位值原理與數(shù)的進(jìn)制教師版知識(shí)交流

1、5-7位置原理與數(shù)的進(jìn)制教學(xué)目標(biāo)本講是數(shù)論知識(shí)體系中的兩大基本問題，也是學(xué)好數(shù)論知識(shí)所必須要掌握的知識(shí)要點(diǎn)。通過本講的學(xué) 習(xí)，要求學(xué)生理解并熟練應(yīng)用位值原理的表示形式，掌握進(jìn)制的表示方法、各進(jìn)制間的互化以及二進(jìn)制與 實(shí)際問題的綜合應(yīng)用。并學(xué)會(huì)在其它進(jìn)制中位值原理的應(yīng)用。從而使一些與數(shù)論相關(guān)的問題簡單化。、位值原理位值原理的定義：同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“ 2 ”，寫在個(gè)位上，就表示2個(gè)一，寫在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。位值原理的表達(dá)形式：以

2、六位數(shù)為例：abcdef a xiOOOOO+b xiOOOO+c xiOOO+d xioo+e xio+f。二、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110) 2=1 X25+0 X24+0 X23+1 X22+1 X21+0 X20。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借

3、一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n 0=1。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢 n進(jìn)一，借一當(dāng)n ”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后 加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：如右圖所示。目(也匸例題精講模塊一、位置原理【例1】 某三位數(shù)abc和它的反序數(shù)cba的差被99除，商等于 與的差；【解析】本題屬于基礎(chǔ)型題型。我們不妨設(shè)a>b> c。(abc - cba )*99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)*99=(99a-99c) +99=a-c ;【鞏固】ab與ba的差被

4、9除，商等于 與的差；【解析】(不-ba )+9=(10a+b)-(10b+a)-9=(9a-9b) -9=a-b ;【鞏固】ab與ba的和被11除，商等于 與的和。【解析】(品+ ba)-11=(10a+b)+(10b+a)-11=(11a+11b)+1仁a+b?！纠?】(美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45,試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【解析】設(shè)原來的兩位數(shù)為ab，交換后的新的兩位數(shù)為ba，根據(jù)題意，ab ba (10a b) (10b a) 9(a b) 45, a b 5，原兩位數(shù)最大時(shí)，十

5、位數(shù)字至多為9，即a 9 , b 4，原來的兩位數(shù)中最大的是94 【鞏固】將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個(gè)新的四位數(shù)(這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)大8802 .求原來的四位數(shù).【解析】設(shè)原數(shù)為abcd，則新數(shù)為dcba,dcba abcd (1000d100c 10b a) (1000a 100b 10c d) 999(d a) 90(c b).根據(jù)題意，有 999(da) 90(c b) 8802, 111 (d a)10 (c b)978 88890 .推知 d a 8 , c b9，得到 d 9, a 1 , c 9, b0，原數(shù)為1099 .【鞏固】如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)

6、數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?9X 9+ (9 + 9) = 99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位 數(shù)。請你寫出所有的巧數(shù)?！窘馕觥吭O(shè)這個(gè)巧數(shù)為ab，則有ab+a+b=10a+b , a(b+1)=10a ，所以b+1=10 , b=9 ?！纠?】(第五屆希望杯培訓(xùn)試題)有3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，如果這6個(gè)三位 數(shù)的和是1554，那么這3個(gè)數(shù)字分別是多少？【解析】設(shè)這六個(gè)不同的三位數(shù)為abc,acb,bac,bca,cab,cba ,因?yàn)?abc 100a 10b c , acb 100a 10c b

7、 ,，它們的和是：222 (a b c) 1554，所以 a b c 1554 222 7 ,由于這三個(gè)數(shù)字互不相同且均不為0 ,所以這三個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)至少為1 , 2，而7 (1 2) 4 ,所以最大的數(shù)最大為 4 ;又1 2 3 6 7 ,所以最大的數(shù)大于 3 , 所以最大的數(shù)為 4,其他兩數(shù)分別是1, 2.【鞏固】(迎春杯決賽)有三個(gè)數(shù)字能組成 6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是 2886，求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù).【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)字分別為 a、b、c,那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為：abc acb bac bca cab cba 2(a b c) 100 2(a b c)

