二次函數(shù)一般式的圖像和性質

1、 二次函數(shù)（一般式）圖象和性質二次函數(shù)（一般式）圖象和性質陳國彬陳國彬1 的頂點坐標是的頂點坐標是_，對稱軸是對稱軸是_ 2怎樣把怎樣把 的圖象移動，便可得到的圖象移動，便可得到 的圖象？的圖象？ （h，k） 2ya xhk直線直線xh 23yx2325yx3 的頂點坐標是的頂點坐標是 ，對稱軸是對稱軸是 2325yx(2，5) 直線直線 x2 4在上述移動中圖象的開口方向、形狀、在上述移動中圖象的開口方向、形狀、頂點坐標、對稱軸，哪些有變化？哪些沒頂點坐標、對稱軸，哪些有變化？哪些沒有變化？有變化？ 有變化的：拋物線的頂點坐標、對稱軸，有變化的：拋物線的頂點坐標、對稱軸，沒有變化的：拋物線的

2、開口方向、形狀沒有變化的：拋物線的開口方向、形狀 我們復習了將拋物線我們復習了將拋物線 向左平移向左平移2個單個單位再向下平移位再向下平移5個單位就得到個單位就得到 的的圖象，將圖象，將 化為一般式為化為一般式為 ，那么如何將拋物線，那么如何將拋物線 的圖的圖像移動，得到的像移動，得到的 圖像呢？圖像呢？ 新課新課23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx 的圖象怎樣平的圖象怎樣平移就得到移就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函數(shù)那么一般地，函數(shù)的圖象呢？的圖象呢？ 1用配方法把用配方法把2yaxbxc2ya xhk化為化為的形式。的形式。 的形式，求出頂點坐

3、標和對稱軸。的形式，求出頂點坐標和對稱軸。215322yxx2ya xhk例例1 用配方法把用配方法把化為化為215322yxx21342x解： 頂點坐標為（頂點坐標為（3，2），對稱軸為），對稱軸為x32169952xx21652xx21322x答案：答案： ，頂點坐標是，頂點坐標是(1，5)，對稱軸是直線對稱軸是直線 x1 的形式，求出頂點坐標的形式，求出頂點坐標和對稱軸。和對稱軸。2247yxx2ya xhk2215yx練習練習1 用配方法把用配方法把化為化為 的方法和我們前面學過的用配方法解二次方程 “ ”類似具體演算如下：化為化為的形式。的形式。2用公式法把拋物線用公式法把拋物線2y

4、axbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把變形為20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線。2yaxbxc22222bbbca xxaaaa222424bacbaxaa22424bacba xaa2bca xxaa 的形式，求出對稱軸和頂點坐標21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把化為21522yxx 15,1,22abc 221541144221,2112422422bacbaa 21122yx 解：在中，頂點為（1，2），對稱軸為直線 x1。 的形式，并求出頂點坐標和對稱軸。答案： ，頂點坐標為（2，2）對稱軸是

5、直線 x22286yxx 2ya xhk2222yx 練習練習2 用公式法把化成32yaxbxc圖象的畫法圖象的畫法 2yaxbxc2ya xhk步驟：1利用配方法或公式法把化為的形式。2確定拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標。3在對稱軸的兩側以頂點為中心左右對稱描點畫圖。 的圖像，利用函數(shù)圖像回答：例例3 畫出2286yxx (1)x取什么值時，y0？(2)x取什么值時，y0？(3)x取什么值時，y0？(4)x取什么值時，y有最大值或最小值？分析：分析：我們可以用頂點坐標公式求出圖象的頂點，過頂點作平行于y軸的直線就是圖象的對稱軸在對稱軸的一側再找兩個點，則根據(jù)對稱性很容易找出另兩個點，這四

