數(shù)學建模--細菌繁殖問題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上細菌繁殖摘要本文針對酵母菌種群繁殖的基本特點，為達到解決所列出的三個問題的目的，建立了符合實際情況的預測模型。預測模型：根據(jù)題目給出的已知條件，最終建立了符合本題的Logistic模型。綜合考慮了各種因素，利用計算機MATLAB編程分別對問題進行求解，并分別繪制出本題的Logistic數(shù)學模型和問題三中所列的二次多項式的曲線，以供對比。對于問題一得出，本文建立了種群預測的Malthus模型以及符合本題的Logistic模型，模型中參數(shù)K的值為：0.，參數(shù)M的值為：663.97。對于問題二得出，自初始時刻起，20小時時酵母菌的數(shù)量為：663.06。該種群的增長呈現(xiàn)出S型

2、，前期呈指數(shù)型增長，中后期增長緩慢，種群數(shù)量最終達到最大值：663.97。對于問題三得出，根據(jù)計算機MATLAB程序繪制出的本題Logistic數(shù)學模型以及問題三中所列的二次多項式的曲線。對兩條曲線進行對比，易知符合本題的Logistic模型具有更好的預測能力。關鍵詞：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；預測1 問題重述已知酵母菌種群在培養(yǎng)物中的增長情況，見附錄中表a所示?，F(xiàn)根據(jù)已有的數(shù)據(jù)來預測酵母菌的數(shù)量，要求盡量與實際相符。根據(jù)以上題目所給的條件及數(shù)據(jù)，回答以下問題：問題一：建立酵母菌數(shù)量的數(shù)學模型，確定模型中的未知參數(shù)；問題二：利用問題一中的模型，預測20小時時酵母菌

3、的數(shù)量；問題三：若用二次多項式（其中為常數(shù)）作為新模型，試從誤差角度說明新模型與問題一中的模型哪個具有更好的預測能力，并畫出對比曲線。2 問題的基本假設與說明1）假設題目所給的數(shù)據(jù)全部真實可靠，可以作為檢驗所建立的數(shù)學模型的準確性的事實依據(jù)。2）在自然環(huán)境中，細菌繁殖增長會受到各方面復雜因素的影響，為簡化模型，本文以題目中給出的實測數(shù)據(jù)，作為衡量所建立的數(shù)學模型準確度的主要因素。3）本文中該酵母菌種群的繁殖方式不隨時間變化。3 符號說明符號表示意義t時刻（單位為小時）N(t)t時刻時酵母菌的數(shù)量M酵母菌數(shù)量的最大值K、k常系數(shù)N0酵母菌的初始數(shù)量：9.64 問題的分析自然界中某酵母菌種群數(shù)量的

4、變化和隨著時間的發(fā)展過程，是由很多因素決定的，自然環(huán)境、資源制約、種群的繁衍能力、種群的存活能力等，都能嚴重的影響種群的繁衍過程。然而，自然環(huán)境、資源制約卻是決定該種群數(shù)量變化的直接原因。綜合考慮這些因素成為構建符合本題中酵母菌種群繁殖預測模型的關鍵。建立模型對該酵母菌種群發(fā)展過程進行定量預測，就是根據(jù)現(xiàn)有的統(tǒng)計資料和初始數(shù)據(jù)，從當前實際出發(fā)，并對未來的種群發(fā)展過程，提出合理的控制要求和假設說明，應用科學的方法，預測該種群數(shù)量的發(fā)展趨勢。為此，本文建立了具有預測性的Malthus模型，在綜合考慮各影響因素后，建立了符合本題的Logistic模型。Logistic模型相比Malthus模型以及題

5、中所述的二次多項式模型，更符合題目要求，用題中所給的實測數(shù)據(jù)檢驗后發(fā)現(xiàn)在誤差允許范圍內，是十分準確的；從誤差的角度分析，Logistic模型具有更好的預測能力。5 模型的建立與求解5.1 數(shù)據(jù)預處理由于題中所給數(shù)據(jù)的不完備性，并不能由它來預測未來種群的發(fā)展情況，但是基于抽樣調查的等概率性，可以認為它反應的種群增長情況是符合實際情況的，因此認為，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結合所建立的合理的數(shù)學模型，準確地對該酵母菌種群的繁殖增長數(shù)量作出合理預測。題中所給數(shù)據(jù)見附錄中表a。建模初始，本文將題中所給數(shù)據(jù)分為兩部分考慮，其中前八組數(shù)據(jù)為第一部分，其余數(shù)據(jù)為第二部分。5.2 模型一：種群預測的Malthus模型5.