8、 10 2(a b c) 222 (a b c) 所以abc 2886 222 13，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和一定，故個(gè)位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時(shí)十位數(shù)為13 1 9 3，所以所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)為139.【鞏固】用1, 9, 7三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒過來看是“ 6”。作為卡片“ 9”，由第3題的結(jié)果可知，1 , 9 , 7可組成的六個(gè)不同 的三位數(shù)之和是(1 + 9 + 7 )X222 ;同理，作為卡片“ 6 ”，1 , 6 , 7可組成的六個(gè)數(shù)之和是(1 +

9、 6 + 7)X222。這 12 個(gè)數(shù)的平均值是：(1 + 9 + 7 ) + ( 1 + 6 + 7) X222 -12 = 573.5?！眷柟獭繌?9九個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)，用這三個(gè)數(shù)可組成六個(gè)不同的三位數(shù)。若這六個(gè)三位數(shù)之和是3330 ,則這六個(gè)三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別為 a、b、c。由于每個(gè)數(shù)字都分別有兩次作百位、十位、個(gè)位，所以六個(gè)不同的三位數(shù)之和為 222 X(a + b + c)= 3330，推知a + b + c = 15。所以，當(dāng) a、b、c取1、5、9 時(shí)，它們組成的三位數(shù)最小為159，最大為951?！眷柟獭縜, b, c分別是0： 9中

10、不同的數(shù)碼，用 a, b, c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù) 之和是2234,那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？【解析】由a ,b , c組成的六個(gè)數(shù)的和是222(a bc).因?yàn)?234222 10，所以 a b c 10若abc11,則所求數(shù)為222112234208 ,但2081011，不合題意.若abc12,則所求數(shù)為222122234430,但4 30712，不合題意.若abc13,則所求數(shù)為222132234652,6 5 213 ,符合題意.若abc14,則所求數(shù)為222142234874,但8 741914，不合題意.若abc15,則所求數(shù)2221522341096,但所求數(shù)為三位

11、數(shù)，不合題意.所以，只有a bc 13時(shí)符合題意，所求的三位數(shù)為652 .【例4】 在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入09中的一個(gè)數(shù)碼，這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)?！窘馕觥恳?yàn)樵瓋晌粩?shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的10倍，所以原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0或5。如果個(gè)位數(shù)是0,那么無論插入什么數(shù)， 得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個(gè)位數(shù)是5。設(shè)原兩位數(shù)是 ab，則b=5，變成的三位數(shù)為 ab5，由題意有100a + 10b + 5 =( 10a + 5 )X9, 化簡得a + b = 4。變成的三位數(shù)只能是4

12、05 , 315 , 225 , 135。【鞏固】一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時(shí)后看到里程碑 上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè)0的三位數(shù)，請問：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換 所得的三位數(shù)?！窘馕觥吭O(shè)第一個(gè)2位數(shù)為10a+b ;第二個(gè)為10b+a ;第三個(gè)為100a+b;由題意：(100a+b)- ( 10b+a )=(10b+a)- (10a+b);化簡可以推得 b=6a , 0 <a,b <9，得 a=1 , b=6 ;即每小時(shí)走 61-16=45;

13、(601-106) +45=11 ;再行11小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換 所得的三位數(shù)?！眷柟獭繉⑺奈粩?shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒有0的四位數(shù)M，它比新數(shù)中最大的小3834,比新數(shù)中最小的大 4338.求這個(gè)四位數(shù).【解析】設(shè)組成這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼為a, b, c , d (9 a b c d 1),則有 abcd dcba 3834 4338 8172 ,可得 999(a d) 90 (b c) 8172 7992 180,則a d 8 , b c 2 , a 9 , d 1 , M 面9 4338，且M的四位數(shù)字

