高考全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義一數(shù)列

1、2016-4-30(2017高考文科數(shù)學(xué))講義一 數(shù)列一、高考趨勢(shì)1、考綱要求(1) . 了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).(2) . 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù).(3) .理解等差數(shù)列的概念.(4) .掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式.(5) . 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.(6) .理解等比數(shù)列的概念.(7) .掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式.(8) .能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.(9) . 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.2、命題規(guī)律數(shù)列一般在全國(guó)文科卷中平均考查分值為12分?？疾煨问揭话阌袃煞N，第

2、一種是選擇題+填空題的形式，第二種是解答題的形式。并且全國(guó)文科卷解答題第一題是數(shù)列和三角函數(shù)二選一。因此數(shù)列題在高考中屬于“要盡量全部做對(duì)且拿到滿分”的“高期待值”題。21二、基礎(chǔ)知識(shí)+典型例題1、等差數(shù)列的概念與運(yùn)算(1) .等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.(2) .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列%的首項(xiàng).為ai,公差為d,則它的通項(xiàng)公式是an =a1+(n1)d.(nw N*)(3) .等差中項(xiàng)a b如果A =，那么a叫做a與b的等差中項(xiàng).2(4) .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)

3、列an的前n項(xiàng)和公式：Sn =nai +nd =2101101 (ne n*)22(5) .等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，anan-i=d(常數(shù))(n>2) 第二種是利用等差中項(xiàng)，即2an= an+1 + an-1 (n>2.) ,*"背誦知識(shí)點(diǎn)一：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an = a1 +(n -1)d (ne N *)(2)等差中項(xiàng)：a,b,c構(gòu)成等差數(shù)列，則 a+c = 2b(3)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和：Sn =na1 +n(n-1)d = n(a1 +an) (nN*)22（6）.對(duì)于等差數(shù)列問(wèn)題一般要給出兩個(gè)條件，可以通過(guò)列方程求出ai, d

4、.如果再給出第三個(gè)條件就可以完成 為，a1，d, n, &的知三求二”問(wèn)題.這體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.考點(diǎn)一：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式例1、（15全國(guó)卷一）已知an是公差為1的等差數(shù)列，&為a。的前n項(xiàng)和，若S8=4S4,則 a。=()A、172B、192C、10D、12例2、 （15安徽卷）已知數(shù)列an中,1a1 =1 , a。=a。+( n 之2 ),則數(shù)列a。的2前9項(xiàng)和等于2、等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)推廣：an= am+(nm)d, ( nw N *) (d 為數(shù)列an的公差).(2)若 m+n=p+q(m, n, p, qC N*),則 am+an= ap

5、+aq.特別地：ai + an= a?+an-1= a3+an-2=.(3)項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即若m+n = 2p,則am+an=2a>cai + anaz+an-1a3 + an-2(4) Sn=2 n =2 n =2 n= .(5)等差數(shù)列的單調(diào)性 等差數(shù)列公差為d,若d>0,則數(shù)列遞增.若d<0,則數(shù)列遞減. 若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列.背誦知識(shí)點(diǎn)二：(1)等差中項(xiàng)的性質(zhì)：若 m+n = p+q(m, n, p, qCN*),則 am+an=ap+aq.(2)等差中項(xiàng)的性質(zhì)：若m+n = 2p,則am+an=2ap.(3)等差數(shù)列的性質(zhì)：an -am

6、 =(n-m)d考點(diǎn)二：等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)例3、（15全國(guó)卷二）設(shè)&是等差數(shù)列4的前n項(xiàng)和，若a1+as+a5 =3，則& =（）A. 5B. 7C. 9D. 11例4、（15陜西卷）中位數(shù)為 1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為.3、等比數(shù)列的概念與運(yùn)算(1) .等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示.(2) .等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公比為q,則它的通項(xiàng)an = aqn，.(nw N * )(3) .等比中項(xiàng)若G2

