121正弦、余弦定理應用

1、解斜三角形教學目的：1 .會在各種應用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法;2,搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3+理解各種應用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力+教學重點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法.教學難點：實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定 + 授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學方法：啟發(fā)式在教學中引導學生分析題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，并啟發(fā)學生在解 三角形時正確選用正、余弦定理 .教學過程：

2、、復習引入:1.正弦定理：abc2R sin Asin Bsin C2 余弦定理：,2 2 2222b c aa b c -2bccosA, u cos A2bc2.2 2,222小c a bb -c a -2cacosB, = cosB =2ca2 ,2 2222a b cc a b 2abcosC，二 cosC =-2ab3 解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應用，如果我們抽 去每個應用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)， 這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學問題的能力.下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應

3、用二、講解范例：應用一：測量距離例1 如圖設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離測量者在A的同 側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C ,測出AC/的 B離是55m,vBAC=51°,vACB=75°.求 A、B 兩點間的距離.（精確到 0.1m）/ r*解：根據(jù)正弦定理，得00/ 5175tAB _ ACsin EACB sin /ABCACsin ACB 55sin ACBABsinZABCsinZABC_55si n 750-sin(18(J -510 -750)55sin 750065.7(m)sin 54答：A、B兩點間的距離為657米例2如圖1.2-2設(shè)A、B兩點都

4、在河的對岸(不可到達)，設(shè)計一種測量A、B兩 點間距離的方法。asin( ' )sin (二 亠右)BCa sin ?sin180° -(：亠亠亠)a sinsin分析：用例1的方法，可以計算出河的這一岸的一點 C到對岸兩點的距離，再 測出VBCA的大小，借助于余弦定理可以計算出 A、B兩點間距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點 C、D,測得CD=a,并且在C、D兩點分別測 得 <BCA= a ,<ACD= B ,<CDB= 丫 ,<BDA= S .在 ADC 和厶 BDC 中，應用正弦定 理得：asi n(G +6)sin1800 -('亠心

5、)油泵 與車 角為 數(shù)字）長BC計算出AC和BC后，再在 ABC中，應用余弦定理計算出AB 兩點間的距離 AB= AC2 BC2 -2AC BCcos.例3自動卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計時需要計算頂桿BC的長度.已知車箱的最大仰角為 60°，油泵頂點B 箱支點A之間的距離為1. 95m，AB與水平線之間的夾 6° 20'，AC長為1. 40m，計算BC的長（保留三個有效分析：求油泵頂桿BC的長度也就是在厶ABQ內(nèi),求邊的問題，而根據(jù)已知條件，AC= 1.40m, AB= 1. 95 m, / BAG 60°+ 6° 20'= 66&

6、#176; 20'+相當于已知 ABC勺兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦定理,解：由余弦定理，得bC= aB+ aC 2AB* ACCosA22=1. 95 + 1 . 40 - 2 X 1 . 95 X 1 . 40X cos66 ° 20'= 3. 571 BO 1. 89(m)答：油泵頂桿 BC約長1 . 89 m.評述：此題雖為解三角形問題的簡單應用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從 題目準確地提煉出來+例4某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在 A處獲悉

7、后，立即測出該漁船在方位角為45。、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105。的方向，以9海里/h的速度向某小島 B靠攏，我海軍艦艇立即以 21海里/h的速度前去營救，試問艦 艇應按照怎樣的航向前進 ？ 并求出靠近漁船所用的時間.分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為 x h,則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的/ 1，/ 2可以求出，而 AC已知，BC AB均可用x表示，故可看成是一個已知 兩邊夾角求第三邊問題解：設(shè)艦艇從 A處靠近漁船所用的時間為xh,貝U AB= 21 x 海里,BC= 9x 海里，AC= 10海里，/ ACB=Z 1 + Z 2= 45°

