南航信號與系統4章-02_連續(xù)時間系統的頻域分析4.3-4.4理想低通濾波器

1、任課教師：王旭東任課教師：王旭東電話電話12510（辦）（辦）Email: 上講回顧上講回顧一般信號f(t)作用于LTI系統的響應j te()j tH je1()2j tE jd e1()()2j tE jH jd e1()2j tE jed1() ()2j tH jE jed( )e t1( )() ()r tH jE j F()() ()R jH jE j齊次性疊加性則依卷積定理有則依卷積定理有()()()R jE jH j() (j)()R jHE j所所以以頻域分析法步驟頻域分析法步驟設設( )(),e tE j ( )(),r tR j ( )(),h t

2、H j 1( )()r tR j F零狀態(tài)響應為：零狀態(tài)響應為：()0( )cos,: ()()()( )je ttH jH jeR jr t 設若，求0000000012()()( )()() cos()jtjjtjr tH jeeeeH jt ( )cos01 2TnnnaftAnt 若若 0102( )( )()cos() nnnar tHA H jnn tn 則則對周期信號還可用傅里葉級數分析法對周期信號還可用傅里葉級數分析法頻率響應H(j)的求法1. H(j) = -1h(t)2. H(j) = R(j)/E(j)(1)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對微分方

3、程兩邊取傅里葉變換。 )(1tv)(2tvRC)()(d)(d122tvtvttvRC 221RCjVjVjVj(2)由電路直接求出。由電路直接求出。NoImageNoImageNoImageNoImage主要內容主要內容理想低通的頻率特性理想低通的頻率特性 理想低通的沖激響應理想低通的沖激響應 理想低通的階躍響應理想低通的階躍響應 重點重點 理想低通的頻率特性理想低通的頻率特性 難點難點 理想低通的階躍響應理想低通的階躍響應 理想頻率選擇性濾波器理想頻率選擇性濾波器1.1.頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）2.2.頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分

4、量）頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分量）The Ideal Frequency-Selective Filters一一. . 濾波濾波 通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波濾波。濾波器可分為兩大類：濾波器可分為兩大類：理想頻率選擇性濾波器的頻率特性理想頻率選擇性濾波器的頻率特性 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個（或理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個（或幾個）頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內幾個）頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內頻率響應等于零。頻率

5、響應等于零。理想濾波器可分為理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。低通、高通、帶通、帶阻。 濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的通帶（通帶（pass band ），完全不允許信號通過的頻，完全不允許信號通過的頻段稱為段稱為阻帶（阻帶（stop band）。連續(xù)時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性連續(xù)時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通低通cc01高通高通cc01帶阻帶阻011122帶通帶通011122 010j tcceHj 一理想低通的頻率特性一理想低通的頻率特性 0t 即：即：C C O )( HC C O )( 的低頻段內，傳輸信號無失真的低

6、頻段內，傳輸信號無失真(只有時移只有時移t0 )0 在在CC 為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡稱頻帶。稱頻帶。 C 10ccHj dejHthtj)(21)(012CCjtjteed 0()CCSatt 二、理想低通的單位沖激響應二、理想低通的單位沖激響應方法方法1：利用傅氏變換定義來做：利用傅氏變換定義來做：由對稱性：由對稱性： 2()()CCCCttSa 方法方法2：利用傅氏變換性質來做：利用傅氏變換性質來做由變換對：由變換對： ()()CCCCSat 最后考慮時移因子，得最后考慮時移因子，得0( )()CCh tSatt )(tht0t

7、c C 0Sattthcc 波形波形t 1 t FF1 1比較輸入輸出，可見嚴重失真；比較輸入輸出，可見嚴重失真；2 2理想低通濾波器是個物理不可實現的非因果系統理想低通濾波器是個物理不可實現的非因果系統幾點認識幾點認識 當當 經過理想低通時，經過理想低通時， 以上的頻率成分都衰以上的頻率成分都衰 減為減為0,0,所以失真。所以失真。 t c 信號頻帶無限寬信號頻帶無限寬， 1t 而理想低通的通頻帶而理想低通的通頻帶( (系統頻帶系統頻帶) )有限的有限的 c 0 當當 ， ，系統為全通網絡，可以，系統為全通網絡，可以 無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏敗?c )()(tth 原因：從原因：從h(t)看，看