6、2.1 模型的建立在任意時刻t，細菌的繁殖速度顯然可以用表達式來表示，設時刻細菌數(shù)量為。我們將時間間隔0, t分成n 等份。由于細菌的繁殖是連續(xù)變化的，在很短的一段時間內細菌數(shù)量的變化是很小的，繁殖速度可近似看成是不變的。因此，在第一段時間內，細菌數(shù)量滿足關系式 時段內細菌的增量為 故時刻細菌數(shù)量為 同理，第二時段末細菌的數(shù)量為 依次類推，可以得到，最后一時段末細菌的數(shù)量為 （1）由于這是一個近似值。因為我們假設了在每一小段時間()內細菌的繁殖速度是不變的，且等于該時段初始時刻的變化速度。但這種近似程度將隨著小區(qū)間的長度的縮小精度越高。若對時間間隔無限細分，就可以得到精確值。所以，經(jīng)過時間后細

7、菌總數(shù)為 （2）即種群預測的Malthus模型為：。5.2.2 模型的求解本文結合題中所給實測數(shù)據(jù)的第一部分，運用計算機MATLAB程序對（2）式進行求解，程序見附錄中程序一，得到：k=0.4580即：，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)進行比對，見圖一：圖一 酵母菌部分實測數(shù)據(jù)與Malthus數(shù)學模型曲線為驗證（2）式的準確性，結合題中所給的全部實測數(shù)據(jù)，運用計算機MATLAB程序對（2）式進行求解，程序見附錄中程序二，得到：k=0.25781即：，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)進行比對，見圖二：圖二 酵母菌實測數(shù)據(jù)與Malthus數(shù)學模型曲線根據(jù)圖二可以看出，在種群繁殖增長前期，Mal

8、thus數(shù)學模型可以較為準確的表示出其增長規(guī)律；在種群增長中后期卻有很大偏差。本文結合Malthus數(shù)學模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)對比，得各個時刻種群數(shù)量的誤差見表1表1 各個時刻種群數(shù)量的誤差表時間t/小時0123456誤差0-5.8767-12.923-26.395-44.177-84.759-129.51時間t/小時78910111213誤差-198.95-275.19-343.29-386.85-396.06-383.04-355.36時間t/小時1415161718誤差-286.16-192.17-62.002108.96332.79其誤差偏大，不利于中長期預測。算得其誤差平

9、方和為：1.0848，算得第20小時時，酵母菌的數(shù)量為：1665.6，是不符合實際情況的。又由圖二可知，Malthus數(shù)學模型預測該種群呈現(xiàn)出無限增長的趨勢，顯然不符合實際。因此可以說明，Malthus數(shù)學模型不能準確的表示出該種群的發(fā)展趨勢，不具備預測該種群增長數(shù)量的能力。為此，本文對該模型進行了改進與優(yōu)化，充分考慮影響該種群繁殖增長的各種符合實際情況的因素后，建立了能準確表示出該種群的發(fā)展趨勢，具備更好的預測能力的Logistic模型。5.3 模型二：符合本題的Logistic模型5.3.1 模型的建立結合Malthus數(shù)學模型的推導，本文建立了符合本題的Logistic模型，其數(shù)學表達式

10、為 （3）該式中K為常系數(shù)，M為酵母菌數(shù)量的最大值，N(t)為任意時刻t時酵母菌的數(shù)量。整理該式得到N(t)的表達式為 N(t)= （4）當時，N(t)的表達式為N(t)=即符合本題的Logistic模型為：N(t)=5.3.2 模型的求解結合題中所給實測數(shù)據(jù)，運用計算機MATLAB程序對（4）式進行求解，程序見附錄中程序三，得到K=0.，M=663.97即：N(t)=，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)進行比對，見圖三：圖三 酵母菌實測增長數(shù)據(jù)與Logistic數(shù)學模型曲線由圖三可以看出，在種群繁殖增長的整個過程中，Logistic數(shù)學模型可以準確的表示出其增長規(guī)律，題中所給的實測數(shù)據(jù)與Lo

11、gistic數(shù)學模型擬合數(shù)據(jù)，在誤差允許的范圍內，幾乎一致。本文結合Logistic數(shù)學模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)對比，得各個時刻種群數(shù)量的誤差見表2表2 各個時刻種群數(shù)量的誤差表時間t/小時0123456誤差0-1.9864-1.4754-1.30573.9774-0.362416.7726時間t/小時78910111213誤差3.1079-1.7208-5.8102-4.9713.78566.6986-3.3014時間t/小時1415161718誤差0.57621-0.477080.23238-0.21553-0.50652在誤差允許范圍內，預測的數(shù)據(jù)是合理的。算得其誤差平方和為：

12、211.75，算得第20小時時，酵母菌的數(shù)量為：663.06，又由圖像知，Logistic數(shù)學模型預測該種群呈現(xiàn)出前期、中期增長較快，呈現(xiàn)出J型曲線，在后期隨著種群數(shù)量不斷接近其最大值M=663.97種群增長緩慢，種群結構趨于穩(wěn)定，其數(shù)量變化很小，顯然是符合實際的。因此可以說明，Logistic數(shù)學模型能準確的表示出該種群的發(fā)展趨勢，具備預測該種群增長數(shù)量的能力。5.4 二次多項式模型根據(jù)題目所述，結合題中所給的實測數(shù)據(jù)，本文利用計算機MATLAB程序，運行程序見附錄中程序四，計算得出該模型的參數(shù)值為k0=，k1=65.706，k2=則該二次多項式可化為整理得 （5）為達到在誤差角度下，比較L

