應(yīng)用回歸分析----第九章--部分答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第9章 非線性回歸9.1 在非線性回歸線性化時(shí)，對(duì)因變量作變換應(yīng)注意什么問題？答：在對(duì)非線性回歸模型線性化時(shí)，對(duì)因變量作變換時(shí)不僅要注意回歸函數(shù)的形式， 還要注意誤差項(xiàng)的形式。如：(1) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為，(2) 加性誤差項(xiàng)，模型形式為。對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型（1）可通過兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型，（2）不能線性化。一般總是假定非線性模型誤差項(xiàng)的形式就是能夠使回歸模型線性化的形式，為了方便通常省去誤差項(xiàng)，僅考慮回歸函數(shù)的形式。9.2為了研究生產(chǎn)率與廢料率之間的關(guān)系，記錄了如表9.14所示的數(shù)據(jù)，請(qǐng)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)擬合適當(dāng)?shù)幕貧w模型。表9.14生產(chǎn)率x（單位/

2、周） 1000200030003500400045005000廢品率y（%）5.26.56.88.110.210.313.0解：先畫出散點(diǎn)圖如下圖：從散點(diǎn)圖大致可以判斷出x和y之間呈拋物線或指數(shù)曲線，由此采用二次方程式和指數(shù)函數(shù)進(jìn)行曲線回歸。（1）二次曲線SPSS輸出結(jié)果如下：從上表可以得到回歸方程為：由x的系數(shù)檢驗(yàn)P值大于0.05，得到x的系數(shù)未通過顯著性檢驗(yàn)。由x2的系數(shù)檢驗(yàn)P值小于0.05，得到x2的系數(shù)通過了顯著性檢驗(yàn)。（2）指數(shù)曲線從上表可以得到回歸方程為：由參數(shù)檢驗(yàn)P值0<0.05，得到回歸方程的參數(shù)都非常顯著。從R2值，的估計(jì)值和模型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值、t值及擬合圖綜合考慮，指

3、數(shù)擬合效果更好一些。9.3 已知變量x與y的樣本數(shù)據(jù)如表9.15，畫出散點(diǎn)圖，試用e/x來擬合回歸模型，假設(shè)：(1) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/xe(2) 加性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/x+。表9.15序號(hào)xy序號(hào)xy序號(hào)xy14.200.08663.200.150112.200.35024.060.09073.000.170122.000.44033.800.10082.800.190131.800.62043.600.12092.600.220141.600.94053.400.130102.400.240151.401.620解： 散點(diǎn)圖：(1) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/xe線

4、性化：lny=ln+/x + 令y1=lny, a=ln,x1=1/x .做y1與x1的線性回歸，SPSS輸出結(jié)果如下：從以上結(jié)果可以得到回歸方程為：y1=-3.856+6.08x1 F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)的P值0<0.05，得到回歸方程及其參數(shù)都非常顯著。回代為原方程為：y=0.021e6.08/x （2）加性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/x+不能線性化，直接非線性擬合。給初值=0.021，=6.08（線性化結(jié)果），NLS結(jié)果如下：從以上結(jié)果可以得到回歸方程為： y=0.021e6.061/x根據(jù)R21，參數(shù)的區(qū)間估計(jì)不包括零點(diǎn)且較短，可知回歸方程擬合非常好，且其參數(shù)都顯著。9.4 Logisti

5、c回歸函數(shù)常用于擬合某種消費(fèi)品的擁有率，表8.17（書上239頁，此處略）是北京市每百戶家庭平均擁有的照相機(jī)數(shù)，試針對(duì)以下兩種情況擬合Logistic回歸函數(shù)。（1）已知，用線性化方法擬合，（2）u未知，用非線性最小二乘法擬合。根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義知道，u是擁有率的上限，初值可取100；b0>0,0<b1<1初值請(qǐng)讀者自己選擇。解：（1），時(shí)，的線性擬合。對(duì)函數(shù)線性化得到：，令，作關(guān)于的線性回歸分析，SPSS輸出結(jié)果如下：由表Model Summary得到，趨于1，回歸方程的擬合優(yōu)度好，由表ANOVA得到回歸方程顯著，由Coefficients表得到，回歸系數(shù)都是顯著的，得到方程

6、：，進(jìn)一步計(jì)算得到：，（）回代變量得到最終方程形式為： 最后看擬合效果，通過sequence畫圖：由圖可知回歸效果比較令人滿意。（2）非線性最小二乘擬合,取初值,：一共循環(huán)迭代8次，得到回歸分析結(jié)果為：>0.994，得到回歸效果比線性擬合要好，且：，回歸方程為：。最后看擬合效果，由sequence畫圖：得到回歸效果很好，而且較優(yōu)于線性回歸。9.5表9.17（書上233頁，此處略）數(shù)據(jù)中GDP和投資額K都是用定基居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）縮減后的，以1978年的價(jià)格指數(shù)為100。（1） 用線性化乘性誤差項(xiàng)模型擬合C-D生產(chǎn)函數(shù)；（2） 用非線性最小二乘擬合加性誤差項(xiàng)模型的C-D生產(chǎn)函數(shù)；（