7、= ab =0 ,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).(4) .等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(qwQ)其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng) q=i 時(shí)，$=nai； (n= N *)當(dāng)qwi時(shí)，Sn =ai(1 -qn)i -qi -q(5) .在涉及等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式時(shí)要注意對(duì)公式 q是否等于i的判斷和討論.(6) .等比數(shù)列的判定方法:定義法：若aT =q(q為非零常數(shù))或優(yōu)=q(q為非零常數(shù)且n>2)則an是等比數(shù)歹L 中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中anWO且a2+i = an an+2(nC N ),則數(shù)列an是等比數(shù)列.背誦知識(shí)點(diǎn)三:(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an =a1qn(nw N琳

8、)(2)等比中項(xiàng)：a,b,c構(gòu)成等比數(shù)列，則a c = b2(3)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和： 當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；(nN*)當(dāng)q.時(shí)，釬蟲(chóng)區(qū)二亙3 (nwN*)1 -q 1-q考點(diǎn)三：等比數(shù)列定義與前n項(xiàng)和公式 例5、(15全國(guó)卷一) 數(shù)列 匕/中a1 =2自4=2an,Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sn =126,貝 U n =.例6、(12全國(guó)卷) 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+3S2 =0,則公比q=例7、（13全國(guó)卷一）設(shè)首項(xiàng)為1,公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則 （）A. Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an例

9、8、（12全國(guó)卷） 數(shù)列a#滿足an+（1）nan=2n1,則aj的前60項(xiàng)和為（）A.3690B.3660C.1845D.18304、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=amqm", (n, mCN*).*(2)右an為等比數(shù)列，且 k+i=m+n, (k, l, m, nCN )，則 ak ai = am &(3)若an, bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列：則入n( 0) " a2, an bn,端仍是等比數(shù)列.(4)等比數(shù)列的單調(diào)性.ai>0ai<0 1 或1 q>10Vq<1u an為遞增數(shù)列;ai>0ai<0或0<

10、q<1q>1u an為遞減數(shù)列;q=1U an為非零常數(shù)列; q<0。an為擺動(dòng)數(shù)列. an-= qn m(m, nC N ) am背誦知識(shí)點(diǎn)四:(1)等比中項(xiàng)的性質(zhì)：若 m + n= p+ q(m, n, p, q N ),則 ak -al = am -an2(2)等比中項(xiàng)的性質(zhì)：右m+n= 2p,則am an = ap(3)等比數(shù)列的性質(zhì)：an-= qn m(m, nC N ) am考點(diǎn)四：等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)例9、(14全國(guó)卷二) 等差數(shù)列小的公差是2,若a2,0 ,a成等比數(shù)列，則4的前n項(xiàng)和 Sn =()n(n 1)n(n -1)A. n(n -1)B. n(n -1

11、)C.D.221例10、(15全國(guó)卷一)已知等比數(shù)列an滿足& =一，a3a5 =4(a4-1),則a2 =()411A.2B.1C1D.-28例11、（15浙江卷） 已知an是等差數(shù)列，公差 d不為零.若a2, a3, a7成等比數(shù)列，且2ai + a2=1,貝U a =, d =.例12、（15廣東卷） 若三個(gè)正數(shù)a, b, c成等比數(shù)列，其中 a= 5+276, c=5 2/6, 貝 U b =.5、數(shù)列的通項(xiàng)(1) .數(shù)列的通項(xiàng)公式：若數(shù)列an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示出來(lái)，記作an = f (n),稱作該數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2) .等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an

12、 =a1 +(n-1)d =am + (n-m)d .(3) .等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an =a1qn=amqnjm(4) .等差數(shù)列性質(zhì)： an =am +(n-m)d ；* 右 m, n, p, q = N 且m +n = p +q ,貝U am +an = ap + aq;(5) .等比數(shù)列性質(zhì)：n -m an =amq ; *右 m,n,p,qu N 且 m+n = p+ q,則 aman = apaq(6) .等差數(shù)列的判定：定義法；等差中項(xiàng)法(7) .等比數(shù)列的判定：定義法；等比中項(xiàng)法(8) .數(shù)列通項(xiàng)公式求法 累加法：對(duì)于可轉(zhuǎn)化為 an+ =an+f(n)形式數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題 累

