矩陣的奇異值分解在數(shù)字圖像處理的應(yīng)用

1、矩陣的奇異值分解在數(shù)字圖像處理的應(yīng)用淺析 學(xué) 院：··· 專 業(yè)：··姓 名：··學(xué) 號(hào)：··2011年11月6日 目 錄一、緒 論- 1 -二、數(shù)字圖像處理簡介- 2 -三、矩陣的奇異值分解原理- 4 -3.1 矩陣的奇異值- 4 -3.2 矩陣的奇異值分解（SVD）- 4 -四、奇異值分解的圖像性質(zhì)- 5 -五、圖像的奇異值分解壓縮方法- 7 -5.1 奇異值分解壓縮原理分析- 7 -5.2 奇異值分解壓縮應(yīng)用過程- 8 -六、小 結(jié)- 9 -一、緒 論目前，隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，現(xiàn)實(shí)生活中有大量的

2、信息用數(shù)字進(jìn)行存儲(chǔ)、處理和傳送。而傳輸帶寬、速度和存儲(chǔ)器容量等往往有限制，因此數(shù)據(jù)壓縮就顯得十分必要。數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)已經(jīng)是多媒體發(fā)展的關(guān)鍵和核心技術(shù)。圖像文件的容量一般都比較大，所以它的存儲(chǔ)、處理和傳送會(huì)受到較大限制，圖像壓縮就顯得極其重要。當(dāng)前對(duì)圖像壓縮的算法有很多，特點(diǎn)各異，類似JPEG 等許多標(biāo)準(zhǔn)都已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。奇異值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 是一種基于特征向量的矩陣變換方法，在信號(hào)處理、模式識(shí)別、數(shù)字水印技術(shù)等方面都得到了應(yīng)用。由于圖像具有矩陣結(jié)構(gòu)，有文獻(xiàn)提出將奇異值分解應(yīng)用于圖像壓縮2，并取得了成功，被視為一種有效的圖像壓縮方法

3、。本文在奇異值分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行圖像壓縮。二、數(shù)字圖像處理簡介首先，簡單介紹一下數(shù)字圖像處理。人們對(duì)數(shù)字圖像都應(yīng)該很熟悉。我們?cè)谟?jì)算機(jī)上看到的圖像，數(shù)碼相機(jī)拍到的圖像，雷達(dá)圖像，人體MRI圖像等等。數(shù)字圖像處理是指用計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行分析處理，以達(dá)到所需結(jié)果的技術(shù)。圖像處理的內(nèi)容十分廣泛，具體而言，可以分為：圖像獲取、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像壓縮、圖像分割等。這些內(nèi)容都是基于矩陣的處理得到的。下面舉例介紹幾個(gè)重要的應(yīng)用。圖像獲取是圖像處理的第一步。圖像獲取有很多方法，最常用的方法就是用傳感器如數(shù)字?jǐn)z像機(jī)、掃描儀等設(shè)備得到。數(shù)字圖像處理的定義：我們可以將一幅圖像定義為一個(gè)二維函數(shù)，這里和是空間坐標(biāo)，

4、在空間坐標(biāo)上的幅值稱為該點(diǎn)圖像的強(qiáng)度或灰度。對(duì)于數(shù)字圖像而言，和幅值都是有限的、離散的。這樣一幅圖像就可以用一個(gè)二維函數(shù)來表示。模擬圖像不利于計(jì)算機(jī)處理，所以我們常常將模擬圖像轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像。模擬圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)字圖像的方式是：取樣和量化。我們將坐標(biāo)值離散化稱為取樣，將幅度值離散化稱之為量化。經(jīng)過取樣和量化的圖像是一幅數(shù)字圖像。數(shù)字圖像的質(zhì)量很大程度上取決于取樣和量化的取樣數(shù)和灰度級(jí)。取樣和量化的結(jié)果是一個(gè)實(shí)際的矩陣。這個(gè)矩陣可以表示為更一般的矩陣表達(dá)方式為：圖像壓縮是數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)在數(shù)字圖像上的應(yīng)用，它的目的是減少圖像數(shù)據(jù)中的冗余信息從而用更加高效的格式存儲(chǔ)和傳輸數(shù)據(jù)。圖像數(shù)據(jù)之所以能被壓縮，就是

5、因?yàn)閿?shù)據(jù)中存在著冗余。圖像數(shù)據(jù)的冗余主要表現(xiàn)為：圖像中相鄰像素間的相關(guān)性引起的空間冗余；圖像序列中不同幀之間存在相關(guān)性引起的時(shí)間冗余；不同彩色平面或頻譜帶的相關(guān)性引起的頻譜冗余。圖像壓縮可以是有損數(shù)據(jù)壓縮也可以是無損數(shù)據(jù)壓縮。無損圖像壓縮方法主要有行程長度編碼、熵編碼法如LZW；有損壓縮方法主要有變換編碼，如離散余弦變換（DCT）或者小波變換這樣的傅立葉相關(guān)變換，然后進(jìn)行量化和用熵編碼法壓縮和分形壓縮（fractal compression）。圖像矩陣的奇異值（Singular Value）及其特征空間反映了圖像中的不同成分和特征。奇異值分解(Singular Value Decomposit