8、，t0時已有值。時已有值。續(xù)續(xù)3. 3. 信號邊沿變緩信號邊沿變緩高頻分量有損失。高頻分量有損失。 系統截止頻率越高，邊沿變化越陡峭。系統截止頻率越高，邊沿變化越陡峭。4. 4. 信號有延時信號有延時系統相頻特性的影響。系統相頻特性的影響。理想低通濾波器的沖激響應與帶寬的關系理想低通濾波器的沖激響應與帶寬的關系cccc10t)(0tt 010( ) jtcceh tH 01jtR jej )(cc 01112( )()( )dCCjtjtu tFR jeej 三理想低通的階躍響應三理想低通的階躍響應 001122ddccccjt tjt teej dsin222100 ctt 0ttx 令令

9、xxxttcdsin12100 激勵激勵 1( )( ) e t =tj 系統系統響應響應 ( )( )( )u tth t 3. .最大值出現在最大值出現在 ， 最小值出現在最小值出現在 。 y y xxsinx1O 2 3 4 ySiyO2 2 1. 下限為下限為0 0； 2. 奇偶性：奇函數。奇偶性：奇函數。 正弦積分正弦積分 ydx0 xsinx=Si(y)tOSi011( )()2cu ttt )(t階躍響應波形階躍響應波形t( )u t0t0t 1 1 最最最最最最大大大大大大值值值值值值位位位位位位置置置置置置：ct 0，最小值位置：，最小值位置：ct 0 12rCtB 2CCB

10、f B是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。幾點認識幾點認識1 trtO210trtC C 2 2上升時間：輸出由最小值到最大值所經歷的時間，上升時間：輸出由最小值到最大值所經歷的時間， ： rt 記記作作3 3階躍響應的上升時間階躍響應的上升時間tr與網絡的截止頻率與網絡的截止頻率B（帶寬）（帶寬） 成反比。成反比。 rt1 rtB例：已知系統圖，試畫出例：已知系統圖，試畫出A,B,C和和D點的頻譜。點的頻譜。H1( )H2( )HKCC10()x t ( )y t ( )tCcostC)cos(1ABCDHKCC20()X ()11A解

11、：解：FA()CC12AFB()CC12AKFC()C1()C114AK由卷積定理由卷積定理FD()142AK3.在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須對對時域特性和頻域特性作出恰當的折中時域特性和頻域特性作出恰當的折中。1.理想濾波器理想濾波器是非因果系統是非因果系統。因而是。因而是物理不可實物理不可實現現的；的；( )h t( )h n2.盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。 或或 都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波

12、都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波器的器的時域特性與頻域特性并不兼容時域特性與頻域特性并不兼容。小結小結NoImage一一.佩利維納準則佩利維納準則 就時域特性而言，一個物理可實現系統的沖激響應就時域特性而言，一個物理可實現系統的沖激響應h(t)在在 t 0時，時，必須為零必須為零。 或者說或者說h(t)波形的出現，必須是有起因的，不能在沖激作波形的出現，必須是有起因的，不能在沖激作 用于系統之前就產生響應。這就是所謂的用于系統之前就產生響應。這就是所謂的“因果條件因果條件”。 上述為線性時不變系統為因果系統的一個時域判據，即上述為線性時不變系統為因果系統的一個時域判據，即 h(t)在在t

