計算流體力學作業(yè)習題

1、2014級西安理工大學計算流體力學作業(yè)1.寫出通用方程，并說明其如何代表各類守恒定律。由守恒型對流-擴散方程：其中為通用變量；為廣義擴散系數(shù)；為廣義原項。若令時，則得到質(zhì)量守恒方程（mass conservation equation）若令時，則得動量守恒方程（momentum conservation equation）以x方向為例分析，設，通用方程可化為：同理可證明y、z方向的動量守恒方程式若令時，則得到能量守恒方程(energy conservation equation)證畢2.用控制體積法離散，要求對S線性化，據(jù)你的理解，談談網(wǎng)格如何劃分？交界面?zhèn)鳠嵯禂?shù)何如何計算？邊界條件如何處理？

2、根據(jù)守恒型對流-擴散方程： ，對一維模型進行分析，則有：將該一維模型的守恒形式在圖A所示的控制容積P在t時間內(nèi)做積分。圖A（1）非穩(wěn)態(tài)項 選定T隨x變化且為階梯式，既有：（2）對流項選定T隨t的變化規(guī)律符合階梯顯示，既有：（3）擴散項 （4）原項令S對t和x呈階梯式變化，既有：綜上所述，可以推導出下式：由圖A可知，本次網(wǎng)格劃分采用的是外節(jié)點法結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。對于交界面的傳熱系數(shù)的數(shù)值確定，可根據(jù)算術(shù)平均法（arithmetic mean），在圖B中在P、E兩點間的與x構(gòu)成線性關(guān)系，則可由P,E兩點的值，確定在e點的傳熱系數(shù)值的大小。即：在計算求解是，若邊界為第一邊界則可以直接進行迭代計算，若邊

3、界為第二、三邊界（邊界節(jié)點的數(shù)據(jù)為未知數(shù)），則采用附加原項計算法進行求解。3.用冪函數(shù)格式離散三維通用方程。在直角坐標系下，三維通用方程的離散方程可表述為：4.采用有限體積法離散對流擴散方程中的對流項時，根據(jù)你的理解寫出格式的進化過程。由數(shù)值傳熱學知，對流-擴散方程表達式：其中為對流項；為擴散項?，F(xiàn)以一維對流-擴散方程問題模型方程來闡述對流項格式演變進化過程。為了分析數(shù)值傳熱問題，人們最早先提出了控制體積中心差分法，即在P點控制容積處做積分，取分段線性型線，最終可演化得： 該類方程的優(yōu)點在于，連續(xù)性方程在數(shù)值計算過程中始終得到滿足，系數(shù)、包括了擴散和對流作用對熱傳導問題的影響；與流量有關(guān)的部分

4、則是界面上分段線型在均勻網(wǎng)格下的表現(xiàn)，很好地體現(xiàn)了對流作用。但是當>2后，中心差分所解得的解將會失去物理意義，因為當>2時，則<2，又因為三個系數(shù)的值都應當大于零，故在這種情況下使用中心差分格式將會使得計算存在問題。為了克服由于對流項因為采用中心差分算法引起的問題，進一步提出了對流項的迎風格式算法，在該格式中對流項的一二階導數(shù)均為線性的型線，同時一階迎風格式離散方程系數(shù)、永遠大于零，因而無論在何種條件下計算都不會引起解得震蕩，其解永遠具有物理 意義。并且在迎風格式的使用實踐，也能為構(gòu)造更優(yōu)良的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格提供了啟示和指導。5.簡述壓力校正法的基本思想及過程（用詳細的方程離散說明）

5、。壓力校正法的基本思想：在對于Navier-Stokes方程的離散形式迭代求解的任一上層次，可以給定一個壓力場，它可以給是假定的或是上一層次計算所得出的。一個給定的正確的壓力場應該使得計算得到速度場滿足連續(xù)性方程。但是根據(jù)這樣的給定的壓力場計算而得到的速度場，未必能滿足連續(xù)性方程，因此要對給定的壓力場進行修正。圖A在時間間隔t內(nèi)對主控制體（如上圖A所示）做積分，且以代替，采用全隱格式，可得：將改進后的速度式代入整理得關(guān)于P一階導數(shù)的代數(shù)方程：其中：即壓力修正算法可以歸納為以下4個基本步驟：（1）假定一個壓力場，記為；（2）利用，求解動量離散方程，得出相關(guān)的速度；（3）利用質(zhì)量守恒方程來改進壓力

6、場，并要求改進后的壓力場對應的速度場能滿足連續(xù)性方程要求；（4）以以及，作為本層次的解并據(jù)此開始下層次的計算迭代。6以具體方程式為例詳細說明離散方程的遷移特性的概念。我們將中心差分應用于一維非穩(wěn)態(tài)純對流方程的非守恒形式：有：其中流速u為常數(shù)。采用類似的分析方法，對于節(jié)點位于（i+1）在（n+1）時層有：其中： 所以 而在i-1點處則有：因為于是得到?？梢娫趇點的擾動同時沿著相反的兩個方向傳遞，所以對流項的中心差分不具有遷移性。下面對u>0的情況來進行分析。對節(jié)點i+1，在n時層產(chǎn)生在節(jié)點i的擾動對i+1點的影響由下式確定：由此可得 而在i-1處則有得 可見采用一階迎風格式時，擾動僅僅向著

7、流動的方向傳遞，故一階迎風格式具有遷移性。7以具體方程式為例詳細說明離散方程的守恒性的概念。為了便于分析現(xiàn)將一維對流-擴散方程簡化為純對流方程：再將方程離散為顯式格式，然后在一定大小范圍內(nèi)求和。為了討論書寫簡便故將對流項中的時間標記刪去。在如下圖所示的均勻網(wǎng)格系統(tǒng)中，任取一段有限區(qū)間進行分析，得：或 進一步分析可得：上式表明在t時間內(nèi)流入與流出某區(qū)域中的通量之差等于改時間間隔內(nèi)該區(qū)域中的增量，又由守恒性質(zhì)可得：8詳細說明差分格式的相容性和收斂性的概念。以一維穩(wěn)態(tài)對流-擴散方程為例，用符號表示對函數(shù)在點（I,n）作某些微分運算的算子。其中是節(jié)點（I,n）處的一維模型方程。用符號表示對作某些差分運算的算子，例如：于是就代表了一維模型方程的顯式格式。所謂一個離散方程的截斷誤差是指其差分方程算子與相應的微分算子的差，記為TE,即：在通過Talor級數(shù)展開得：由此可見，當時間空間的網(wǎng)格步長趨于零時，如果離