數(shù)學(xué)建模--細(xì)菌繁殖問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上細(xì)菌繁殖摘要本文針對(duì)酵母菌種群繁殖的基本特點(diǎn)，為達(dá)到解決所列出的三個(gè)問(wèn)題的目的，建立了符合實(shí)際情況的預(yù)測(cè)模型。預(yù)測(cè)模型：根據(jù)題目給出的已知條件，最終建立了符合本題的Logistic模型。綜合考慮了各種因素，利用計(jì)算機(jī)MATLAB編程分別對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，并分別繪制出本題的Logistic數(shù)學(xué)模型和問(wèn)題三中所列的二次多項(xiàng)式的曲線，以供對(duì)比。對(duì)于問(wèn)題一得出，本文建立了種群預(yù)測(cè)的Malthus模型以及符合本題的Logistic模型，模型中參數(shù)K的值為：0.，參數(shù)M的值為：663.97。對(duì)于問(wèn)題二得出，自初始時(shí)刻起，20小時(shí)時(shí)酵母菌的數(shù)量為：663.06。該種群的增長(zhǎng)呈現(xiàn)出S型

2、，前期呈指數(shù)型增長(zhǎng)，中后期增長(zhǎng)緩慢，種群數(shù)量最終達(dá)到最大值：663.97。對(duì)于問(wèn)題三得出，根據(jù)計(jì)算機(jī)MATLAB程序繪制出的本題Logistic數(shù)學(xué)模型以及問(wèn)題三中所列的二次多項(xiàng)式的曲線。對(duì)兩條曲線進(jìn)行對(duì)比，易知符合本題的Logistic模型具有更好的預(yù)測(cè)能力。關(guān)鍵詞：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；預(yù)測(cè)1 問(wèn)題重述已知酵母菌種群在培養(yǎng)物中的增長(zhǎng)情況，見(jiàn)附錄中表a所示?，F(xiàn)根據(jù)已有的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)酵母菌的數(shù)量，要求盡量與實(shí)際相符。根據(jù)以上題目所給的條件及數(shù)據(jù)，回答以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：建立酵母菌數(shù)量的數(shù)學(xué)模型，確定模型中的未知參數(shù)；問(wèn)題二：利用問(wèn)題一中的模型，預(yù)測(cè)20小時(shí)時(shí)酵母菌

3、的數(shù)量；問(wèn)題三：若用二次多項(xiàng)式（其中為常數(shù)）作為新模型，試從誤差角度說(shuō)明新模型與問(wèn)題一中的模型哪個(gè)具有更好的預(yù)測(cè)能力，并畫出對(duì)比曲線。2 問(wèn)題的基本假設(shè)與說(shuō)明1）假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)全部真實(shí)可靠，可以作為檢驗(yàn)所建立的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性的事實(shí)依據(jù)。2）在自然環(huán)境中，細(xì)菌繁殖增長(zhǎng)會(huì)受到各方面復(fù)雜因素的影響，為簡(jiǎn)化模型，本文以題目中給出的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，作為衡量所建立的數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確度的主要因素。3）本文中該酵母菌種群的繁殖方式不隨時(shí)間變化。3 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)表示意義t時(shí)刻（單位為小時(shí)）N(t)t時(shí)刻時(shí)酵母菌的數(shù)量M酵母菌數(shù)量的最大值K、k常系數(shù)N0酵母菌的初始數(shù)量：9.64 問(wèn)題的分析自然界中某酵母菌種群數(shù)量的

4、變化和隨著時(shí)間的發(fā)展過(guò)程，是由很多因素決定的，自然環(huán)境、資源制約、種群的繁衍能力、種群的存活能力等，都能嚴(yán)重的影響種群的繁衍過(guò)程。然而，自然環(huán)境、資源制約卻是決定該種群數(shù)量變化的直接原因。綜合考慮這些因素成為構(gòu)建符合本題中酵母菌種群繁殖預(yù)測(cè)模型的關(guān)鍵。建立模型對(duì)該酵母菌種群發(fā)展過(guò)程進(jìn)行定量預(yù)測(cè)，就是根據(jù)現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)資料和初始數(shù)據(jù)，從當(dāng)前實(shí)際出發(fā)，并對(duì)未來(lái)的種群發(fā)展過(guò)程，提出合理的控制要求和假設(shè)說(shuō)明，應(yīng)用科學(xué)的方法，預(yù)測(cè)該種群數(shù)量的發(fā)展趨勢(shì)。為此，本文建立了具有預(yù)測(cè)性的Malthus模型，在綜合考慮各影響因素后，建立了符合本題的Logistic模型。Logistic模型相比Malthus模型以及題

