論文拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理的應(yīng)用論文論文題目拉格朗日中值定理姓 名 學(xué) 號 所在學(xué)院 年級專業(yè) 完成時間 年 月 日拉格朗日中值定理的應(yīng)用摘要：以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，而拉格朗日中值定理因其中值性是幾個中值定理中最重要的一個，在微分中值定理和高等數(shù)學(xué)中有著承上啟下的重要作用。中值定理的主要用于理論分析和證明，例如利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、取極值、拐點等項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊⒎謱W(xué)中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工具。而拉格朗日中值定

2、理作為微分中值定理中一個承上啟下的一個定理，研究其定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎(chǔ)上深入了解它的一些重要應(yīng)用，是十分必要的，鑒于課本中對拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡單的舉了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的應(yīng)用，并沒有進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，有鑒于此，本文將對其應(yīng)用進(jìn)行了深入的總結(jié)。關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理；應(yīng)用；極限；收斂Applications of Lagrange's mean value theorem Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value

3、theorem , Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems'

4、main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point， and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean va

5、lue theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very importa

6、nt to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in

7、 some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence目錄引言：1一、拉格朗日中值定理及其證明21.定理內(nèi)容：22.幾何意義：23.定理證明：2二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用31.利用拉格朗日中值定理證明不等式32.利用拉格朗日中值定理證明等式（包含恒等式和等式）43.利用拉格朗日中值定理求極限44.利用拉格朗日中值定理判別級

8、數(shù)的斂散性55.利用拉格朗日中值定理估值56.利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)性態(tài)67.利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性7三、結(jié)論8引言： 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分學(xué)的重要的和基本的定理,所以統(tǒng)稱微分中值定理，以拉格朗日中值定理作為中心，它們之間的密切關(guān)系可用示意圖表示如下：羅爾定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式 特例 推廣 以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，特別是拉格朗日中值定理。因為它建立了導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)從而研究出函數(shù)的性態(tài)。中值定理的主要用于理論分析和證明，

9、例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、拐點、取極值等各項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而可以準(zhǔn)確的把握函數(shù)圖像的各種幾何特征。總之，微分中值定理是溝通函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的重要橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。而拉格朗日中值定理作為其中一個承上啟下的定理，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎(chǔ)上深入了解它的一些重要應(yīng)用，這是十分必要的。一、拉格朗日中值定理及其證明1.定理內(nèi)容： 若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使。2.幾何意義： 函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧 上至少有一點，曲線在點的切線平行于弦。如圖 3.定理證明：（1）教材證法從拉

10、格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見，若在閉區(qū)間兩端點的函數(shù)值相等，即，則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理（如果函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）,則在內(nèi)至少存在一點 ,使得）。 換句話說，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形。所以，我們只須對函數(shù)作適當(dāng)變形，便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理.證明：作輔助函數(shù) 顯然，函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，而且于是由羅爾中值定理知道，至少存在一點，使.即.（2）用作差法引入輔助函數(shù)法證明：作輔助函數(shù) ，顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，。因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點，使得，即 二、拉格朗日中值定理的應(yīng)

11、用拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，主要有以下幾個方面：利用拉格朗日中值定理證明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求極限、證明級數(shù)收斂、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值等問題。1.利用拉格朗日中值定理證明不等式例1當(dāng)x0時，證明。證明：做輔助函數(shù)。函數(shù)在定義域上可導(dǎo)，故對于>0,有在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)。則至少存在一點，使得=,而，。當(dāng)>0時，有，即，又當(dāng)時，有， 所以得證。 對于證明不等式， 關(guān)鍵怎樣構(gòu)造函數(shù)， 其后巧用拉格朗日中值定理， 畫龍點睛恰到好處。2.利用拉格朗日中值定理證明等式（包含恒等式和等式）例 2證明 恒等。證明：令， 則在時有意義，

12、且 。 在時，（為常數(shù)）。 又取內(nèi)任一點，如，有， 且，所以端點值也成立， 有推論恒等。 由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點，（不妨設(shè)）有。那么若恒為0，則有，所以，由的任意性可知，在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等。3.利用拉格朗日中值定理求極限例3 求極限 。解：分母是兩式相減的情形，可構(gòu)造， 易知函數(shù)在區(qū)間上是符合定理條件的。所以，其中，當(dāng)時，。 所以。在有些求極限問題當(dāng)中，用常規(guī)方法很難入手，但是運用拉格朗日中值定理卻可以迎刃而解，尤其是一些比較復(fù)雜的分式的極限計算問題。4.利用拉格朗日中值定理判別級數(shù)的斂散性例4證明調(diào)和級數(shù)是否收斂證明：可做輔助函數(shù)為，在區(qū)間上符合拉格朗日中值定理的要求。

13、則存在一點，使。所以有，所以,由于，所以是發(fā)散的。在級數(shù)斂散性的判別問題上，可以構(gòu)造輔助函數(shù)，研究在各個區(qū)間上的特點，最后相加可以進(jìn)行化簡，利用級數(shù)斂散性的判別法則給出判斷。5.利用拉格朗日中值定理估值 對于證明估值問題，尤其是二級或者二級以上的導(dǎo)函數(shù)估值， 一般情況下通常選用泰勒公式證明比較簡便。 但是對于某些積分上的估值，可以采用拉格朗日中值定理中值定理來證明。 例5 設(shè)導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，且有，記M=max設(shè)設(shè)導(dǎo)函數(shù)f(x)在a,c上連續(xù)且f(a) = f(b) = 0, 記M = 。求證：。 證明: 對任意的b a,c, 由拉格朗日中值定理可知: = = =。 令，則有， 所以，原題得證，

14、即。6.利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)性態(tài) 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上（若在與之間），這可視為函數(shù)的一種變形，它建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，我們可以用它來研究有關(guān)函數(shù)性態(tài)，如函數(shù)的一致連續(xù)、單調(diào)性等.（1）一致連續(xù)例6 證明如果在上可導(dǎo)，且，有, 其中為常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明 ：，在以為端點的區(qū)間上， 有 ，且介于之間。 再利用已知條件，有 即 在 上滿足Lipschitz條件， 則在上一致連續(xù)。（2） 單調(diào)性例7 試證：若函數(shù)在 上可導(dǎo)，單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增。證明：對任意的，且 ，則在和上均滿足 拉格朗日中值定理，于是分別存在， 。由于 單調(diào)遞增，且 ，所以 ，即： ，通分移項整

15、理得 ，即函數(shù)在上單調(diào)遞增。（3） 有界性例8設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)且有界，試證在有界證明：任取，有拉格朗日中值定理知： （在之間），可得：+，式中是在內(nèi)的界，有，即在內(nèi)有界。7.利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性 運用拉格朗日中值定理證明根的存在性的關(guān)鍵在于：構(gòu)造輔助函數(shù)，運用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式羅爾中值定理與連續(xù)函數(shù)的介值性等證明根的存在性。例9設(shè)在上可導(dǎo)，且對于內(nèi)的所有點，有證明方程在內(nèi)有唯一實根。證明：存在性：令則在上可導(dǎo)，又 因，且， 故由介值定理得在內(nèi)至少有一個零點，即方程在（0,1）內(nèi)至少有一實根。 唯一性：設(shè)方程在內(nèi)有兩個實根，不妨設(shè) 則有因在 上滿足拉格朗日中值定理，所以至少存在一使。即在內(nèi)是少存在一點，使得這與題設(shè)矛盾。所以 ， 假設(shè)不成立，即方程在內(nèi)有唯一實根。三、結(jié)論