電動力學(xué)習(xí)題解答

1、電動力學(xué)習(xí)題解答若干運(yùn)算公式的證明（利用公式得）第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1. 根據(jù)算符的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：解：（1）（2）在（1）中令得：，所以 即 2. 設(shè)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，證明： ， ， 證明：（1）（2）（3） 3. 設(shè)為源點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場點(diǎn)。（1）證明下列結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關(guān)系： ； ； ； ， 。（2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均為常向量。（1）證明： 可見 可見 ， （2）解： 因?yàn)?，為常向量，所以?，又， 為常向量，而，所以 4. 應(yīng)用高斯定理證明，應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理證明證明：（I）設(shè)為任意非零

2、常矢量，則根據(jù)矢量分析公式 ，令其中，便得所以 因?yàn)槭侨我夥橇愠Ｏ蛄浚裕↖I）設(shè)為任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得 （1）（1）式左邊為： （2）（1）式右邊為： （3）所以 （4）因?yàn)闉槿我夥橇愠Ｏ蛄浚?. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 ，利用電荷守恒定律證明p的變化率為：證明：方法（I）因?yàn)榉忾]曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故， 同理 ， 所以 方法（II）根據(jù)并矢的散度公式得：6. 若m是常向量，證明除點(diǎn)以外，向量的旋度等于標(biāo)量的梯度的負(fù)值，即，其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場點(diǎn)。證明：其中 ， （） ， （）又 所以，當(dāng)時，7. 有一內(nèi)

3、外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：（1）空間各點(diǎn)的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（1）設(shè)場點(diǎn)到球心距離為。以球心為中心，以為半徑作一球面作為高斯面。由對稱性可知，電場沿徑向分布，且相同處場強(qiáng)大小相同。當(dāng)時， 。當(dāng)時， ， ，向量式為 當(dāng)時， 向量式為 （2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，8. 內(nèi)外半徑分別為和的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：（1）以圓柱軸線上任一點(diǎn)為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當(dāng) 時，由安培環(huán)

4、路定理得：當(dāng) 時，由環(huán)路定理得：所以 ， 向量式為 當(dāng) 時，所以 ， 向量式為 （2）當(dāng) 時，磁化強(qiáng)度為所以 在 處，磁化面電流密度為在 處，磁化面電流密度為向量式為 9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。證明：在均勻介質(zhì)中 所以 10. 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反(但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)證明: 線圈1在線圈2的磁場中受的力:,而 ， (1)同理可得線圈2在線圈1的磁場中受的力： (2)(1)式中：同理(2)式中： 11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動勢為E

5、的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度和；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和 當(dāng)電流達(dá)到恒定時，上述兩物體的結(jié)果如何？)解：忽略邊緣效應(yīng)，平行板電容器內(nèi)部場強(qiáng)方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場強(qiáng)分段均勻，分別設(shè)為和，電位移分別設(shè)為和，其方向均由正極板指向負(fù)極板。當(dāng)介質(zhì)不漏電時，介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電荷面密度為取高斯柱面，使其一端在極板A內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：同理，在極板B內(nèi)和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：所以有 ， 由于 E 所以 E 當(dāng)介質(zhì)漏電時，重復(fù)上述步驟，可得：，

6、， 介質(zhì)1中電流密度 介質(zhì)2中電流密度 由于電流恒定，再由 E 得E E EEE12.證明：（1）當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。（2）當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時，分界面上電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。證明：（1）由的切向分量連續(xù)，得 （1）交界面處無自由電荷，所以的法向分量連續(xù)，即 （2）（1）、（2）式相除，得（2）當(dāng)兩種電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時由的法向分量連續(xù)，得 （3）（1）、（3）式相除，即得13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場線總

7、是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：（1）設(shè)導(dǎo)體外表面處電場強(qiáng)度為，其方向與法線之間夾角為，則其切向分量為。在靜電情況下，導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，由于在分界面上的切向分量連續(xù)，所以因此 即只有法向分量，電場線與導(dǎo)體表面垂直。（2）在恒定電流情況下，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)表面處電場方向與導(dǎo)體表面夾角為，則電流密度與導(dǎo)體表面夾角也是。導(dǎo)體外的電流密度，由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以因此 即只有切向分量，從而只有切向分量，電場線與導(dǎo)體表面平行。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。（1）證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）求隨時間的衰減規(guī)律。（3）求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度。（4）求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：（1）以電容器軸線為軸作一圓柱形高斯面，其半徑為r，長度為L，其中則由高斯定理得： （1）所以 ， （2）再由電流連續(xù)性方程得： （3）所以 （4）即與嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）由 得： （5）聯(lián)立（2）（