8、 + ( 180°- 105 根據(jù)余弦定理，可得aB = AC+ bC 2AC- BC- cos120。得2 2 2(21 x ) = 10 +( 9 x ) 2 X 10X 9 x cos120 ° ,22即 36 x 9x X 10= 05解得x 1= , x 2=- 一 (舍去)312)=120°, AB= 21 x = 14, BC= 9x = 6再由余弦定理可得cos / BAC=AB2 AC2 - BC22 AB AC142102 -622 14 10= 0.9286,/ BAC= 21 ° 47', 45°+ 21

9、6; 47'= 66° 47'.2所以艦艇方位角為 66° 47', 2小時即40分鐘+3答：艦艇應以66 ° 47'的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘.評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標 方向線的水平角，其范圍是（0°, 360°）.在利用余弦定理建立方程求出x后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理-例5用同樣高度的兩個測角儀 AB和CD同時望見氣球 E在它們的正西方向的上空， 分別測得 氣球的仰角是a和B,已知B D間的距離為a,測角

10、儀的高度是 b,求氣球的高度+分析：在 Rt EGA中求解EG只有角a 個條件，需要再有一邊長被確定，而EAC中有較多已知條件，故可在 EAC中考慮EA邊長的求解，而在 EAC中有角3 , / EAC= 180° a兩角與BD= a 一邊，故可以利用正弦定理求解EA解：在 ACE中, AC= BD= a,Z ACE= 3，/ AEC= a - 3 ,根據(jù)正弦定理，得AE=sin(o - P)在 Rt AEG中 EG= AEsin a EF= E® b =asin： sin + bsi n(： I)答：氣球的高度是asi sin - + b sin(a - P)評述：此題也可

11、以通過解兩個直角三角形來解決，思路如下：設(shè)EG=x，在 Rt EGA中，利用cot a表示AG在Rt EGC中，利用cot B表示CG而CG- AG= CA= BD= a,故可 以求出EG又GF= CD= b,故EF高度可求*例6如圖所示，已知半圓的直徑 AB= 2,點C在AB的延長線上，BC= 1,點P為半圓上的一 個動點，以DC為邊作等邊 PCD且點D與圓心0分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPD(面積的 最大值.分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要 一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P圓上運動與/ POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入/ =0作為自變量建立函數(shù)關(guān)系.四邊形

12、OPDC可以分成1OPC 與等邊 PDC , S OPC 可用一 OP OC sin 0 表2等邊 PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在 POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決解：設(shè)/ PO= 0，四邊形面積為y，則在 POC中，由余弦定理得:2 2 2PC= OP+ OC- 2OP- OCos 0 = 5 4cos 0-y S opc I S pcd1 . 31 2sin v +(5 4cos 0 )2 42sin(5.345 二當 0 即 0 時,326y max- 2+ 出4評述：本題中余弦定理為表示厶 PCD勺面積，從而為表示四邊形 OPD(面積

13、提供了可能,可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin ( a + 3 ) sin a cos 3 + cosa sin 3的構(gòu)造及逆用，應要求學生予以重視（.、3 1）海里的B處有一艘走私船"在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10.3海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄+問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.解：設(shè)輯私船應沿 CD方向行駛t小時，才能

14、最快截獲（在D點）走私船，則 CD= 10,3 t 海里，BD= 10 t 海里.T bC= aB+ aC 2AB AC，cos A=（3 1） 2+ 22 2（、. 3 1） - 2COS120 ° = 6, BC=6BC AC sin A sin ABCsin ABC =AC sin A""BC2si n120 二26 =TABC= 45 ° , B點在C點的正東方向上，/ CB= 90 °+ 30°= 120°BD _ CD sin BCD sinCBDsin BCDBD sinCBDCD10t sin12010、3tcos Acos Bcos C2,2 2 b +c -a2bc2 2 2 c +a -b2ca2 2 2 a +b -c2ab / BCD= 30° ,/ DC= 90° 30°= 60°由/ CBD= 120 °，/ BCD= 30 °得/ D= 30 BD= BC 即 10 t = J6 t =6（小