自考線性代數(shù)經管類考點逐個擊破

1、線性代數(shù)（經管類）考點逐個擊破第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進行運算，其結果為一個確定的數(shù).1二階行列式由4個數(shù)得到下列式子：稱為一個二階行列式，其運算規(guī)則為2三階行列式由9個數(shù)得到下列式子：稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3余子式及代數(shù)余子式設有三階行列式 對任何一個元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記

2、，稱為元素的代數(shù)余子式.例如 ，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開式，經常簡寫成4n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.5特殊行列式上三角行列式下三角行列式對角行列式 （二）行列式的性質性質1 行列式和它的轉置行列式相等，即性質2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對應元素成比例，則此行列式的值等于零.性質4 行列式可以按行（列）拆開.性質

3、5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即或（三）行列式的計算行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的

4、行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質在某一行或某一列中產生很多個“0”元素，再按這一行或這一列展開：例1計算行列式 解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.例2 計算行列式 解：方法1這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取0值.要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到

5、第一列上去，提出第一列的公因子，再將后三行都減去第一行：方法2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用“加邊法”來計算，即是構造一個與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化為零.例3 三（四）克拉默法則定理1（克拉默法則）設含有n個方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項后得到的行列式.把這個法則應用于齊次線性方程組，則有定理2 設有含n個方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說，若齊次線性方程組有非零解，

6、則必有，在教材第二章中，將要證明，n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.第二章 矩陣（一）矩陣的定義1矩陣的概念由個數(shù)排成的一個m行n列的數(shù)表稱為一個m行n列矩陣或矩陣當時，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示23個常用的特殊方陣：n階對角矩陣是指形如 的矩陣n階單位方陣是指形如 的矩陣n階三角矩陣是指形如 的矩陣3矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數(shù)表，而n階行列式的最后結果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號“”與矩陣記號“”也不同，不能用錯.（二）矩陣的運算1矩陣的同型與相等設有矩陣，若，

7、則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對應元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.2矩陣的加、減法設，是兩個同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運算有相同的運算律.3數(shù)乘運算設，k為任一個數(shù)，則規(guī)定故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運算具有普通數(shù)的乘法所具有的運算律.4乘法運算設，則規(guī)定其中 由此定義可知，只有當左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時，AB才有意

8、義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：不滿足交換律，即在時，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結合律，分配律及與數(shù)乘的結合律.5方陣的乘冪與多項式方陣設A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣6矩陣的轉置設A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為，轉置運算滿足以下運算律：，由轉置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義設

9、A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7方陣的行列式矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設為一個n階方陣，則由A中元素構成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質：設A，B為n階方陣，k為數(shù)，則；（三）方陣的逆矩陣1可逆矩陣的概念與性質設A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單位方陣E.逆矩陣具有以下性質：設A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則是可逆矩陣，且；AB

10、是可逆矩陣，且；kA是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且可逆矩陣可從矩陣等式的同側消去，即 設P為可逆矩陣，則 2伴隨矩陣設為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務必注意中元素排列的特點）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）3n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且， 例1 設（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時，A可逆？此時求 解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即（2）由，故當時，即，A為可逆矩陣此時（四）分塊矩陣1 分塊矩陣的概念與運算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣

11、，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運算時，加、減法，數(shù)乘及轉置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當作元素來看待，相乘時A的各子塊分別左乘B的對應的子塊.2準對角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個準對角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣1 初等變換對一個矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某

12、兩行（列）；（2）用一個非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計算有本質區(qū)別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣理論中一個常用的運算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2初等方陣由單位方陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3初等變換與初等方陣的關系設A為任一個矩陣，當在A的

13、左邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A作同類型的初等列變換.4矩陣的等價與等價標準形若矩陣A經過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價，記為對任一個矩陣A，必與分塊矩陣等價，稱這個分塊矩陣為A的等價標準形.即對任一個矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設A為任一個n階可逆矩陣，構造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換. 例2 求的逆矩陣 解： 則 例3 求解矩陣方程解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變換法，不用求出，而

14、直接求則 （六）矩陣的秩1 秩的定義設A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對任一個矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3與滿秩矩陣等價的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價標準形為E A可以表示為有限個初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無關 A的行（列）向量組為的一個基

15、任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對任一個線性方程組可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對應.對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章 向量空間（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1 n維向量的定義與向量的線性運算由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣與矩陣

16、線性運算類似，有向量的線性運算及運算律.2向量的線性組合設是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個向量可以表示成則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3矩陣的行、列向量組設A為一個矩陣，若把A按列分塊，可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.4線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個解就是一個組合系數(shù).例1問能否表示成，的線性組合？解：設線性方程組為 對方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的線性相關與線性無關

17、1 線性相關性概念設是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關，稱為相關系數(shù).否則，稱向量線性無關.由定義可知，線性無關就是指向量等式當且僅當時成立.特別 單個向量線性相關； 單個向量線性無關2求相關系數(shù)的方法設為m個n維列向量，則線性相關m元齊次線性方程組有非零解，且每一個非零解就是一個相關系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設向量組，試討論其線性相關性.解：考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關，與方程組同解的方程組為令，得一個非零解為則3線性相關性的若干基本定理定理1 n維向量組線性相關至少有一個向量是其余向量的線性組合.即線性無關任一個向量都不能表示為其余向量的

18、線性組合.定理2 如果向量組線性無關，又線性相關，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關，則整體組也必相關，或者整體無關，部分必無關.定理4 無關組的接長向量組必無關.（三）向量組的極大無關組和向量組的秩1向量組等價的概念若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個向量組等價.2向量組的極大無關組設T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關的，且T中任一個向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個極大無關組.顯然，線性無關向量組的極大無關組就是其本身.對于線性相關的向量組，一般地，它的極大無關組不是唯一的，但有以

19、下性質：定理1 向量組T與它的任一個極大無關組等價，因而T的任意兩個極大無關組等價.定理2 向量組T的任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相同.3向量組的秩與矩陣的秩的關系把向量組T的任意一個極大無關組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對任一個矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構造一個矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關組.例3 求出下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出：解：把所有的行向量都轉置成列向量，構造一個矩陣，再用初等行變

20、換把它化成簡化階梯形矩陣易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應地為向量組的一個極大無關組，而且（四）向量空間1 向量空間及其子空間的定義定義1 n維實列向量全體（或實行向量全體）構成的集合稱為實n維向量空間，記作定義2 設V是n維向量構成的非空集合，若V對于向量的線性運算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2 向量空間的基與維數(shù)設V為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關組稱為向量空間V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個線性無關的向量都是的一個基.3 向量在某個基下的坐標

21、設是向量空間V的一個基，則V中任一個向量都可以用唯一地線性表出，由r個表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標.第四章 線性方程組（一） 線性方程組關于解的結論定理1 設為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是定理2 當n元非齊次線性方程組有解時，即時，那么（1）有唯一解；（2）有無窮多解.定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是推論1 設A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解推論2 設A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解（二）齊次線性方程組解的性質與解空間首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因為V中有零向量，即零解，