14、分別為 1、c、b、9 , 由于8 9 17的個(gè)位數(shù)字為7 ,所以b , c中有一個(gè)為7,但b c 2 ,所以c不能為7 ,故b 7 , c 5, M 1579 4338 5917.【例 5 】 已知 abcd abc ab a 1370,求abcd .【解析】原式：1111a + 111b + 11c + d = 1370 ,所以 a = 1 ,貝U 111b + 11c + d = 1370 1111 = 259 , 推知b = 2 ;進(jìn)而推知 c = 3 , d=4 所以abcd=1234。【鞏固】(2008年清華附中考題)已知一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008 ,則所有這樣的

15、四位數(shù)之和為多少.【解析】設(shè)這樣的四位數(shù)為abcd ,貝U abcdabc d2008，即 1001a 101b 11c 2d 2008，則 a 1或2.若a2，則 101b 11c 2d 6 ,得bc 0,d 3,abcd 2003 ;若a 1 ,則 101b 11c2d1007 ,由于11c 2d 11 929 117 , 所以101b1007 117890，所以b8 ,故b為9 , 11c2d 1007 90998，則c為偶數(shù)，且11c 98 2 9 80,故 c 7 ,由 c 為偶數(shù)知 c 8 , d 5 , abcd 1985 ;所以，這樣的四位數(shù)有 2003和1985兩個(gè)，其和為：

16、2003 1985 3988.【例6】 有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼3,則可得到一個(gè)四位數(shù).將這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于3600 .求原來的兩位數(shù).【解析】設(shè)原來的兩位數(shù)是Ob，則得到的兩個(gè)三位數(shù)分別為贏和議，四位數(shù)為 融，由題知ab3 3ab 3ab3 3600，即 10 ab 3 300 ab 3003 10 ab 3600 , 21 ab 294，故 ab 14 .【鞏固】如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加A1111，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A?！窘馕?/p>

17、】設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則10x+5-x= A1111,化簡得9x= A1106 ,等號(hào)右邊是9的倍數(shù)，試驗(yàn)可得A=1 ,x=1234 ?！眷柟獭磕嘲宋粩?shù)形如2abcdefg，它與3的乘積形如abcdefg4，則七位數(shù)abcdefg應(yīng)是多少？【解析】設(shè) abcdefg x , 則 2abcdefg 2 107 x , abcdefg4 10x 4 , 根據(jù) 題意， 有2 107 x 3 10x 4，得 7x 6 107 4 59999996，所以 x 8571428.【例7】 一個(gè) 六位數(shù)abcdef ,如 果滿足4 abcdef fabcde ,則 稱abcdef為"迎 春數(shù)”（例如4 1

18、02564 410256，貝U 102564就是“迎春數(shù)”）.請你求出所有“迎春數(shù)”的總和.【解析】由于是把六位數(shù)abcdef的末位f調(diào)到首位構(gòu)成了新六位數(shù)fabcde ,所以不妨把a(bǔ)bcde看成一個(gè)整體，設(shè)abcde A ,則根據(jù)位值原理可知“迎春數(shù)”是10A f ,并滿足關(guān)系式：4 10A f 100000 f A .對等式化簡得：39 A 99996 f .所以：A 2564 f .因?yàn)锳是五位數(shù)，f是一位數(shù)，所以f可以為4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9.而“迎春數(shù)” abcdef 10A f 10 2564 f f 25641 f ,那么，所有“迎春數(shù)”的總和是：25641 4

19、 5 6 7 8 9 25641 39 999999 .【鞏固】（2008年“華杯賽”決賽）設(shè)六位數(shù)abcdef滿足fabcde f abcdef，請寫出這樣的六位數(shù).【解析】令 abcde x，則：fabcde f 10 x, abcdef 10x f，所以 f 10 x f 10x f，可得 f 105 fx.此時(shí)可將f 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7, 8 , 9 一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)，可得當(dāng)f 1時(shí),10 f 1x 111111 ;當(dāng)f 4時(shí)，x 102564 .只有這兩個(gè)數(shù)滿足條件.由于將f可能的值一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)有些麻煩，可以將其進(jìn)行如下變形后再進(jìn)行:f 1051x1

