高考全國卷文科數學第一輪復習講義一數列

1、2016-4-30(2017高考文科數學)講義一 數列一、高考趨勢1、考綱要求(1) . 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).(2) . 了解數列是自變量為正整數的一類函數.(3) .理解等差數列的概念.(4) .掌握等差數列的通項公式與前 n項和公式.(5) . 了解等差數列與一次函數的關系.(6) .理解等比數列的概念.(7) .掌握等比數列的通項公式與前 n項和公式.(8) .能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.(9) . 了解等比數列與指數函數的關系.2、命題規(guī)律數列一般在全國文科卷中平均考查分值為12分?？疾煨问揭话阌袃煞N，第

2、一種是選擇題+填空題的形式，第二種是解答題的形式。并且全國文科卷解答題第一題是數列和三角函數二選一。因此數列題在高考中屬于“要盡量全部做對且拿到滿分”的“高期待值”題。21二、基礎知識+典型例題1、等差數列的概念與運算(1) .等差數列的定義如果一個數列從第二項開始每一項與前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示.(2) .等差數列的通項公式如果等差數列%的首項.為ai,公差為d,則它的通項公式是an =a1+(n1)d.(nw N*)(3) .等差中項a b如果A =，那么a叫做a與b的等差中項.2(4) .等差數列的前n項和等差數

3、列an的前n項和公式：Sn =nai +nd =2101101 (ne n*)22(5) .等差數列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，anan-i=d(常數)(n>2) 第二種是利用等差中項，即2an= an+1 + an-1 (n>2.) ,*"背誦知識點一：(1)等差數列的通項公式：an = a1 +(n -1)d (ne N *)(2)等差中項：a,b,c構成等差數列，則 a+c = 2b(3)等差數列的前 n項和：Sn =na1 +n(n-1)d = n(a1 +an) (nN*)22（6）.對于等差數列問題一般要給出兩個條件，可以通過列方程求出ai, d

4、.如果再給出第三個條件就可以完成 為，a1，d, n, &的知三求二”問題.這體現了用方程的思想解決問題.考點一：等差數列通項公式及前 n項和公式例1、（15全國卷一）已知an是公差為1的等差數列，&為a。的前n項和，若S8=4S4,則 a。=()A、172B、192C、10D、12例2、 （15安徽卷）已知數列an中,1a1 =1 , a。=a。+( n 之2 ),則數列a。的2前9項和等于2、等差數列的性質(1)通項推廣：an= am+(nm)d, ( nw N *) (d 為數列an的公差).(2)若 m+n=p+q(m, n, p, qC N*),則 am+an= ap

5、+aq.特別地：ai + an= a?+an-1= a3+an-2=.(3)項數成等差數列，則相應的項也成等差數列，即若m+n = 2p,則am+an=2a>cai + anaz+an-1a3 + an-2(4) Sn=2 n =2 n =2 n= .(5)等差數列的單調性 等差數列公差為d,若d>0,則數列遞增.若d<0,則數列遞減. 若d=0,則數列為常數列.背誦知識點二：(1)等差中項的性質：若 m+n = p+q(m, n, p, qCN*),則 am+an=ap+aq.(2)等差中項的性質：若m+n = 2p,則am+an=2ap.(3)等差數列的性質：an -am

6、 =(n-m)d考點二：等差數列中項的性質例3、（15全國卷二）設&是等差數列4的前n項和，若a1+as+a5 =3，則& =（）A. 5B. 7C. 9D. 11例4、（15陜西卷）中位數為 1010的一組數構成等差數列，其末項為2015,則該數列的首項為.3、等比數列的概念與運算(1) .等比數列的定義如果一個數列從第二項開始每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示.(2) .等比數列的通項公式設等比數列an的首項為ai,公比為q,則它的通項an = aqn，.(nw N * )(3) .等比中項若G2

7、= ab =0 ,那么G叫做a與b的等比中項.(4) .等比數列的前n項和公式等比數列an的公比為q(qwQ)其前n項和為Sn,當 q=i 時，$=nai； (n= N *)當qwi時，Sn =ai(1 -qn)i -qi -q(5) .在涉及等比數列前 n項和公式時要注意對公式 q是否等于i的判斷和討論.(6) .等比數列的判定方法:定義法：若aT =q(q為非零常數)或優(yōu)=q(q為非零常數且n>2)則an是等比數歹L 中項公式法：若數列an中anWO且a2+i = an an+2(nC N ),則數列an是等比數列.背誦知識點三:(1)等比數列的通項公式：an =a1qn(nw N琳

8、)(2)等比中項：a,b,c構成等比數列，則a c = b2(3)等比數列的前 n項和： 當q=1時，Sn=na1；(nN*)當q.時，釬蟲區(qū)二亙3 (nwN*)1 -q 1-q考點三：等比數列定義與前n項和公式 例5、(15全國卷一) 數列 匕/中a1 =2自4=2an,Sn為an的前n項和，若Sn =126,貝 U n =.例6、(12全國卷) 等比數列an的前n項和為Sn,若S3+3S2 =0,則公比q=例7、（13全國卷一）設首項為1,公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列an的前n項和為Sn,則 （）A. Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an例

9、8、（12全國卷） 數列a#滿足an+（1）nan=2n1,則aj的前60項和為（）A.3690B.3660C.1845D.18304、等比數列的性質(1)通項公式的推廣：an=amqm", (n, mCN*).*(2)右an為等比數列，且 k+i=m+n, (k, l, m, nCN )，則 ak ai = am &(3)若an, bn(項數相同)是等比數列：則入n( 0) " a2, an bn,端仍是等比數列.(4)等比數列的單調性.ai>0ai<0 1 或1 q>10Vq<1u an為遞增數列;ai>0ai<0或0<