6、ion ，SVD) 是一種基于特征向量的矩陣變換方法，在信號(hào)處理、模式識(shí)別、數(shù)字水印技術(shù)等方面都得到了應(yīng)用。我們主要討論奇異值分解在圖像壓縮上的應(yīng)用。三、矩陣的奇異值分解原理3.1 矩陣的奇異值設(shè)，是的特征值，是的特征值，它們都是實(shí)數(shù)。且設(shè)則特征值與之間的關(guān)系為：，。設(shè)， 的正特征值，的正特征值，稱，是的正奇異值，簡稱奇異值。若是正規(guī)矩陣，則的奇異值是的非零特征向量的模長。3.2 矩陣的奇異值分解（SVD）若，是的個(gè)正奇異值，則存在階酉矩陣和階酉矩陣，滿足：其中，為奇異對(duì)角陣。滿足是對(duì)角陣，滿足是對(duì)角陣。的第列為的對(duì)應(yīng)于奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量，的第列為的對(duì)應(yīng)于奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量。它們的每一

7、列均為單位向量，且各列之間相互正交。若，是的個(gè)正奇異值，則總有次酉矩陣，滿足：，其中。奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法。奇異值分解是現(xiàn)代數(shù)值的最基本和最重要的工具之一。四、奇異值分解的圖像性質(zhì)任意一個(gè)矩陣的奇異值是唯一的，它刻畫了矩陣數(shù)據(jù)的分布特征。直觀上，可以這樣理解矩陣的奇異值分解：將矩陣看成是一個(gè)線性變換，它將維空間的點(diǎn)映射到維空間。經(jīng)過奇異值分解后，這種變換被分割成3個(gè)部分，分別為、和，其中和都是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，它們對(duì)應(yīng)的線性變換就相當(dāng)于對(duì)維和維坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。若為數(shù)字圖像，則可視為二維時(shí)頻信息，可將的奇異值分解公式寫為：其中，和分別是和的列矢量，是的非零奇異值。故上

8、式表示的數(shù)字圖像可以看成是個(gè)秩為1的子圖疊加的結(jié)果，而奇異值為權(quán)系數(shù)。所以也表示時(shí)頻信息，對(duì)應(yīng)的和可分別視為頻率矢量和時(shí)間矢量，因此數(shù)字圖像中的時(shí)頻信息就被分解到一系列由和構(gòu)成的視頻平面中。由矩陣范數(shù)理論， 奇異值能與向量2-范數(shù)和矩陣Frobenious-范數(shù)(F-范數(shù))相聯(lián)系。若以F-范數(shù)的平方表示圖像的能量，則由矩陣奇異值分解的定義知：。也就是說，數(shù)字圖像經(jīng)奇異值分解后，其紋理和幾何信息都集中在、之中，而中的奇異值則代表圖像的能量信息。性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表圖像的能量信息，因而具有穩(wěn)定性。設(shè)，是矩陣的一個(gè)擾動(dòng)矩陣。和的非零奇異值分別記為：和。且，是的最大奇異值。則有：。由此可知，當(dāng)圖像

9、被施加小的擾動(dòng)時(shí)，圖像矩陣的奇異值變化不會(huì)超過擾動(dòng)矩陣的最大奇異值，所以圖像奇異值的穩(wěn)定性很好。性質(zhì)2：矩陣的奇異值具有比例不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，矩陣()的奇異值為。則有：。性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，。若是酉矩陣，則矩陣的奇異值與矩陣的奇異值相同：。性質(zhì)4：設(shè)，。若，所以可得：上式表明，在F-范數(shù)意義下，是在空間（秩為的維矩陣構(gòu)成的線性空間）中的一個(gè)將秩最佳逼近。因此可根據(jù)需要保留個(gè)大于某個(gè)閾值的而舍棄其余個(gè)小于閾值的且保證兩幅圖像在某種意義下的近似。這就為奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮等應(yīng)用找到了依據(jù)。五、圖像的奇異值分解壓縮方法5.1 奇異值分解壓縮原理

