二階非線性橢圓型微分方程解的振動

1、高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報!輯"#$%"#&"(")*"$#!+,-./01-2-31456768549-:6;-!二階非線性橢圓型微分方程解的振動比較定理莊容坤惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系%廣東惠州$廣東廣州&<=#<$>中山大學(xué)數(shù)學(xué)系%摘$<#"?$要(建立幾個微分不等式%討論了一類二階非線性橢圓型微分方程解的振動性%得到幾個新的振動比較定理關(guān)鍵詞(二階>非線性橢圓型微分方程>微分不等式>振動性>振動比較定理中圖分類號(A<?$B"$文獻標識碼(!文章編號(<#*)&q

2、uot;)&"#$#"*#")*#?D<引考慮如下二階非線性橢圓型方程F言G%HI<L&KOPQ&KR&OI#%EJJKNKMGHGH&<FF其中K設(shè)T包含某F維球體%點K本文總假設(shè)下ST%I&%W%SUVT是U上外區(qū)域VKK<F列條件成立(<PZ為實對稱正定矩陣&橢圓型條件&LI&&%&SY%I<%W%3LGKLKTGH<HFXFGH,&PP且存在函數(shù)使%S&#%<V設(shè)矩陣L的最大特征值為&SY&

3、%FZKU%U/_&a/_&K%&c#-/_bKbI且Q對b不恒為零>&QSY&%S&#%<&bad&c#3TUZKKd"#<&RSY&%&c#且Re&afc#對所有Og#-UUORO3OCZ,"PZ稱一個函數(shù)O為方程&的解%如果對所有K滿足方SY%S&#%<<ST%&TUZOK,&程&關(guān)于方程&解的存在性%參見M僅考慮方程&的非平凡解O即對所有b<V<<NV<ba&am

4、p;%KK均有7的非平凡解O為振動的%如果O的零ad%ib&bjKSTkc#V稱方程&<&&dh+OKKK#F點集i無界V方程&稱為是振動的%如果&的所有非平凡解均振動VSUjO&I#k<<KKF本文所用的術(shù)語和記號主要來自M為F維歐氏空間%其范數(shù)b"%CN%UKbI收稿日期("#)*#"*"C基金項目(國家自然科學(xué)基金&廣東省高教廳自然科學(xué)基金<#<?<<<C>莊容坤H二階非線性橢圓型微分方程解的振動比較定理Mh"為單位外法向

5、量/對常數(shù)0*&-.+(*010+(2&456,&,.0$3,&,"""表示5中球面積$07(8&4560<,&,<:7(8&456,&,?07(A90(:;$390(=>+$3!"#$%#&()*&+$"而B表示5中單體球的表面積/分元(當(dāng)"方程*退化為線性常微分方程$%且C*+$D時(%+D90*&+DE;E=F*&+D$.G考慮與方程*對應(yīng)的二階線性常微分方程為H%+*+9I*&+JE*&+;E=K*

6、&+J*&+$.G*L+就方程*方程*建立了如下恒等式/+(L+9M;恒等式設(shè)D分別為方程*方程*的非平凡解(若D*+(*+(L+*+-.(4NOPQRS&J&&&則成立下面恒等式9(=>+(0.*IJEDTJ0DE+E$0TJE=*IT0+JE=*FTK+J/*M+DD由V恒等式(立即可得如下比較定理WXYZ_aVWXYZ比較定理設(shè)D分別為方程*方程*的非平凡解(且J*+(*+(L+*+bcdefgNOPQRS&J&&是振動的/若;I*&+?0*&+(F*&+?K*&+&49

7、0(=>+(.則方程*的非平凡解D是振動的/+*+&最近(將V恒等式推廣到非線性常微分方程(用于研究非線性常微分方程的9h(i;WXYZ振動性/受V恒等式的啟發(fā)(本文通過構(gòu)造新的微分不等式(將經(jīng)典的WXYZ_比較定理推廣到非線性橢圓型微分方程/獲得了幾個關(guān)于方程*與方程*解的振動比較定理/%+L+j主要結(jié)論令m*&+$o*nD+*&+(C*D+o引理k設(shè)D分別是方程*和方程*的非平凡解/若D*+(*+%+L+*+-.(48(&Jl&&90(=>+*h+其中D表示D的梯度/則下面不等式成立9IJE*l+J*l+TJ*l+m*&+

8、)*&+A;E?qlp*l+m*&+)*&+ATqlpE*l=9證I*l+TE*l+=%T"Jrl;&+ATK*l+J*+/pF*9;lql*i+不失一般性(設(shè)D對m*求導(dǎo)并利用方程*得*+1.(48G+%+(&&&90(=>+Wym*&+$TF*&+TCE*D+*mznT%m+*&+(其中mz表示矩陣m的轉(zhuǎn)置/*+-h"高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報i輯第-e卷第-期直接對!式的左邊求導(dǎo)并利用$"#%&&公式得()*!+#)!+#,)!+#2!4!3#567.3#01()*!

