計(jì)算流體力學(xué)作業(yè)習(xí)題

1、2014級(jí)西安理工大學(xué)計(jì)算流體力學(xué)作業(yè)1.寫出通用方程，并說(shuō)明其如何代表各類守恒定律。由守恒型對(duì)流-擴(kuò)散方程：其中為通用變量；為廣義擴(kuò)散系數(shù)；為廣義原項(xiàng)。若令時(shí)，則得到質(zhì)量守恒方程（mass conservation equation）若令時(shí)，則得動(dòng)量守恒方程（momentum conservation equation）以x方向?yàn)槔治?，設(shè)，通用方程可化為：同理可證明y、z方向的動(dòng)量守恒方程式若令時(shí)，則得到能量守恒方程(energy conservation equation)證畢2.用控制體積法離散，要求對(duì)S線性化，據(jù)你的理解，談?wù)劸W(wǎng)格如何劃分？交界面?zhèn)鳠嵯禂?shù)何如何計(jì)算？邊界條件如何處理？

2、根據(jù)守恒型對(duì)流-擴(kuò)散方程： ，對(duì)一維模型進(jìn)行分析，則有：將該一維模型的守恒形式在圖A所示的控制容積P在t時(shí)間內(nèi)做積分。圖A（1）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng) 選定T隨x變化且為階梯式，既有：（2）對(duì)流項(xiàng)選定T隨t的變化規(guī)律符合階梯顯示，既有：（3）擴(kuò)散項(xiàng) （4）原項(xiàng)令S對(duì)t和x呈階梯式變化，既有：綜上所述，可以推導(dǎo)出下式：由圖A可知，本次網(wǎng)格劃分采用的是外節(jié)點(diǎn)法結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。對(duì)于交界面的傳熱系數(shù)的數(shù)值確定，可根據(jù)算術(shù)平均法（arithmetic mean），在圖B中在P、E兩點(diǎn)間的與x構(gòu)成線性關(guān)系，則可由P,E兩點(diǎn)的值，確定在e點(diǎn)的傳熱系數(shù)值的大小。即：在計(jì)算求解是，若邊界為第一邊界則可以直接進(jìn)行迭代計(jì)算，若邊

3、界為第二、三邊界（邊界節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為未知數(shù)），則采用附加原項(xiàng)計(jì)算法進(jìn)行求解。3.用冪函數(shù)格式離散三維通用方程。在直角坐標(biāo)系下，三維通用方程的離散方程可表述為：4.采用有限體積法離散對(duì)流擴(kuò)散方程中的對(duì)流項(xiàng)時(shí)，根據(jù)你的理解寫出格式的進(jìn)化過(guò)程。由數(shù)值傳熱學(xué)知，對(duì)流-擴(kuò)散方程表達(dá)式：其中為對(duì)流項(xiàng)；為擴(kuò)散項(xiàng)?，F(xiàn)以一維對(duì)流-擴(kuò)散方程問(wèn)題模型方程來(lái)闡述對(duì)流項(xiàng)格式演變進(jìn)化過(guò)程。為了分析數(shù)值傳熱問(wèn)題，人們最早先提出了控制體積中心差分法，即在P點(diǎn)控制容積處做積分，取分段線性型線，最終可演化得： 該類方程的優(yōu)點(diǎn)在于，連續(xù)性方程在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中始終得到滿足，系數(shù)、包括了擴(kuò)散和對(duì)流作用對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的影響；與流量有關(guān)的部分

4、則是界面上分段線型在均勻網(wǎng)格下的表現(xiàn)，很好地體現(xiàn)了對(duì)流作用。但是當(dāng)>2后，中心差分所解得的解將會(huì)失去物理意義，因?yàn)楫?dāng)>2時(shí)，則<2，又因?yàn)槿齻€(gè)系數(shù)的值都應(yīng)當(dāng)大于零，故在這種情況下使用中心差分格式將會(huì)使得計(jì)算存在問(wèn)題。為了克服由于對(duì)流項(xiàng)因?yàn)椴捎弥行牟罘炙惴ㄒ鸬膯?wèn)題，進(jìn)一步提出了對(duì)流項(xiàng)的迎風(fēng)格式算法，在該格式中對(duì)流項(xiàng)的一二階導(dǎo)數(shù)均為線性的型線，同時(shí)一階迎風(fēng)格式離散方程系數(shù)、永遠(yuǎn)大于零，因而無(wú)論在何種條件下計(jì)算都不會(huì)引起解得震蕩，其解永遠(yuǎn)具有物理 意義。并且在迎風(fēng)格式的使用實(shí)踐，也能為構(gòu)造更優(yōu)良的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格提供了啟示和指導(dǎo)。5.簡(jiǎn)述壓力校正法的基本思想及過(guò)程（用詳細(xì)的方程離散說(shuō)明）