5、中所述的二次多項(xiàng)式模型，更符合題目要求，用題中所給的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)在誤差允許范圍內(nèi)，是十分準(zhǔn)確的；從誤差的角度分析，Logistic模型具有更好的預(yù)測(cè)能力。5 模型的建立與求解5.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理由于題中所給數(shù)據(jù)的不完備性，并不能由它來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)種群的發(fā)展情況，但是基于抽樣調(diào)查的等概率性，可以認(rèn)為它反應(yīng)的種群增長(zhǎng)情況是符合實(shí)際情況的，因此認(rèn)為，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合所建立的合理的數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確地對(duì)該酵母菌種群的繁殖增長(zhǎng)數(shù)量作出合理預(yù)測(cè)。題中所給數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄中表a。建模初始，本文將題中所給數(shù)據(jù)分為兩部分考慮，其中前八組數(shù)據(jù)為第一部分，其余數(shù)據(jù)為第二部分。5.2 模型一：種群預(yù)測(cè)的Malthus模型5.

6、2.1 模型的建立在任意時(shí)刻t，細(xì)菌的繁殖速度顯然可以用表達(dá)式來(lái)表示，設(shè)時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量為。我們將時(shí)間間隔0, t分成n 等份。由于細(xì)菌的繁殖是連續(xù)變化的，在很短的一段時(shí)間內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的變化是很小的，繁殖速度可近似看成是不變的。因此，在第一段時(shí)間內(nèi)，細(xì)菌數(shù)量滿足關(guān)系式 時(shí)段內(nèi)細(xì)菌的增量為 故時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量為 同理，第二時(shí)段末細(xì)菌的數(shù)量為 依次類推，可以得到，最后一時(shí)段末細(xì)菌的數(shù)量為 （1）由于這是一個(gè)近似值。因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了在每一小段時(shí)間()內(nèi)細(xì)菌的繁殖速度是不變的，且等于該時(shí)段初始時(shí)刻的變化速度。但這種近似程度將隨著小區(qū)間的長(zhǎng)度的縮小精度越高。若對(duì)時(shí)間間隔無(wú)限細(xì)分，就可以得到精確值。所以，經(jīng)過(guò)時(shí)間后細(xì)

7、菌總數(shù)為 （2）即種群預(yù)測(cè)的Malthus模型為：。5.2.2 模型的求解本文結(jié)合題中所給實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的第一部分，運(yùn)用計(jì)算機(jī)MATLAB程序?qū)Γ?）式進(jìn)行求解，程序見(jiàn)附錄中程序一，得到：k=0.4580即：，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，見(jiàn)圖一：圖一 酵母菌部分實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與Malthus數(shù)學(xué)模型曲線為驗(yàn)證（2）式的準(zhǔn)確性，結(jié)合題中所給的全部實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)MATLAB程序?qū)Γ?）式進(jìn)行求解，程序見(jiàn)附錄中程序二，得到：k=0.25781即：，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，見(jiàn)圖二：圖二 酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與Malthus數(shù)學(xué)模型曲線根據(jù)圖二可以看出，在種群繁殖增長(zhǎng)前期，Mal

8、thus數(shù)學(xué)模型可以較為準(zhǔn)確的表示出其增長(zhǎng)規(guī)律；在種群增長(zhǎng)中后期卻有很大偏差。本文結(jié)合Malthus數(shù)學(xué)模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，得各個(gè)時(shí)刻種群數(shù)量的誤差見(jiàn)表1表1 各個(gè)時(shí)刻種群數(shù)量的誤差表時(shí)間t/小時(shí)0123456誤差0-5.8767-12.923-26.395-44.177-84.759-129.51時(shí)間t/小時(shí)78910111213誤差-198.95-275.19-343.29-386.85-396.06-383.04-355.36時(shí)間t/小時(shí)1415161718誤差-286.16-192.17-62.002108.96332.79其誤差偏大，不利于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。算得其誤差平

9、方和為：1.0848，算得第20小時(shí)時(shí)，酵母菌的數(shù)量為：1665.6，是不符合實(shí)際情況的。又由圖二可知，Malthus數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)該種群呈現(xiàn)出無(wú)限增長(zhǎng)的趨勢(shì)，顯然不符合實(shí)際。因此可以說(shuō)明，Malthus數(shù)學(xué)模型不能準(zhǔn)確的表示出該種群的發(fā)展趨勢(shì)，不具備預(yù)測(cè)該種群增長(zhǎng)數(shù)量的能力。為此，本文對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化，充分考慮影響該種群繁殖增長(zhǎng)的各種符合實(shí)際情況的因素后，建立了能準(zhǔn)確表示出該種群的發(fā)展趨勢(shì)，具備更好的預(yù)測(cè)能力的Logistic模型。5.3 模型二：符合本題的Logistic模型5.3.1 模型的建立結(jié)合Malthus數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)，本文建立了符合本題的Logistic模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式

