用旋轉構造“手拉手”模型

1、中考專題復習一一幾何題用旋轉構造“手拉手”模型、教學目標：1 .了解并熟悉“手拉手模型”，歸納掌握其基本特征.2 .借助“手拉手模型”，利用旋轉構造全等解決相關問題.3 .舉一反三，解決求定值，定角，最值等一類問題.二、教學重難點：1 .挖掘和構造“手拉手模型”，學會用旋轉構造全等.2 .用旋轉構造全等的解題方法最優(yōu)化選擇.三、教學過程：1 .復習舊知師：如圖， ABD, ABCE為等邊三角形，從中你能得出哪些結論？生：(1) ABEA DBC (2) ABGA DBF(3) ACFBA EGB (4) BFG 為等邊三角形(5) AAGBA DGH (6)/DHA = 60° (

2、7) H , G , F , B 四點共圓(8) BH 平分/ AHC師：我們再來重點研究 ABE與DBC,這兩個全等的三角形除了對應邊相等，對應角相等外,還有什么共同特征呢?生：它們有同一個字母 B,即同一個頂點 B.師：我們也可以把 DBC看作由 ABE經(jīng)過怎樣的圖形運動得到?生：繞點B順時針旋轉60。得到.2 .引入新課師：其實我們可以給這兩個全等的三角形賦予一個模型，叫“手拉手模型”，誰可以將這個模型的特征再做進一步的簡化歸納呢？生：對應邊相等.師：我們可以稱之為“等線段”.生：有同一個頂點.師：我們可以稱之為“共頂點” .師：等線段，共頂點的兩個全等三角形，我們一般可以考慮哪一種圖形

3、運動？生：旋轉.師：“手拉手模型”可以歸納為：等線段，共頂點，一般用旋轉.3 .小題熱身DB圖2圖31 .如圖 1, ABAD 中，Z BAD = 45 , AB=AD, AEBD 于 E, BCXAD 于 C, 則 AF =BE.2 .如圖2, ABC和ABED均為等邊三角形， ADE三點共線，若BE = 2, CE = 4,則AE =.3 .如圖 3,正方形 ABCD 中，/ EAF = 45 , BE = 3, DF =5,則 EF =.師：我們來看第1,第2題，這里面有“手拉手模型”嗎？請你找出其中的“等線段，共頂點”.生：題1中，等線段是 AC, BC,共頂點是 C, 4ACF繞點C

4、逆時針旋轉90°得 BCD .題2中，等線段是 AB, BC,共頂點是B, 4ABD繞點D順時針旋轉60°得4CBE.師：我們再來看第 3題，這里有“手拉手模型”嗎？生：沒有.師：那其中有沒有“等線段，共頂點”呢？生：等線段是 AD, AB,共頂點是 A.師：我們可否利用旋轉來構造“手拉手模型”呢？生：將AE旋轉，繞點A逆時針旋轉90° .師：為什么是逆時針旋轉 90。，你是如何思考的？生：我準備構造一個和 ABE全等的三角形， AB繞點A逆時針旋轉90°即為AD ,那么將AE逆時針旋轉90°可得AG,連接GD,證明全等.師：說的不錯，誰能再來

5、歸納一下，借助“手拉手模型”，用旋轉構造全等的方法嗎？生：先找有沒有“等線段，共頂點”，再找其中一條“共頂點”的線段，將其旋轉.師：旋轉角度如何確定，方向怎么選擇？生：選擇其中一個三角形，將“共頂點”的線段旋轉.旋轉角為兩條“等線段”間的夾角.方向應與所選擇的起始“等線段”旋轉到另一條“等線段”時的方向一致.師：非常棒，可以說，你已經(jīng)掌握了這節(jié)課的精髓.但是，很多題目中只是隱含了 “手拉手模型”的一些條件，剩余的需要我們自己去構造，可以如何構造呢？步驟1 :先找有沒有“等線段，共頂點”.步驟2:選擇其中一個三角形，將其中經(jīng)過“共頂點”的線段旋轉.步驟3:旋轉方向與這個三角形的“等線段”旋轉到另

6、一條“等線段”的方向一致，旋轉角為“等 線段”間的夾角.師：這道題還有一個要注意的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？生：連接GD后，要證明G, D, F三點共線.4 .例題精講例 1:等邊 ABC 中，AD = 4, DC = 3, BD = 5,求/ ADC 度數(shù).師：這里有沒有隱含的“手拉手模型”？要構造全等，該怎樣旋轉？生：將 ADC繞點A順時針旋轉60° .師：你是怎么想的，還有其他做法嗎？生：我發(fā)現(xiàn)AB = AC, A為“共頂點”，我選擇的旋轉線段是AD,因為AC繞點A順時針旋轉60°至ij AB,所以 ADC也要繞 點A順時針旋轉60° .也可將 ADB繞點A逆時針旋

7、轉60° .【解答】 將AD繞點A順時針旋轉 60°到AE,連接BE, DE.則 ADE也為等邊三角形.易證 AEBAADC, BE = DC = 4,根據(jù)勾股定理逆定理，可證/BED= 90° ,則/ AEB = Z ADC = 150°例2:如圖，4ABO和CDO均為等腰直角三角形， ZAOB = ZCOD =90若BOC的面積為1,試求以 AD、BC、OC + OD的長度為 三邊長的三角形的面積.師：由于線段分散，如何通過圖形變換，使這些線段能構成一個三角形？ 生：將OD繞點O逆時針旋轉90°至OE,即可使OC, OD共線，再通過證明確定

8、 4BCE即是以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形.【解答】如圖，將OD繞點O逆時針旋轉90°至OE,連接BE.易證 OADAOBE, AD=BE, .BCE 即是以 AD、BC、OC+OD長度為三邊長的三角形.又 OC= OE ,SAbce = 2SaBOC = 2.5 .自主練習1 .如圖，在四邊形 ABCD 中，AD = 4, CD = 3, /ABC = /ACB =Z ADC =45 ,則 BD 的長為 .師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法.生：“等線段”是 CA和BA, “共頂點”是 A.方法是將AD繞點A順時針旋轉90° .2 .如圖，在

9、 ABC中，BC=2, AB = 72,以AC為邊，向外做正方形ACDE ,連接BE ,則BE最大值為.師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法.生：“等線段”是 CA和EA, “共頂點”是 A.方法是將AB繞點A逆時針旋轉90 ° .師：你為何要逆時針旋轉，你準備旋轉哪個三角形?生：ABC,因為AC是逆時針旋轉90°至ij AE,所以AB也繞點A逆時針旋轉90°3 .如圖，點 A在O B ±, AB=1, BC=2, 4ACD是等邊三角形, 求4BCD面積的最大值.師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法.生：“等線段”是 CA和CD, “

10、共頂點”是 C.方法是將CA繞點C逆時針旋轉60° .附：自主練習解答1 .如圖，將 AD繞點A順時針旋轉 90°至AE,易證 EACA DAB,可得 CE = BD,又/ EDA = 45° ,/ CDE = 90° ,CD = 3, DE = 4a/2,則 RtCDE 中，CE2=CD2+ DE2= 32 + (42)2=41CE=相,D DB=41BC2 .如圖，將 AB繞點A逆時針旋轉 90°至AF,易證 EAFACAB, 可得 EF=BC=2. RtBAF 中，AF = AB = 72,，BF = 2.由三 角形三邊關系易知，BEWEF+BF,，BE最小值為4.3 .如圖，將CB繞點C逆時針旋轉 60 °至CE,連