5、。壓力校正法的基本思想：在對(duì)于Navier-Stokes方程的離散形式迭代求解的任一上層次，可以給定一個(gè)壓力場(chǎng)，它可以給是假定的或是上一層次計(jì)算所得出的。一個(gè)給定的正確的壓力場(chǎng)應(yīng)該使得計(jì)算得到速度場(chǎng)滿足連續(xù)性方程。但是根據(jù)這樣的給定的壓力場(chǎng)計(jì)算而得到的速度場(chǎng)，未必能滿足連續(xù)性方程，因此要對(duì)給定的壓力場(chǎng)進(jìn)行修正。圖A在時(shí)間間隔t內(nèi)對(duì)主控制體（如上圖A所示）做積分，且以代替，采用全隱格式，可得：將改進(jìn)后的速度式代入整理得關(guān)于P一階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)方程：其中：即壓力修正算法可以歸納為以下4個(gè)基本步驟：（1）假定一個(gè)壓力場(chǎng)，記為；（2）利用，求解動(dòng)量離散方程，得出相關(guān)的速度；（3）利用質(zhì)量守恒方程來(lái)改進(jìn)壓力

6、場(chǎng)，并要求改進(jìn)后的壓力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)能滿足連續(xù)性方程要求；（4）以以及，作為本層次的解并據(jù)此開始下層次的計(jì)算迭代。6以具體方程式為例詳細(xì)說(shuō)明離散方程的遷移特性的概念。我們將中心差分應(yīng)用于一維非穩(wěn)態(tài)純對(duì)流方程的非守恒形式：有：其中流速u為常數(shù)。采用類似的分析方法，對(duì)于節(jié)點(diǎn)位于（i+1）在（n+1）時(shí)層有：其中： 所以 而在i-1點(diǎn)處則有：因?yàn)橛谑堑玫?。可?jiàn)在i點(diǎn)的擾動(dòng)同時(shí)沿著相反的兩個(gè)方向傳遞，所以對(duì)流項(xiàng)的中心差分不具有遷移性。下面對(duì)u>0的情況來(lái)進(jìn)行分析。對(duì)節(jié)點(diǎn)i+1，在n時(shí)層產(chǎn)生在節(jié)點(diǎn)i的擾動(dòng)對(duì)i+1點(diǎn)的影響由下式確定：由此可得 而在i-1處則有得 可見(jiàn)采用一階迎風(fēng)格式時(shí)，擾動(dòng)僅僅向著

7、流動(dòng)的方向傳遞，故一階迎風(fēng)格式具有遷移性。7以具體方程式為例詳細(xì)說(shuō)明離散方程的守恒性的概念。為了便于分析現(xiàn)將一維對(duì)流-擴(kuò)散方程簡(jiǎn)化為純對(duì)流方程：再將方程離散為顯式格式，然后在一定大小范圍內(nèi)求和。為了討論書寫簡(jiǎn)便故將對(duì)流項(xiàng)中的時(shí)間標(biāo)記刪去。在如下圖所示的均勻網(wǎng)格系統(tǒng)中，任取一段有限區(qū)間進(jìn)行分析，得：或 進(jìn)一步分析可得：上式表明在t時(shí)間內(nèi)流入與流出某區(qū)域中的通量之差等于改時(shí)間間隔內(nèi)該區(qū)域中的增量，又由守恒性質(zhì)可得：8詳細(xì)說(shuō)明差分格式的相容性和收斂性的概念。以一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流-擴(kuò)散方程為例，用符號(hào)表示對(duì)函數(shù)在點(diǎn)（I,n）作某些微分運(yùn)算的算子。其中是節(jié)點(diǎn)（I,n）處的一維模型方程。用符號(hào)表示對(duì)作某些差分運(yùn)算的算子，例如：于是就代表了一維模型方程的顯式格式。所謂一個(gè)離散方程的截?cái)嗾`差是指其差分方程算子與相應(yīng)的微分算子的差，記為TE,即：在通過(guò)Talor級(jí)數(shù)展開得：由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)間空間的網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于零時(shí)，如果離