10、為 （3）該式中K為常系數(shù)，M為酵母菌數(shù)量的最大值，N(t)為任意時(shí)刻t時(shí)酵母菌的數(shù)量。整理該式得到N(t)的表達(dá)式為 N(t)= （4）當(dāng)時(shí)，N(t)的表達(dá)式為N(t)=即符合本題的Logistic模型為：N(t)=5.3.2 模型的求解結(jié)合題中所給實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)MATLAB程序?qū)Γ?）式進(jìn)行求解，程序見(jiàn)附錄中程序三，得到K=0.，M=663.97即：N(t)=，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，見(jiàn)圖三：圖三 酵母菌實(shí)測(cè)增長(zhǎng)數(shù)據(jù)與Logistic數(shù)學(xué)模型曲線由圖三可以看出，在種群繁殖增長(zhǎng)的整個(gè)過(guò)程中，Logistic數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確的表示出其增長(zhǎng)規(guī)律，題中所給的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與Lo

11、gistic數(shù)學(xué)模型擬合數(shù)據(jù)，在誤差允許的范圍內(nèi)，幾乎一致。本文結(jié)合Logistic數(shù)學(xué)模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，得各個(gè)時(shí)刻種群數(shù)量的誤差見(jiàn)表2表2 各個(gè)時(shí)刻種群數(shù)量的誤差表時(shí)間t/小時(shí)0123456誤差0-1.9864-1.4754-1.30573.9774-0.362416.7726時(shí)間t/小時(shí)78910111213誤差3.1079-1.7208-5.8102-4.9713.78566.6986-3.3014時(shí)間t/小時(shí)1415161718誤差0.57621-0.477080.23238-0.21553-0.50652在誤差允許范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)是合理的。算得其誤差平方和為：

12、211.75，算得第20小時(shí)時(shí)，酵母菌的數(shù)量為：663.06，又由圖像知，Logistic數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)該種群呈現(xiàn)出前期、中期增長(zhǎng)較快，呈現(xiàn)出J型曲線，在后期隨著種群數(shù)量不斷接近其最大值M=663.97種群增長(zhǎng)緩慢，種群結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定，其數(shù)量變化很小，顯然是符合實(shí)際的。因此可以說(shuō)明，Logistic數(shù)學(xué)模型能準(zhǔn)確的表示出該種群的發(fā)展趨勢(shì)，具備預(yù)測(cè)該種群增長(zhǎng)數(shù)量的能力。5.4 二次多項(xiàng)式模型根據(jù)題目所述，結(jié)合題中所給的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，本文利用計(jì)算機(jī)MATLAB程序，運(yùn)行程序見(jiàn)附錄中程序四，計(jì)算得出該模型的參數(shù)值為k0=，k1=65.706，k2=則該二次多項(xiàng)式可化為整理得 （5）為達(dá)到在誤差角度下，比較L

13、ogistic數(shù)學(xué)模型與該模型的預(yù)測(cè)能力的目的。本文利用計(jì)算機(jī)MATLAB程序，將題中的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、Logistic數(shù)學(xué)模型以及二次多項(xiàng)式模型，繪制成如下圖四的曲線：圖四 酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、Logistic模型以及二次多項(xiàng)式的對(duì)比曲線由圖四可以看出，題中所給的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均勻的分布在Logistic模型的曲線上，相比之下，該二次多項(xiàng)式曲線誤差較大，與實(shí)際情況不符。本文結(jié)合該二次多項(xiàng)式模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，得各個(gè)時(shí)刻種群數(shù)量的誤差見(jiàn)表3表3 各個(gè)時(shí)刻種群數(shù)量的誤差表時(shí)間t/小時(shí)0123456誤差-103.38-47.5024.133446.02379.96587.06285.411時(shí)間