20、0f1105f105 f 1041042-104210f1,所以x1041041044.105 10f2x 1010 f10f 110610f設(shè)其為a ,則10a1 -10f110f 1999999 的約數(shù).當(dāng)10510f210f2 f105 f是整數(shù).10f110f 110610f10f 1106 1999999r-r- f口1 -是整數(shù),所以10f1是10f110f 110f 110f 110f 11分別為1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6, 7 , 8 , 9 時(shí)，10f9, 19 , 29 , 39 , 49 , 59 , 69 , 79 ,89，由99999933 7 11 1

21、3 37容易知道其中只有9和39是999999的約數(shù)，此時(shí)f分別為1和4 .這樣的六位數(shù)有 111111和102564【例8】 記四位數(shù)abcd為X ,由它的四個(gè)數(shù)字a,b,c,d 組成的最小的四位數(shù)記為X ,如果 X X* 999，那么這樣的四位數(shù) X共有個(gè).【解析】X X* 999得到X 999 X X 1000 1，所以如果a、b、c、d組成的四位數(shù) X末位數(shù) 字不是0,那么X等于將X的千位數(shù)字加1,個(gè)位數(shù)字減1 ,反過來X等于X的千位數(shù)字減1 , 個(gè)位數(shù)字加1，所以X為a 1 bc d 1 ,與X比較，b和c位置沒有換，交換的是 a和d , X 表示為dbca,可以得到等式a 1 d，

22、即a d 1 所以a和d的取值組合，只有2和1 ,3和2, 9和8，共8種情況.對于其中任意一種組合，由于 dbca是由四個(gè)數(shù)字 a b、c、d組成的最小的四位數(shù)，分別考慮 b、 c中有0的情況（可能兩個(gè)都為0;若只有一個(gè)0,則b 0 , d c a）；以及b、c都不為0的情 況（此時(shí)d b c a ），可知兩種情況下各有 3種可能，共6種可能：d00a , d0da , d0aa , ddda ,ddaa , daaa .比如以 a 4 , d 3為例，dbca可能的取值有 3004 , 3034 , 3044 , 3334 , 3344 ,34444這6個(gè)數(shù).根據(jù)乘法原理，滿足條件的四位數(shù)

23、一共有8 6 48種.如果a、b、c、d組成的最小的四位數(shù) X末位數(shù)字是0,顯然X的百位、十位都是0,此時(shí)a、 b、c、d無法組成其它的四位數(shù)，不合題意.由于每一個(gè)X對應(yīng)一個(gè)X，所以滿足條件的四位數(shù)X共有48個(gè).【例9】 將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)(4 3 2 1 24).將這24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在30004000之間.求這24個(gè)四位數(shù)中最大的那個(gè).【解析】從題中可以看出，這4個(gè)數(shù)都不為0 .設(shè)這4個(gè)不同的數(shù)從小到大依次為a,b,c,d，它們組成的2

24、4個(gè)四位數(shù)中，第二小的是abdc,是5的倍數(shù)，又c不為0,所以c 5 .它們組成的24個(gè)四位數(shù)中，第二大的是 猛，是2的倍數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以b是偶數(shù)，而 ab不是4的倍數(shù)由b是偶數(shù)且b c 5知b為4或2 若為2，那么a 1，但此時(shí)ab 12是4 的倍數(shù)，矛盾，所以，又 Ob不是4的倍數(shù)，所以a為1或3.它們組成的24個(gè)四位數(shù)中，第五小的為adbc (最小的5個(gè)依次為abcd , abdc , acbd , acdb ,adbc)，第五大(第二十小)的為dacb (最大的5個(gè)依次為dcba , dcab , dbca , dbac, dacb ),所 以dacb adbc得到的四位數(shù)的千位

25、為3 .由于a d，所以acb dbc，那么減法算式中百位要向千位借位，所以 d 1 a 3，故d a 4 又d c 5，所以a 1，那么a 3, d 7, 它們組成的24個(gè)四位數(shù)中最大的為 dcba，即7543 .模塊二、數(shù)的進(jìn)制【例 10 】(101)2 (1011)2 (11011)2 ； (11000111) (10101)2 (112 ( ) 2 ； (3021)4 (605)7 ()10 ； (63121)8(1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ； 若(1030)n 140，則 n .【解析】 對于這種進(jìn)位制計(jì)算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將