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11、E/+-.!+#2!3#4!3#56,/+.*!+8-(!+#,-*!+#8A,Q)S+13#56,;!+#)!#B.<!01+/+-引理設(shè)>分別是方程!和方程!的非平凡解B!#!#A#!#_!08b#3)+(+aA若>的定義同!#de_f#g#Z則下面不等式成立#Bc332!30a8b#莊容坤二階非線性橢圓型微分方程解的振動比較定理)1$)("!#$%&#%&(#%&,%-.%-/0(#%&%!$!$3""(!"+)&)*2%&,%-.%-/0(+&*-/0(!*>%1+&

12、amp;")%&(=!#$%&=""(5$%&4&)12("?(")%!$!$#"(!"%&)2%"A"定義函數(shù)集B%DFG%HI1D2J#%KAD%F#%FALCE#&CE&#CE引理M設(shè)#是方程%的非平凡解D若N%HB%DD%"%OADHPFGH&CEN-1CDE25的定義同%RSSRELDTU則下面不等式成立-,%-QJC1(#%&,%-.%-/02$3%&,%-.%-/0(+&&)*#%&am

13、p;>%-/0(#$%&U*4&)+&"(5$%&=)%""引理)引理V的證明與引理"類似D故略去不證U由引理"D(引理V立即可得如下結(jié)論U定理W設(shè)#是方程%的振動解D為#的零點集D即#%VGL%FA且5XY時C&C&C555總有C使得XYU若對任意的C3CDZCDA5*G1C5C5="!%&()$%&="(5#4&2*1&)>%-/0(?%&#%&/&ZA+2L%")成立D則方程%是振動的U&quo

14、t;若不然D不失一般性設(shè)方程%存在非平凡解N使N選取C"%ZADHPD-1CD=Y5則C時N式成立U對%式從C積分D得ZCDRSSRC%ZA則由引理"知%-55="5到C5="證*1C5C5="C5C5=")!#$%&#%&(#%&,%-.%-/0/&3+&*2$%&,%-.%-/0(*-/0(?%&#%!%&(#$%&=*/*G11>%2&4&2L&+&C5="C5)"(5+&&=$%&a

15、mp;/)%"V由假設(shè)D式的左邊應(yīng)為%"V*C5C5="%&,%-.%-/0(+&*&=$%&/)*G1C5C5="!%&()$%&="(5#4&2-/0(?%&#%/*>%12&L&ZAD+&但由已知條件知%的右邊為"V*1C5C5=")!#$%&#%&(#%&,%-.%-/0/&F+&*2$!#$%&#%&(#%&,%.%-/0*-12)+&C5="

16、;C5FADGPi高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報j輯第GK卷第G期*產(chǎn)生矛盾!這說明方程"的每一個非平凡解%在至#$"$./012)3443)5&&&()+)-*,#*,#少有一個零點!注意到4從而%的零點集無界+于是方程"是振動的!46)+07+"$#$&*&*推論8設(shè)方程"是振動的!若9$:"$6"&$CD6E"$+;0()+,F$#?*+BA>成立+且在(的任意子區(qū)間上等號不恒成立+則方程"是振動的!+,F$#$)利用引理G引理9定理9的證法與定理#類似+故略

17、去不證H+!下面的定理G+定理I設(shè)J是方程"的振動解+為J的零點集+即J"$9$/5"$"$.K且*LF時););)*G若對任意的)總有)使得LF+"$0M"(+,F$+$H6)+N)+:;)1#K*/()*)*,#:"$?#GO"$,#?*J>-&$CD?:B"(A;#?#E?#G":O:O$OJ"$C;NKH#?:#G成立+則方程"是振動的!#$G推論I設(shè)方程"是振動的+若9$"$0M"(+,F$+$H:;)1#-5"

18、#P$:"$6#?#?#"&$CD6:E,":O:O$O+;0()+,F$#?:#?*+BAG>S)成立+且在(的任意子區(qū)間上等號不恒成立+則方程"是振動的!+,F$#$)定理Q若對任意的R6)存在S使+N)6R及J"$0T"+$;)SK(A;GJ"$B"&$CD?GO"$C;NK#?*J>-"#U$成立+則方程"是振動的!#$推論Q若對任意的R6)存在S使+N)6R及J"$0T"+$;)SKGJ"$B"&$C

19、D6A;GO"$#?*J>成立+且在(的任意子區(qū)間上等號不恒成立+則方程"是振動的!+-#$)S若條件"替換為如下條件W$V9X"0M"+$+"$NK且Y"$Z6>NK對所有%KVY11%Y%9$則類似結(jié)論仍然成立!引理設(shè)%分別是方程"和方程"的非平凡解+若%"$+"$#$9$"$K+0+&J;&&()+,F$令則下面不等式成立:JO"$J"$?J"$&$b"&$CD6"(-