14、t/小時(shí)78910111213誤差53.8159.2714-34.418-62.355-66.637-61.867-58.842時(shí)間t/小時(shí)1415161718誤差-34.864-12.03314.05238.9954.43其誤差偏大，預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度偏低。算得其誤差平方和為：59212。顯然，Logistic數(shù)學(xué)模型的誤差更小，具有更好的預(yù)測(cè)能力。6 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析Malthus數(shù)學(xué)模型在短期預(yù)測(cè)中具有準(zhǔn)確度高，操作簡(jiǎn)便，容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)，但是不能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)出該種群長(zhǎng)期的發(fā)展趨勢(shì)，不具備預(yù)測(cè)該種群長(zhǎng)期增長(zhǎng)數(shù)量的能力。為此，本文對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化，充分考慮影響該種群繁殖增長(zhǎng)的各種符合實(shí)際

15、情況的因素后，建立了能準(zhǔn)確表示出該種群的發(fā)展趨勢(shì)，具備更好的預(yù)測(cè)能力的Logistic模型。在種群繁殖增長(zhǎng)的整個(gè)過(guò)程中，Logistic數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確的表示出其增長(zhǎng)規(guī)律，題中所給的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與Logistic數(shù)學(xué)模型擬合數(shù)據(jù)，在誤差允許的范圍內(nèi)，幾乎一致。相比較二次多項(xiàng)式，Logistic數(shù)學(xué)模型誤差小，預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確。但Logistic數(shù)學(xué)模型操作繁雜，更適用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；在短期種群增長(zhǎng)預(yù)測(cè)中通常選用Malthus數(shù)學(xué)模型。7 模型的改進(jìn)及其推廣Logistic數(shù)學(xué)模型在中長(zhǎng)期種群繁殖增長(zhǎng)預(yù)測(cè)中，具有誤差小、準(zhǔn)確度高的優(yōu)勢(shì)，可將其用于衛(wèi)生防疫部門監(jiān)測(cè)細(xì)菌的繁殖狀況，提出預(yù)警機(jī)制。在疾病防治等公共

16、醫(yī)療衛(wèi)生中，Logistic數(shù)學(xué)模型可以很好的觀察流行疾病的發(fā)展態(tài)勢(shì)，為更好的預(yù)防疾病防治，提供可靠保證和理論事實(shí)依據(jù)。8 參考文獻(xiàn)1 陳恩水，王峰，朱道元.數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn).北京：科學(xué)出版社，20082 熊啟才，張東升.數(shù)學(xué)模型方法及應(yīng)用.重慶：重慶大學(xué)出版社，20053 秦新強(qiáng)，趙鳳群.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，20064 劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用.北京：高等教育出版社，20065 鄔學(xué)軍，周凱.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽鋪導(dǎo)教程.杭州：浙江大學(xué)出版社，2009附錄：表a 酵母菌在培養(yǎng)物中的增長(zhǎng)時(shí)間t（小時(shí)）01234數(shù)量N（t）9.618.32947.271.1時(shí)間t（小時(shí)）56

17、789數(shù)量N（t）119.6174.6257.3350.7441時(shí)間t（小時(shí)）1011121314數(shù)量N（t）513.3559.7594.8629.4640.8時(shí)間t（小時(shí)）15161718數(shù)量N（t）651.1655.9659.6661.8程序一：種群預(yù)測(cè)的Malthus模型（部分?jǐn)?shù)據(jù)）function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);clct=0 1 2 3 4 5 6 7 8 ;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 ;c0=1;c, options,funval, Jacob =lsqcurvefit

18、('curvefun3',c0,t,n) m= curvefun3(c,t)plot(t,n,'o',t,m,'*')xlabel('時(shí)間t/小時(shí)');ylabel('數(shù)量n');legend('已知酵母菌的觀測(cè)數(shù)據(jù)','Malthus擬合的數(shù)據(jù)')程序二：種群預(yù)測(cè)的Malthus模型（全部數(shù)據(jù)）function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);k= 0.25781function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);clct=

19、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8;c0=1;x, options,funval, Jacob =lsqcurvefit('curvefun3',c0,t,noptions = 1.0848e+006Jacob = 3clct=0123456789101112131415161718 ;n=9.618.32947

20、.271.1119.6174.6257.3350.7441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8;m=9.6*exp(0.25781.*t);plot(t,n,'o',t,m,'*')xlabel('時(shí)間t/小時(shí)');ylabel('數(shù)量n');legend('已知酵母菌的觀測(cè)數(shù)據(jù)','Malthus擬合的數(shù)據(jù)');程序三：符合本題的Logistic模型function f=curvefun4(c,t)f=-9.6.*c(1)./(-9.6-exp(-c(1).*c(2).*t)*c(1)+exp(-c(1).*c(2).*t).*9.;clct=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8;c0=700 0.001; x, options,funval, Jacob =