6、個點連同頂點共五個點，過這五個點畫出圖像(1)用頂點坐標公式，可求出頂點為用頂點坐標公式，可求出頂點為(2，2)，對稱軸是對稱軸是x2. (2) 當當x1時，時，y0，即圖，即圖象與象與x軸交于點軸交于點(1，0)，根據(jù)軸對稱，很容，根據(jù)軸對稱，很容易知道易知道(1 ，0)的軸對稱點是點的軸對稱點是點(3，0) 又當又當x0時，時，y6，即圖象與，即圖象與y軸交于點軸交于點(0，6)，根據(jù)軸對稱，很容易知道，根據(jù)軸對稱，很容易知道(0，6)的的軸對稱點是點軸對稱點是點(4，6)用光滑曲線把五個用光滑曲線把五個點點(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)連結起來，就是連結起來，

7、就是22860yxx 的圖象。的圖象。 解：列表xy221006304622860yxx （2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx 由圖像知：由圖像知： 當當x1或或x3時，時， y0；(2)當當1x3時，時， y0；(3)當當x1或或x3時，時， y0；(4)當當x2時，時， y有最大值有最大值2。xy練習練習3 畫出畫出222yxx的圖像。的圖像。x10123y52125x=1y=x22x2 （3）開口方向：當）開口方向：當 a0時，拋物線開時，拋物線開口向上；當口向上；當 a0時，拋物線開口向下。時，拋物線開口向下。4二次函數(shù)二次函數(shù)2yaxbxc的性質：的

8、性質：（1）頂點坐標）頂點坐標24,;24bacbaa（2）對稱軸是直線）對稱軸是直線2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，當，當時，函數(shù)有最小值，時，函數(shù)有最小值，如果如果a0，當，當時，函數(shù)有最大值，時，函數(shù)有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，當，當時，時，y隨隨x的增大而增大；的增大而增大；當當時，時，y隨隨x的增大而減小。的增大而減小。若若a0，當，當時，時，y隨隨x的增大而減??；的增大而減??；當時，時，y隨隨x的增大而增大。的增大而增大。（5）增減性：）增減性： 與與y軸的交點坐標軸

9、的交點坐標為（為（0，c）(6)拋物線拋物線2yaxbxc與坐標軸的交點與坐標軸的交點拋物線拋物線2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc拋物線拋物線與與x軸的交點坐標為軸的交點坐標為，其中，其中為方程為方程的兩實數(shù)根的兩實數(shù)根 與與x軸的交點情況軸的交點情況可由對應的一元二次方程可由對應的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)拋物線拋物線的根的判別式判定：的根的判別式判定： 0有兩個交點有兩個交點拋物線與拋物線與x軸相交；軸相交； 0有一個交點有一個交點拋物線與拋物線與x軸相切；軸相切； 0沒有交點沒有交點拋物線與拋物線與x軸相離。軸相離。例例4

10、已知拋物線已知拋物線247,yxkxkk取何值時，拋物線經過原點；取何值時，拋物線經過原點；k取何值時，拋物線頂點在取何值時，拋物線頂點在y軸上；軸上；k取何值時，拋物線頂點在取何值時，拋物線頂點在x軸上；軸上；k取何值時，拋物線頂點在坐標軸上。取何值時，拋物線頂點在坐標軸上。 ，所以k4，所以當k4時，拋物線頂點在y軸上。 ，所以k7，所以當k7時，拋物線經過原點；拋物線頂點在y軸上，則頂點橫坐標為0，即解：拋物線經過原點，則當x0時，y0，所以200407kk4022 1kba ，所以當k2或k6時，拋物線頂點在x軸上。拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐

11、標為0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，當k4或k2或k6時，拋物線的頂點在坐標軸上。224 1744044 1kkacba 所以當x2時， 。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 當當x取何值時，二次函數(shù)取何值時，二次函數(shù) 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因為所以當x2時， 。因為a20，拋物線 有最低點，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值總結：求二次

12、函數(shù)最值，有兩個方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：又例例6已知函數(shù)已知函數(shù) ，當，當x為何值為何值時，函數(shù)值時，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。隨自變量的值的增大而減小。211322yxx 解法一： ， 102a 拋物線開口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 對稱軸是直線x3，當 x3時，y隨x的增大而減小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二：，拋物線開口向下， 對稱軸是直線x3，當 x3時，y隨x的增大而減小。例例7 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函數(shù)的解析式，求此函數(shù)的解析

