)上單調遞增；1 1若a 0, ,當0 x時，f x 0,當x

27、時，f x 0,2a2a11所以0,是函數(shù)f x的單調遞增區(qū)間，是函數(shù)f x的單調減區(qū)間,2a2a1 1當a 0時，f x的單調遞增區(qū)間為0,，單調遞減區(qū)間為，.2a2a(2 2)由題意可知，不等式可轉化為Inx ax 2a 1 x 0在x 1時恒成立,令g xInx ax22a1 x, x 1,g x12ax2a 122ax2a 1 x 1 2ax 1 x 1xxx，若a0, 則gx 0,g x在(1,+?)上單調遞減，所以g xg 1a 1，不等式恒成立等價于a 1 0，即1 a 0；(2)(2)本題首先可以將不等式2x x ax在x 1時恒成立轉化為綜上所述，當a 0時,x的單調遞增(。

28、 ，+?)；11,第2525頁共 1919 頁本題考查了函數(shù)以及導函數(shù)的相關性質，主要考查通過導函數(shù)性質來求出函數(shù)單調性以 及通過構造函數(shù)并判斷函數(shù)性質來求不等式恒成立問題, 思想以及化歸與轉化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.在極坐標系中，曲線的極坐標方程為p2421 3si n2(1(1)求曲線C的直角坐標方程和直線I的普通方程;(2(2)若曲線C上的動點M至煩線I的最大距離為 乞13，求 m m 的值. .132【答案】(1 1)C :- y21，直線l的普通方程為:4試題解析:若01，則右1，當1 x丁時,2 2a2agx 0，當x 時，gx0,12a、 、1上單調遞減，g x在，+2a上單調遞增,所以g xgJ2a1若a ,當x 1時,2所以g xg 1,綜上所述，1a 0.g x 0,g x在(1, +?)上單調遞增,考查推理能力，考查函數(shù)方程，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線I的參數(shù)方程為x 6t m(t為參數(shù)，m R). .y、3tx23y m 0(2 2)【解析】試題