信息安全數(shù)學基礎B卷答案

1、貴州大學2007-2008學年第二學期考試試卷（標準答案） B信息安全數(shù)學基礎 注意事項：1. 請考生按要求在試卷裝訂線內(nèi)填寫姓名、學號和年級專業(yè)。2. 請仔細閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫答案。3. 不要在試卷上亂寫亂畫，不要在裝訂線內(nèi)填寫無關的內(nèi)容。4. 滿分100分，考試時間為120分鐘。題 號一二三四五六七八總 分統(tǒng)分人得 分得 分評分人一、 設a,b是任意兩個不全為零的整數(shù)，證明：若m是任一正整數(shù)，則（am,bm）=（a,b）m.(共10分) 解：設 d=(a,b),d=(am,bm),由定理5，存在整數(shù)s,t使得 Sa+tb=d 兩端同時乘m,得到s(am)+t(bm)=

2、dm因此d|dm.(5分) 又顯然有dm|am,dm|bm,所以dm|d.故 d=(am,dm)（5分） 得 分評分人二、設p是素數(shù).證明：如果則 或（共10分）證明：因為，所以p|(a -b )( a + b ), 如果P不整除（a+b),因為P為素數(shù)，所以(P,a+b)=1,有定理可知 (5分）； 同理，如果P不整除（a-b),因為P為素數(shù)，所以(P,a-b)=1,有定理可知(5 分）得 分評分人三、求出下列一次同余數(shù)的所有解.(共10分)解：(1)求同余式的解，運用廣義歐幾里得除法得：x5( mod 3)（5分）（2）求同余式的一個特解：x5( mod 3)（4分）（3）寫出同余式的全部

3、解：X5 + 3t( mod 9)(t=0,1,2)（1分）得 分評分人四、求解同余式組：(共15分)解：原同余式等價同余式組直接驗算，的解為的解為由中國剩余定理，可求得同余式組的解為，故原同余式的解為，共6個。得 分評分人五、求滿足方程的所有點. (共10分)解:對x=0,1,2,3,4,5,6,分別求出y.得 分評分人六、判斷同余式是否有解.（共15分） 解:不用考慮563是否是素數(shù)，直接計算雅可比符號，因為所以原同余式無解得 分評分人七、求所有素數(shù)p使得5為模p二次剩余。（共10分）解:即求所有素數(shù)P,st ()=1,易知，P是大于5的素數(shù)，根據(jù)二次互反律（）= （-1）（）=（）（1分

4、）（）=（）=1 p=1 (mod 5) (2分) ()= 1 p=2 (mod 5) （2分） ()= -1 p=3 (mod 5) （2分） ()=1 p= -1(mod 5) （2分）所以P1 (mod 5)or P-1 (mod 5) (1分）.得 分評分人8、 設p是一個奇素數(shù)，并且也是一個奇素數(shù)，設a是與p互素的正整數(shù)，如果，則a是模p的原根。（共10分）證明：即證a的指數(shù)等于p-1,也就是滿足a1 (mod p)的p-1是最小的。（2分） 假設存在整數(shù)X < p-1,st a1 (mod p) (2分）因為為奇素數(shù)，p-1=*2(該分解是唯一的）（3分）因為a1,(mod p) 所以x不存在，即p-1為最小。（3分）得 分評分人九、設是素數(shù)，則是整