13、ogistic數(shù)學模型與該模型的預測能力的目的。本文利用計算機MATLAB程序，將題中的實測數(shù)據(jù)、Logistic數(shù)學模型以及二次多項式模型，繪制成如下圖四的曲線：圖四 酵母菌實測數(shù)據(jù)、Logistic模型以及二次多項式的對比曲線由圖四可以看出，題中所給的實測數(shù)據(jù)均勻的分布在Logistic模型的曲線上，相比之下，該二次多項式曲線誤差較大，與實際情況不符。本文結合該二次多項式模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)對比，得各個時刻種群數(shù)量的誤差見表3表3 各個時刻種群數(shù)量的誤差表時間t/小時0123456誤差-103.38-47.5024.133446.02379.96587.06285.411時間

14、t/小時78910111213誤差53.8159.2714-34.418-62.355-66.637-61.867-58.842時間t/小時1415161718誤差-34.864-12.03314.05238.9954.43其誤差偏大，預測的數(shù)據(jù)準確度偏低。算得其誤差平方和為：59212。顯然，Logistic數(shù)學模型的誤差更小，具有更好的預測能力。6 模型的優(yōu)缺點分析Malthus數(shù)學模型在短期預測中具有準確度高，操作簡便，容易實現(xiàn)等優(yōu)勢，但是不能準確的預測出該種群長期的發(fā)展趨勢，不具備預測該種群長期增長數(shù)量的能力。為此，本文對該模型進行了改進與優(yōu)化，充分考慮影響該種群繁殖增長的各種符合實際

15、情況的因素后，建立了能準確表示出該種群的發(fā)展趨勢，具備更好的預測能力的Logistic模型。在種群繁殖增長的整個過程中，Logistic數(shù)學模型可以準確的表示出其增長規(guī)律，題中所給的實測數(shù)據(jù)與Logistic數(shù)學模型擬合數(shù)據(jù)，在誤差允許的范圍內，幾乎一致。相比較二次多項式，Logistic數(shù)學模型誤差小，預測更準確。但Logistic數(shù)學模型操作繁雜，更適用于中長期預測；在短期種群增長預測中通常選用Malthus數(shù)學模型。7 模型的改進及其推廣Logistic數(shù)學模型在中長期種群繁殖增長預測中，具有誤差小、準確度高的優(yōu)勢，可將其用于衛(wèi)生防疫部門監(jiān)測細菌的繁殖狀況，提出預警機制。在疾病防治等公共

16、醫(yī)療衛(wèi)生中，Logistic數(shù)學模型可以很好的觀察流行疾病的發(fā)展態(tài)勢，為更好的預防疾病防治，提供可靠保證和理論事實依據(jù)。8 參考文獻1 陳恩水，王峰，朱道元.數(shù)學建模與實驗.北京：科學出版社，20082 熊啟才，張東升.數(shù)學模型方法及應用.重慶：重慶大學出版社，20053 秦新強，趙鳳群.線性代數(shù)學習指導.北京：機械工業(yè)出版社，20064 劉衛(wèi)國.MATLAB程序設計與應用.北京：高等教育出版社，20065 鄔學軍，周凱.數(shù)學建模競賽鋪導教程.杭州：浙江大學出版社，2009附錄：表a 酵母菌在培養(yǎng)物中的增長時間t（小時）01234數(shù)量N（t）9.618.32947.271.1時間t（小時）56

17、789數(shù)量N（t）119.6174.6257.3350.7441時間t（小時）1011121314數(shù)量N（t）513.3559.7594.8629.4640.8時間t（小時）15161718數(shù)量N（t）651.1655.9659.6661.8程序一：種群預測的Malthus模型（部分數(shù)據(jù)）function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);clct=0 1 2 3 4 5 6 7 8 ;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 ;c0=1;c, options,funval, Jacob =lsqcurvefit

18、('curvefun3',c0,t,n) m= curvefun3(c,t)plot(t,n,'o',t,m,'*')xlabel('時間t/小時');ylabel('數(shù)量n');legend('已知酵母菌的觀測數(shù)據(jù)','Malthus擬合的數(shù)據(jù)')程序二：種群預測的Malthus模型（全部數(shù)據(jù)）function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);k= 0.25781function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);clct=

19、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8;c0=1;x, options,funval, Jacob =lsqcurvefit('curvefun3',c0,t,noptions = 1.0848e+006Jacob = 3clct=0123456789101112131415161718 ;n=9.618.32947

20、.271.1119.6174.6257.3350.7441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8;m=9.6*exp(0.25781.*t);plot(t,n,'o',t,m,'*')xlabel('時間t/小時');ylabel('數(shù)量n');legend('已知酵母菌的觀測數(shù)據(jù)','Malthus擬合的數(shù)據(jù)');程序三：符合本題的Logistic模型function f=curvefun4(c,t)f=-9.6.*c(1)./(-9.6-exp(-c(1).*c(2).*t)*c(1)+exp(-c(1).*c(2).*t).*9.;clct=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8;c0=700 0.001; x, options,funval, Jacob =