26、結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制：(101)2 (1011)2 (11011)2 (5)10 (11)10 (27)10 (28)10 (11100)10 ； 可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來計(jì)算：(11000111) (10101) 2 (112(199)10(21)10 (3)10(192)10(11000000);如果對進(jìn)制的知識(shí)較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對(10101)2 (11 2進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是 2,可得(11000111)2 (10101)2 (11)2 (11000111)2 (111)2 (11000000)2 ； 本題涉及到3個(gè)不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個(gè)進(jìn)制下.統(tǒng)一到十進(jìn)制比較適宜：32(

27、3021)4 (605)7 (3 42 4 1加(6 75朮 (500)® ； 十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在n進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整n .原式(63121)8 (1247)8 (26531)8】 (16034) 8 (1744)*(63121)8(30000)8(20000)8(1312厲； 若(1030)n 140，則n 3n 140，經(jīng)試驗(yàn)可得n 5 .【鞏固】567() 8() 5() 2 ； 在八進(jìn)制中，1234 456 322 ； 在九進(jìn)制中，14438 3123 7120 11770 57

28、66 . 原式 1234 (456322)12341000234 ; 原式 14438(3123 5766)(712011770)14438 10000 200004438 .【例11】在幾進(jìn)制中有4 13 100?【解析】利用尾數(shù)分析來解決這個(gè)問題：由于(4)10 (3)10 (12)10，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是說已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位. 所以說進(jìn)位制n為12的約數(shù)，也就是12 , 6 , 4, 3, 2中的一個(gè).但是式子中出現(xiàn)了 4，所以n要比4大，不可能是4, 3 , 2進(jìn)制.另外，由于(4)10 (13)10 (52)10，因?yàn)?2 100，也就是說不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才

29、能是 100，于 是知道n 10，那么n不能是12 .所以，n只能是6 .【鞏固】在幾進(jìn)制中有125 125 16324?【解析】注意(125)10 (125)10 (15625)10，因?yàn)?5625 16324,所以一定是不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到 16324，所以 n 10.再注意尾數(shù)分析，(5)10 (5)10 (25)10，而16324的末位為4，于是25 4 21進(jìn)到上一位. 所以說進(jìn)位制n為21的約數(shù)，又小于10,也就是可能為 7或3 .因?yàn)槌霈F(xiàn)了 6，所以n只能是7 .【鞏固】算式1534 25 43214是幾進(jìn)制數(shù)的乘法？【解析】注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字

30、為4 5 20，但是現(xiàn)在為4，說明進(jìn)走20 4 16，所以進(jìn)位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2.因?yàn)樵街杏袛?shù)字 5，所以不可能為4、2進(jìn)位，而在十進(jìn)制中有1534 25 38350 43214，所 以在原式中不到10就有進(jìn)位，即進(jìn)位制小于10，于是原式為8進(jìn)制.【例12】將二進(jìn)制數(shù)(11010.11)2化為十進(jìn)制數(shù)為多少？【解析】根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法，(11010.11)2=1 X24+1 X23+0 X22+1 X21+0 X20+1 X2-1+1 X2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75?！眷柟獭慷M(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少?【解析】根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)

31、制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二八對照表：八進(jìn)制數(shù)01234567二進(jìn)制數(shù)000001010011100101110111從后往前取三合一進(jìn)行求解，可以得知【鞏固】將二進(jìn)制數(shù)11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)?！窘馕觥吭谵D(zhuǎn)換為高于9進(jìn)制的數(shù)時(shí)，遇到大于9的數(shù)用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。根據(jù)取四合一法，二進(jìn)制 11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制為 E9.B?！眷柟獭磕硵?shù)在三進(jìn)制中為，則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第I位數(shù)字是幾？【解析】由于32=9，所以由三進(jìn)制化為 9進(jìn)制需要取二合一。從后兩個(gè)兩個(gè)的取，取至最前邊為12，用位值原理將其化為 1 X31