13、乘法：對(duì)于可轉(zhuǎn)化為 an書(shū)=an f (n)形式數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題 構(gòu)造法：對(duì)于化為 an/ = pan + f(n)(其中p是常數(shù))型的通項(xiàng)公式問(wèn)題§ (n = 1),Sn (n父2) 利用前n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an關(guān)系求通項(xiàng)公式問(wèn)題對(duì)遞推公式為 &與an的關(guān)系式(或Sn = f(an),利用an = 進(jìn)行求解.注意an = Sn - Sn成立的條件是n >2,求an時(shí)不要漏掉n =1即an =&的情況,當(dāng)ai = Si適合an = & -&二時(shí)，an = Sn&；當(dāng)ai=Si不適合an = &&二時(shí)，用分段 函數(shù)表示背誦

14、知識(shí)點(diǎn)五：(1) 數(shù)列通項(xiàng)公式求法： 累加法：對(duì)于可車(chē)?；癁閍n+=an + f (n)形式數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題累乘法：對(duì)于可車(chē)?；癁閍n+=an f(n)形式數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題 構(gòu)造法：對(duì)于化為an+ = pan +f(n)(其中p是常數(shù))型的通項(xiàng)公式問(wèn)題 利用前n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an關(guān)系求通項(xiàng)公式問(wèn)題考點(diǎn)五：求數(shù)列的通項(xiàng)公式、累加法例13、已知數(shù)列an滿足2口書(shū)=an+2n+1, a1 =1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。、累乘法例14、已知數(shù)列an滿足，an+=2%口，a1 =1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。、構(gòu)造法例15、已知數(shù)列an中,ai =1,an書(shū)=2an +3,求數(shù)列Qn的通項(xiàng)公式、利用前

15、n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an關(guān)系求通項(xiàng)公式問(wèn)題例16、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn = n2 -1 ,求an的通項(xiàng)公式。6、數(shù)列的求和(1) .數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn =a +a2 +| + an.(2) .等差數(shù)列為的前 n 和公式：Sn=nai+n(nd = n(ai+an). 22na1,q=1na1,q=1(3) .等比差數(shù)列an的前 n 和公式：Sn = "a1 (1 -qn)=<a1-anq-,q=1,1 -q1 -q(4) .倒序相加法：適用于求首項(xiàng)與尾項(xiàng)有關(guān)系的前n項(xiàng)和(5) .分組轉(zhuǎn)化法：適用于求等差數(shù)列+ (一)等比數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和(6) .錯(cuò)位相減法：適用

16、于求等差數(shù)列x ( + )等比數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和(7) 裂項(xiàng)相消法：適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和,anan+1常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式:11111 11=-=:(二一7);n(n 1) n n 1 n(n k) k n n+ kf= dn +1 -7n = F_1 i = (x/nTk- Vn).Tn + Jn+1Vn+Vn + kk1(2n-1) (2n 1)12n 1背誦知識(shí)點(diǎn)六：(1) 數(shù)列前n項(xiàng)和求法：倒序相加法：適用于求首項(xiàng)與尾項(xiàng)有關(guān)系的前n項(xiàng)和 分組轉(zhuǎn)化法：適用于求等差數(shù)列+ (-)等比數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和 錯(cuò)位相減法：適用于求等差數(shù)列x ( 一 )等比數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和一，一， 、一.，、

17、一 一， 1 一一 裂項(xiàng)相消法：適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，anan+1考點(diǎn)六：求數(shù)列的前n項(xiàng)和、倒序相加法例17、已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an =ai +(n1)d (nw N*),求數(shù)列的前n項(xiàng)和、分組轉(zhuǎn)化法111例18、求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1十1, 一十4,2十7,一n；j +3n 2 , a aan、錯(cuò)位相減法 例19、(14全國(guó)卷一)已知an是遞增的等差數(shù)列， a2, a4是方程x2-5x + 6 = 0的根。求GJ的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列|卻的前n項(xiàng)和.、裂項(xiàng)相消法例20、（15江蘇卷）設(shè)數(shù)列an滿足ai=1,且 +1一 an= n+1（nC N *）,則數(shù)列j前10an項(xiàng)的和為.1 一 例21、（14全國(guó)卷一） 數(shù)列an滿足為書(shū)=,a8=2,則a1 =1 - an例22、( 13全國(guó)卷一)已知等差數(shù)列