20、GA;O"&$."_%$"&$+%"$"&$b"&$CD?A;(:"$?GJO"$,#?*;-(A;"#a$O",GG>B"&$CD?E"$J"$H-"#h$莊容坤Z二階非線性橢圓型微分方程解的振動比較定理/YX/引理!設(shè)"分別是方程#和方程#的非平凡解+,#%&#%)%*%#%-.#0&23%&$(1)若"的定義同#則有%5#%67&-8&#%):%

21、&4$9$01&23%/,;#(%#(%<#(%9#$%?#$%A<)>(=/<)#(%#,;,;%;)<,)C/B#(%9#$%?#$%A<>(=M#$%A<,=L0>()/#(%<);#(%2)<D;#(2,(/0B<)N<<)/#,;,;%;)<,)#(%5/B#)O%D引理P設(shè)是方程#的非平凡解&若"#%-Q#&%&#%)%#%67&-8ST-4(1R"$01&RB的定義同#UVUUVRW&#%):%+則下面不等式

22、成立1$9$0/<#(%9#$%?#$%A;C>(=B#(%9#$%?#$%A<>(=;#(2/#(%LM#$%A<>(=/;#(%5)<D(#)X%由引理Y<引理:立即可得如下結(jié)論Z定理設(shè)是方程#的振動解&為的零點集&即#%#%#3時1*%TW%S7且D(11DDD總有1使得3+若對任意的1&1&C17D=T01D1D2),#(%</;#(%2)<D(B=0(/LM#$%<N#(%#(%(7>BW#/7%成立&則方程#是振動的+)%推論設(shè)方程#是振動的+若*%,#(%CM#$%AC

23、N#(%&(-01&23%)<D&L>(=成立&且在0的任意子區(qū)間上等號不恒成立&則方程#是振動的+&23%)%1定理!設(shè)是方程#的振動解&為的零點集&即#%*%TW#%#%S7且D3時1(1(1DDD/若對任意的1總有1使得3&#%-.#0&23%&%5C1&1&,(14)7D=T01D1D2),#(%<)/;#(%2)<D(B=0>(<)LM#$%A<,N<)<)/#,;,;%;#(%(7)<,)/成立&則方程#是振動的

24、+)%/推論!設(shè)方程#是振動的&若*%#%-.#0&23%&%5,(14)BW#/)%,#(%C)<D&L(=>(R1<)LM#$%AC,N2)<)#,;,;%;&(-01&23%)<,)/成立&且在0的任意子區(qū)間上等號不恒成立&則方程#是振動的+&23%)%1定理P若對任意的C1存在R使&1C及#%-Q#&%(1R7=0=>(/#(%LM#$%A</;#(%(7)<D(B#/%成立&則方程#是振動的+)%/o%高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報l輯第/%卷第/期推論!

25、若對任意的"#$存在使&($#"及)*,-.*&,+$%/)*+,23*4,56#1+0/<*+,&+-=$&>?,%9:;)+成立&且在=的任意子區(qū)間上等號不恒成立&則方程*是振動的A&9,$參考文獻B=9C&Q=QBDEFGHIJKL5DMHNKOPREEDSTDUVGKTDGEIDWWNKNMTDGERXLGTDYMZYWPNUYM5K5NKONYK_&9bcdQPSDMHNKaNKEGH=/e&&LfgDTDMHeDMHhYMHiGMMGZijSTYTDUUKDTNK

26、DGWYKGZNUYM5YK5NKNEEDSTDU5DWWNKNMTDGENXLGTDYMZ=Q&/%/&9c*m,Bd/dd/bQklMMYWIDWWRXZ技巧與半線性橢圓型微分方程的振動性=數(shù)學(xué)年刊l輯&=d徐志庭QQ/%d&/mBopooqmQnDUUGTDk=mVDUYMNQPLDrGEYKDNUUNsDYMGED5DLMSGKGjNTKY5GULD5DSNM5LMtNXLGsDYMN5DWWNKNMsDGENEDMNGK=Q&9b%b&99B99m9QYK5DMGKDG5NEZNUYM5tYK5DMNklMMPULYEGOYKjPLSVDZG=ok&=QGKYZkuLZGMYJ&YZgD5GOQvYKUN5ZLSEDMNGKYZUDEEGTDYMrDGVDUYMNtZD5NMTDTiklUTGGTg&/%&pbB9%q99dQwMDrxYjNMDGM=pk&=QGKYZkuLZGMYJQlVDUYMNTiSND5NMTDTiWYKZNUYM5YK5NKgGEWEDMNGK5DWWNKNMTDGENXLGTDYMZk&9bbb&pcB9dq9o9QlUTGGT