7、3） 對(duì)線性化檢驗(yàn)自相關(guān)，如果存在自相關(guān)則用自回歸方法改進(jìn)；（4） 對(duì)線性化檢驗(yàn)多重共線性，如果存在多重共線性則用嶺回歸方法改進(jìn)；解：（1）對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型可通過兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型。lny=lnA+ a lnK+ b lnL令y=lny,0=lnA,x1=lnK,x2=lnL,則轉(zhuǎn)化為線性回歸方程：y=0+ a x1+ b x2+ eSPSS輸出結(jié)果如下：模型綜述表從模型綜述表中可以看到，調(diào)整后的為0.993，說明C-D生產(chǎn)函數(shù)擬合效果很好，也說明GDP的增長是一個(gè)指數(shù)模型。方差分析表從方差分析表中可以看到，F(xiàn)值很大，P值為零，說明模型通過了檢驗(yàn)，這與上述分析結(jié)果一致。系數(shù)表根據(jù)系數(shù)表顯

8、示，回歸方程為：盡管模型通過了檢驗(yàn)，但是也可以看到，常數(shù)項(xiàng)沒有通過檢驗(yàn)，但在這個(gè)模型里，當(dāng)lnK和lnL都為零時(shí)，lnY為-1.785，即當(dāng)K和L都為1時(shí)，GDP為0.168，也就是說當(dāng)投入資本和勞動(dòng)力都為1個(gè)單位時(shí)，GDP將增加0.168個(gè)單位，這種解釋在我們的承受范圍內(nèi)，可以認(rèn)為模型可以用。最終方程結(jié)果為：y=0.618K0.801 L0.404（2） 用非線性最小二乘法擬合加性誤差項(xiàng)模型的C-D生產(chǎn)函數(shù)；上述假設(shè)誤差是乘性的，現(xiàn)假設(shè)誤差是加性的情況下使用非線性最小二乘法估計(jì)。初值采用（1）中參數(shù)的結(jié)果，SPSS輸出結(jié)果如下：參數(shù)估計(jì)表SPSS經(jīng)過多步迭代，最終得到的穩(wěn)定參數(shù)值為P=0.4

9、07，a=0.868，b=0.270y=0.407K0.868 L0.270為了比較這兩個(gè)方程，我們觀察下面兩個(gè)圖線性回歸估計(jì)擬合曲線圖非線性最小二乘估計(jì)擬合曲線圖我們知道，乘性誤差相當(dāng)于是異方差的，做了對(duì)數(shù)變換后，乘性誤差轉(zhuǎn)為加性誤差，這種情況下認(rèn)為方差是相等的，那么第一種情況（對(duì)數(shù)變換線性化）就大大低估了GDP數(shù)值大的項(xiàng)，因此，它對(duì)GDP前期擬合的很好，而在后期偏差就變大了，同時(shí)也會(huì)受到自變量之間的自相關(guān)和多重共線性的綜合影響；非線性最小二乘法完全依賴數(shù)據(jù)，如果自變量之間存在比較嚴(yán)重的異方差、自相關(guān)以及多重共線性，將對(duì)擬合結(jié)果造成很大的影響。因此，不排除異方差、自相關(guān)以及多重共線性的存在。

10、（3） 對(duì)線性化回歸模型采用DW檢驗(yàn)自相關(guān)，結(jié)果如下：模型綜述表DW=0.715<1.27，落在自相關(guān)的區(qū)間，所以采用迭代法改進(jìn)將得到的數(shù)據(jù)再取對(duì)數(shù)，而后用普通最小二乘法估計(jì)，保留DW值模型綜述表方差分析表系數(shù)表從模型綜述表中可以看到，DW=1.618>1.45，認(rèn)為消除了自相關(guān)；方差分析表中可以看到F值很大，P值為零，說明模型通過了檢驗(yàn)。從系數(shù)表可得回歸方程：再迭代回去，最終得方程為：LnytLnyt-1.8590.755(LnKtLnKt) 0.465(LnLtLnLt)（4） 對(duì)線性化回歸方程通過VIF檢驗(yàn)多重共線性：方差分析表系數(shù)表多重共線性診斷表直觀法：從模型綜述表上可以

11、看到，F(xiàn)值很大，而t值很小，這是多重共線性造成的影響；VIF檢驗(yàn)法：從系數(shù)表上可以看到，VIF=13>10，也說明多重共線性的存在；條件數(shù)：從診斷表上可以看到，最大的條件數(shù)是429，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于了100，所以自變量之間存在較為嚴(yán)重的多重共線性。利用嶺回歸改進(jìn)： R-SQUARE AND BETA COEFFICIENTS FOR ESTIMATED VALUES OF K K RSQ LNK LNL_ _ _ _.00000 .99394 . .05000 .99015 . .10000 .98639 . .15000 .98260 . .20000 .97843 . .25000 .97379 . .30000 .96869 . .35000 .96318 . .40000 .95730 . .45000 .95109 . .50000 .94462 . .55000 .93791 . .60000 .93101 . .65000 .92395 . .70000 .91677 . .從嶺跡圖觀察，當(dāng)k=0.2時(shí)，變量基本趨于穩(wěn)定取k=0.2進(jìn)行嶺回歸， SPSS輸出結(jié)果