13、0時，時，必須為零必須為零。 從頻域上來講，從頻域上來講，Paley 和和 Winner 證明了對于幅頻特性證明了對于幅頻特性|H(j)| 物理可實現的物理可實現的必要必要條件是條件是 2 2Ln H jLn H jd d1+1+而且而且|H(j)|必須平方可積，即必須平方可積，即 2H jdjd這就是佩利這就是佩利 維納準則維納準則續(xù)續(xù) 若系統函數幅頻特性在某一頻段為零，即若系統函數幅頻特性在某一頻段為零，即|H(j)|0， 則有則有|Ln |H(j)|。則不滿足佩利維納準則，是物理。則不滿足佩利維納準則，是物理 不可實現的系統。顯然，理想低通，高通，不可實現的系統。顯然，理想低通，高通，

14、帶通和帶阻都帶通和帶阻都是物理不可實現的系統。是物理不可實現的系統。例如：理想低通濾波器例如：理想低通濾波器 0|,cHj時時，違反了佩利維納準則違反了佩利維納準則 ，則系統不可實現。，則系統不可實現。 21ln Hjd 于于是是不收斂不收斂 ln,Hj 因為因為續(xù)續(xù)討論一高斯函數討論一高斯函數(鐘形鐘形)幅頻特性的物理可實現性，即幅頻特性的物理可實現性，即 2He j j解：解： 鐘形頻譜對應的時間信號也是鐘形信號，即系統的沖激鐘形頻譜對應的時間信號也是鐘形信號，即系統的沖激 響應為高斯函數。則在響應為高斯函數。則在t = 時信號就不為零，是非因果時信號就不為零，是非因果系統。系統。下面討論

15、利用佩利維納準則來判斷系統的因果性。下面討論利用佩利維納準則來判斷系統的因果性。241( )2tf te 續(xù)續(xù) LnLnjddddtgtg2-2222211111111lim2limBBBBeHBB 所以系統非因果。所以系統非因果。說明：說明：若系統的幅頻特性滿足佩利維納準則，但相頻特性是一若系統的幅頻特性滿足佩利維納準則，但相頻特性是一 斜率為正的直線，則也是非因果系統，因為響應提前。斜率為正的直線，則也是非因果系統，因為響應提前。所以，佩利維納準則只是因果系統的必要條件。而希爾伯特所以，佩利維納準則只是因果系統的必要條件。而希爾伯特變換是因果系統的充分且必要條件。變換是因果系統的充分且必要

16、條件。二、非理想濾波器二、非理想濾波器 對理想特性逼近得越精確，實現時付出的代價對理想特性逼近得越精確，實現時付出的代價越大，系統的復雜程度也越高。越大，系統的復雜程度也越高。 由于由于理想濾波器是物理不可實現的理想濾波器是物理不可實現的，工程應用，工程應用中就必須尋找中就必須尋找一個物理可實現的頻率特性去逼近一個物理可實現的頻率特性去逼近理想特性，這種物理可實現的系統就稱為理想特性，這種物理可實現的系統就稱為非理想非理想濾波器。濾波器。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。 通常將偏離單位增益的通常將偏離單位增益的 稱為稱為通帶起伏通帶起伏（或（或波紋），波紋）， 稱為稱為阻帶起伏阻帶起伏（或波紋），（或波紋）， 稱為稱為通通帶邊緣帶邊緣， 為為阻帶邊緣阻帶邊緣， 為為過渡帶過渡帶。12spsp非理想低通濾波器的容限非理想低通濾波器的容限12非理想濾波器特性非理想濾波器特性1.1.通帶絕對平坦，通帶通帶絕對平坦，通帶內衰減為零。內衰減為零。理想濾波器特性理想濾波器特性2.2.阻帶絕對平坦，阻帶阻帶絕對平坦，阻帶內衰減為內衰減為 。通帶內允許有起伏，通帶內允許有起伏，有一定衰減范圍有一定衰減范圍3.3.無過渡帶。無過渡帶。阻帶內允許有起伏，阻帶內允許有起伏，有一定衰減范圍有一定衰減范圍有一定的過渡帶寬度有一定的過渡帶