13、式解：解：此函數(shù)圖象開口應向下，且頂點縱坐標的值為0所以應滿足以下的條件組21041 322041mmmmm ，由解方程得121,22mm不合題意，舍去所求函數(shù)解析式為21111232 ,222yxx 。21122yxx 即 相等，則形狀相同。(1)a決定拋物線形狀及開口方向，若aa0開口向上；5拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0開口向下。5拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同決定拋物線對稱軸的位置，由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線2bxa 若a，b異號對稱軸在y軸右側。，故若b0對稱軸為y軸，若a，b同號對稱軸在y軸左側，5

14、拋物線拋物線yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置。當x0時，yc，拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點(0，c)， c0拋物線經過原點；c0與y軸交于正半軸； c0與y軸交于負半軸。例例8 已知如圖是二次函數(shù)已知如圖是二次函數(shù)yax2bxc的圖的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負值象，判斷以下各式的值是正值還是負值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是幾何關系分析：已知的是幾何關系(圖形的位置、圖形的位置、形狀形狀)，需要求出的是數(shù)量關系，所以應，需要求出的是數(shù)量

15、關系，所以應發(fā)揮數(shù)形結合的作用發(fā)揮數(shù)形結合的作用解：解：(1)因為拋物線開口向下，所以因為拋物線開口向下，所以a0；判斷判斷a的符號的符號(2)因為對稱軸在因為對稱軸在y軸右側，所以軸右側，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判斷判斷b的符號的符號(3)因為因為x0時，時，yc，即圖象與，即圖象與y軸交點軸交點的坐標是的坐標是(0，c)，而圖中這一點在，而圖中這一點在y軸正軸正半軸，即半軸，即c0；判斷判斷c的符號的符號2404acba240acb240bac(4)因為頂點在第一象限，其縱坐標因為頂點在第一象限，其縱坐標 ，且，且a0，所以，所以，故，故。判斷判斷b24ac的符號的符號 ，且

16、且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因為頂點橫坐標小于因為頂點橫坐標小于1，即，即12ba判斷判斷2ab的符號的符號(6)因為圖象上的點的橫坐標為因為圖象上的點的橫坐標為1時，點時，點的縱坐標為正值，即的縱坐標為正值，即a12b1c0，故故abc0；判斷判斷abc的符號的符號(7)因為圖象上的點的橫坐標為因為圖象上的點的橫坐標為1時，時，點的縱坐標為負值，即點的縱坐標為負值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判斷判斷abc的符號的符號最大？最大？是多少時場地面積是多少時場地面積當當?shù)淖兓兓淖兓兓?，隨矩形一邊長隨矩形一邊長矩形面積矩形面積的籬笆圍成矩形場地，的籬笆圍

17、成矩形場地，用總長為用總長為例例SllSm.609求求拋拋物物線線解解析析式式過過點點已已知知拋拋物物線線),6, 0(),0 , 3(),0 , 2(2 CBAcbxaxy一般式一般式交點式交點式頂點式頂點式1練習練習3222013222 x)(x)(xxy.的的最最大大值值和和最最小小值值數(shù)數(shù)分分別別在在下下列列范范圍圍內內求求函函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值為值為的的則則且經過點且經過點是是的對稱軸的對稱軸拋物線拋物線 0320324321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(x

18、cbxaxy.的的個個數(shù)數(shù)為為其其中中正正確確下下列列結結論論：軸軸交交于于點點與與兩兩點點，且且軸軸交交于于的的圖圖象象與與已已知知二二次次函函數(shù)數(shù) 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xy1 21xy軸相交于負半軸軸相交于負半軸且與且與圖象經過點圖象經過點的圖象開口向上，的圖象開口向上，二次函數(shù)二次函數(shù)y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正確結論的序號是其中正確結論的序號是問：給出四個結論：問：給出四個結論：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正確結論的序號其中正確結論的序號問：給出四個結論：問：給出四個結論： acab