10、q<1q>1u an為遞減數列;q=1U an為非零常數列; q<0。an為擺動數列. an-= qn m(m, nC N ) am背誦知識點四:(1)等比中項的性質：若 m + n= p+ q(m, n, p, q N ),則 ak -al = am -an2(2)等比中項的性質：右m+n= 2p,則am an = ap(3)等比數列的性質：an-= qn m(m, nC N ) am考點四：等比數列中項的性質例9、(14全國卷二) 等差數列小的公差是2,若a2,0 ,a成等比數列，則4的前n項和 Sn =()n(n 1)n(n -1)A. n(n -1)B. n(n -1

11、)C.D.221例10、(15全國卷一)已知等比數列an滿足& =一，a3a5 =4(a4-1),則a2 =()411A.2B.1C1D.-28例11、（15浙江卷） 已知an是等差數列，公差 d不為零.若a2, a3, a7成等比數列，且2ai + a2=1,貝U a =, d =.例12、（15廣東卷） 若三個正數a, b, c成等比數列，其中 a= 5+276, c=5 2/6, 貝 U b =.5、數列的通項(1) .數列的通項公式：若數列an的第n項an與項數n之間的關系可以用一個式子表示出來，記作an = f (n),稱作該數列的通項公式.(2) .等差數列的通項公式：an

12、 =a1 +(n-1)d =am + (n-m)d .(3) .等比數列的通項公式：an =a1qn=amqnjm(4) .等差數列性質： an =am +(n-m)d ；* 右 m, n, p, q = N 且m +n = p +q ,貝U am +an = ap + aq;(5) .等比數列性質：n -m an =amq ; *右 m,n,p,qu N 且 m+n = p+ q,則 aman = apaq(6) .等差數列的判定：定義法；等差中項法(7) .等比數列的判定：定義法；等比中項法(8) .數列通項公式求法 累加法：對于可轉化為 an+ =an+f(n)形式數列的通項公式問題 累

13、乘法：對于可轉化為 an書=an f (n)形式數列的通項公式問題 構造法：對于化為 an/ = pan + f(n)(其中p是常數)型的通項公式問題§ (n = 1),Sn (n父2) 利用前n項和Sn與第n項an關系求通項公式問題對遞推公式為 &與an的關系式(或Sn = f(an),利用an = 進行求解.注意an = Sn - Sn成立的條件是n >2,求an時不要漏掉n =1即an =&的情況,當ai = Si適合an = & -&二時，an = Sn&；當ai=Si不適合an = &&二時，用分段 函數表示背誦

14、知識點五：(1) 數列通項公式求法： 累加法：對于可車?；癁閍n+=an + f (n)形式數列的通項公式問題累乘法：對于可車?；癁閍n+=an f(n)形式數列的通項公式問題 構造法：對于化為an+ = pan +f(n)(其中p是常數)型的通項公式問題 利用前n項和Sn與第n項an關系求通項公式問題考點五：求數列的通項公式、累加法例13、已知數列an滿足2口書=an+2n+1, a1 =1,求數列an的通項公式。、累乘法例14、已知數列an滿足，an+=2%口，a1 =1 ,求數列an的通項公式。、構造法例15、已知數列an中,ai =1,an書=2an +3,求數列Qn的通項公式、利用前

15、n項和Sn與第n項an關系求通項公式問題例16、已知數列an的前n項和sn = n2 -1 ,求an的通項公式。6、數列的求和(1) .數列an的前 n項和為 Sn =a +a2 +| + an.(2) .等差數列為的前 n 和公式：Sn=nai+n(nd = n(ai+an). 22na1,q=1na1,q=1(3) .等比差數列an的前 n 和公式：Sn = "a1 (1 -qn)=<a1-anq-,q=1,1 -q1 -q(4) .倒序相加法：適用于求首項與尾項有關系的前n項和(5) .分組轉化法：適用于求等差數列+ (一)等比數列數列的前n項和(6) .錯位相減法：適用

16、于求等差數列x ( + )等比數列數列的前n項和(7) 裂項相消法：適用于求通項為的數列的前n項和,anan+1常見的拆項公式:11111 11=-=:(二一7);n(n 1) n n 1 n(n k) k n n+ kf= dn +1 -7n = F_1 i = (x/nTk- Vn).Tn + Jn+1Vn+Vn + kk1(2n-1) (2n 1)12n 1背誦知識點六：(1) 數列前n項和求法：倒序相加法：適用于求首項與尾項有關系的前n項和 分組轉化法：適用于求等差數列+ (-)等比數列數列的前n項和 錯位相減法：適用于求等差數列x ( 一 )等比數列數列的前n項和一，一， 、一.，、

17、一 一， 1 一一 裂項相消法：適用于求通項為的數列的前n項和，anan+1考點六：求數列的前n項和、倒序相加法例17、已知等差數列的通項公式為an =ai +(n1)d (nw N*),求數列的前n項和、分組轉化法111例18、求數列的刖n項和：1十1, 一十4,2十7,一n；j +3n 2 , a aan、錯位相減法 例19、(14全國卷一)已知an是遞增的等差數列， a2, a4是方程x2-5x + 6 = 0的根。求GJ的通項公式；(II)求數列|卻的前n項和.、裂項相消法例20、（15江蘇卷）設數列an滿足ai=1,且 +1一 an= n+1（nC N *）,則數列j前10an項的和為.1 一 例21、（14全國卷一） 數列an滿足為書=,a8=2,則a1 =1 - an例22、( 13全國卷一)已知等差數列