32、+2 X30=5，所以化為9進(jìn)制數(shù)后第一位為 5.【例13】現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的砝碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體？【解析】因?yàn)轫来a的克數(shù)恰好是 1 , 2 , 4, 8, 16，而二進(jìn)位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1 , 2,22=4 , 23=8 , 24=16，在砝碼盤上放1克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位 (從右數(shù))是1，放2克 砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是 1,，放16克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第五位是 1，不放砝碼 就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23 + 22 + 21 +20=(31)10，這就是說1至31的

33、每個(gè)整數(shù)(克)均能稱出。所以共可以稱出31種不同重量的物體?！纠?4】在6進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少【解析】(abc)6=a x 62 +b x 6+c=36a+6b+c;(cba)9=c x 92+b x 9+a=81c+9b+a;所以36a+6b+c=81c+9b+a; 于是 35a=3b+80c;因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù).所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3, 5)=1 .所以，b=0或5. 當(dāng) b=0，則 35a=80c ;則 7a=16c ; (7, 16)=1，并且 a、c0,所以 a=16 , c=7。但是在6,9進(jìn)制，不可

34、以有一個(gè)數(shù)字為16 . 當(dāng) b=5，則 35a=3 X5+80c ;則 7a=3+16c; mod 7 后，3+2c 司。所以 c=2 或者 2+7k(k為整數(shù)).因?yàn)橛?進(jìn)制，所以不可能有 9或者9以上的數(shù)，于是 c=2 ; 35a=15+80 X2 , a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5 X62+5 X6+2=212 。這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212?！眷柟獭吭?進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【解析】首先還原為十進(jìn)制：2 2(abc)7 a 7b 7 c 49a 7b c; (cba) 9 c 9 b 9 a 81c 9b a .于是 4

35、9a 7b c 81c 9b a ;得到 48a 80c 2b，即 24a 40c b.因?yàn)?4a是8的倍數(shù)，40c也是8的倍數(shù)，所以b也應(yīng)該是8的倍數(shù)，于是b 0或8 . 但是在7進(jìn)制下，不可能有 8這個(gè)數(shù)字于是 b 0，24a 40c，則3a 5c.所以a為5的倍數(shù)，c為3的倍數(shù).所以，a 0或5，但是，首位不可以是 0,于是a 5，c 3 ;所以(abc)7(503)75 493 248 .于是，這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為248 .【鞏固】一個(gè)人的年齡用十進(jìn)制數(shù)和三進(jìn)制數(shù)表示，若在十進(jìn)制數(shù)末尾添個(gè)“0”就是三進(jìn)制數(shù)，求此的年齡.【解析】設(shè)這個(gè)人為a歲，得a(10)臥，又臥)a3103

36、6;3a：10)，解得a 0，不合題意，所以這個(gè)人的年齡不可能是一位數(shù).設(shè)這個(gè)人是ab歲，由題意得：ab(10) ab0(3).因?yàn)?臥 10a b,ab0(3) a 32 b 310 30 9a 3b，所以 10a b 9a 3b，即 a 2b .又因?yàn)閍b0是三進(jìn)制數(shù)，a，b都小于3，所以a 2，b 1 .所以，這個(gè)人為 21歲.設(shè)這個(gè)人為abc歲，由題意有，abc(10) abc0(3)，因?yàn)閍bq1。)100a 10b c ， 32abc0(3) a 3 b 3 c 3 27a 9b 3c,所以 100a 10b c 27a 9b 3c .即 73a b 2c .又a、b、c都小于3，所以上述等式不成立所以這個(gè)人的年齡不可能是三位數(shù).綜上可知這個(gè)人的年齡是21歲.【鞏固】N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù) b，使得N是十進(jìn)制整數(shù)的四次方.【解析】設(shè)b是所求的最小正整數(shù)，7b2 7b 7 x4 x N ,因?yàn)橘|(zhì)數(shù)7能整除7b2 7b 7 ,所以也能整除x,不妨設(shè)x 7m , m是大于0的自然數(shù)。貝7b2 7b 7 7m 4，化簡得：b2 b 1 7肯4 , 易知，b的值隨m的增大而增大，當(dāng) m=1時(shí)，b=18?！纠?5】試求(2 2006-1)除以992的余數(shù)是多少？【解析】我們通過左式的短除法，或者直接運(yùn)用