10、分析用奇異值分解來壓縮圖像的基本思想是對(duì)圖像矩陣進(jìn)行奇異值分解，選取部分的奇異值和對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量來重構(gòu)圖像矩陣。根據(jù)奇異值分解的圖像性質(zhì)1和4可以知道，奇異值分解可以代表圖像的能量信息，并且可以降低圖像的維數(shù)。如果表示個(gè)維向量，可以通過奇異值分解將表示為個(gè)維向量。若的秩遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于和，則通過奇異值分解可以大大降低的維數(shù)。對(duì)于一個(gè)像素的圖像矩陣，設(shè)，其中，。按奇異值從大到小取個(gè)奇異值和這些奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量及右奇異向量重構(gòu)原圖像矩陣。如果選擇的，這是無損的壓縮；基于奇異值分解的圖像壓縮討論的是，即有損壓縮的情況。這時(shí)，可以只用個(gè)數(shù)值代替原來的個(gè)圖像數(shù)據(jù)。這個(gè)數(shù)據(jù)分別是矩陣的前個(gè)奇異值， 左

11、奇異向量矩陣的前列和 右奇異向量矩陣的前列元素。比率：稱為圖像的壓縮比。顯然，被選擇的奇異值的個(gè)數(shù)應(yīng)該滿足條件，即。故在傳送圖像的過程中，不需要傳個(gè)數(shù)據(jù)，而只需要傳個(gè)有關(guān)奇異值和奇異向量的數(shù)據(jù)即可。接收端，在接收到奇異值以及左奇異向量和右奇異向量后，可以通過：重構(gòu)出原圖像矩陣。與的誤差為：某個(gè)奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)可以定義為，對(duì)一幅圖像來說，較大的奇異值對(duì)圖像信息的貢獻(xiàn)量較大，較小的奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)較小。假如接近1，該圖像的主要信息就包含在之中。通常圖像的奇異值都具“大L 曲線”，只有不多的一些比較大的奇異值，其它的奇異值相對(duì)較小，因此一般只需要比較小的k 就使接近1。在滿足視覺要求的基礎(chǔ)上，按

12、奇異值的大小選擇合適的奇異值個(gè)數(shù)，就可以通過將圖像恢復(fù)。越小，用于表示的數(shù)據(jù)量就小，壓縮比就越大，而越接近，則與就越相似。在一些應(yīng)用場合中，如果是規(guī)定了壓縮比，則可以由式求出，這時(shí)也同樣可以求出。5.2 奇異值分解壓縮應(yīng)用過程在對(duì)圖像進(jìn)行操作時(shí)，因?yàn)榫仃嚨木S數(shù)一般較大，直接進(jìn)行奇異值分解運(yùn)算量大， 可以將圖像分解為子塊，對(duì)各子塊進(jìn)行奇異值分解并確定奇異值個(gè)數(shù)，將每個(gè)子塊進(jìn)行重構(gòu)。這樣操作除了因?yàn)閷?duì)較小型的矩陣進(jìn)行奇異值分解的計(jì)算量比較小外，另一方面是為了利用原始圖像的非均勻的復(fù)雜性。如果圖像的某一部分比較簡單，那么只需要少量的奇異值，就可以達(dá)到滿意的近似效果。為了保證圖像的質(zhì)量就需要較多的奇異

13、值。但是各個(gè)子塊的奇異值數(shù)目， 大小各不相同， 因此可以考慮為每個(gè)子塊自適應(yīng)的選擇適當(dāng)?shù)钠娈愔禂?shù)目。一種簡單的方法是定義奇異值貢獻(xiàn)量的和來選擇，其中是一個(gè)接近1的數(shù)。對(duì)常見的256 ×256 .bmp格式的圖像（位圖），劃分為4×4個(gè)子塊，每個(gè)子塊大小為64×64。對(duì)每個(gè)子塊根據(jù)來選擇所需要的奇異值數(shù)目。增大的值來選擇奇異值數(shù)目，可以推理得隨著不斷增大，視覺效果越來越好。隨著不斷增大， 需要的奇異值也增多， 壓縮比會(huì)減小。六、小 結(jié)經(jīng)過以上討論可知，用奇異值分解進(jìn)行圖像壓縮，肯定能取得成功，也具有較好的應(yīng)用價(jià)值，但仍然需要有以下值得去思考并改善：1、對(duì)子塊的劃分可以采取更加有效的方法來完成。例如對(duì)規(guī)模很大的矩陣，隨機(jī)抽取矩陣的某些行列得到規(guī)模較小的矩陣，計(jì)算小矩陣的奇異值，重復(fù)若干次，用這些小矩陣的奇異值逼近原始矩陣的奇異。2、影響運(yùn)算速度的因素是SVD 變換運(yùn)算比較大，能否找到一個(gè)快速的SVD 變換算法。另外，若已知圖像矩陣的奇異值及其特征空間，一般認(rèn)為較大的奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量表示圖像信號(hào)，而噪聲反映在較小的奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量