一類(lèi)變系數(shù)拋物方程解的存在性研究

1、HUNAN UNIVERSITY畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)設(shè)計(jì)論文題目：一類(lèi)變系數(shù)拋物方程解的存在性 學(xué)生姓名：學(xué)生學(xué)號(hào)：專(zhuān)業(yè)班級(jí)：學(xué)院名稱(chēng)：數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院指導(dǎo)老師：學(xué)院院長(zhǎng)：蔣月評(píng) 2012年 5 月 16 日一類(lèi)變系數(shù)拋物方程解的存在性摘要 本文我們主要研究一類(lèi)變系數(shù)拋物方程在有界區(qū)域上初始值問(wèn)題的弱解的存在性。首先，利用Galerkin逼近法構(gòu)造有限維空間上的逼近解，然后利用能量估計(jì)方法證明了逼近解及上的一致有界性，并由此利用弱收斂性證明變系數(shù)二階拋物方程初邊值問(wèn)題弱解的存在性。全文共分3章。第一章中，簡(jiǎn)單介紹了變系數(shù)拋物方程的研究背景，本文研究的主要問(wèn)題以及得到的主要結(jié)果。第二章中，簡(jiǎn)單介紹

2、了本文所涉及的基本概念及相關(guān)定理。第三章中，證明了該變系數(shù)拋物方程的解的存在性。關(guān)鍵詞：拋物方程；弱解；Galerkin逼近；能量估計(jì)The existence of a class of parabolic equations with variable coefficientsAbstractIn this paper, we focus on the existence of solutions to an initial-boundary problem for a class of parabolic equations with variable coefficients. Fir

3、stly, by using Galerkin approximation,we will obtain the approximationsolution of the problem in the finite dionsion space one.Then the boundess in andwas proved by using energy estimates method.Thus,the existence of wek solution of initial-boundary problem of the second-order parabolic equation wit

4、h variable coefficients was proved . The paper includes 3 chapters.In chapter 1, we simply introduce some works on PDE and the blow-up solution, the main problem and results which we will study and the parabolic equation which will be used in this paper.In chapter 2, we simply present some concepts

5、and related theorems, which will be used in the following sections of the paper.In chapter 3, proving the existence of weak solutions of the parabolic equation with variable coefficents.Key words:Parabolic equations;weak solutions;galerkin approximation; energy estimates.目錄第一章 緒論 1.1.研究背景 1.2.本文研究的主

6、要問(wèn)題 1.3.本文得出的主要結(jié)論第二章 預(yù)備知識(shí)2.1. 基本概念2.2. 基本定理第三章 拋物方程解的存在性 3.1 逼近解的構(gòu)造 3.2 逼近解的能量估計(jì) 3.3 弱解存在性的證明總結(jié)致謝參考文獻(xiàn)第一章 緒論1.1研究背景在偏微分方程中，拋物方程是一類(lèi)具有重要物理背景的偏微分方程，具有廣泛的應(yīng)用前景，已被廣泛的應(yīng)用到了當(dāng)今工業(yè)和我們的日常生活之中。拋物型偏微分方程在研究熱傳導(dǎo)過(guò)程、一些擴(kuò)散現(xiàn)象及電磁場(chǎng)傳播等許多問(wèn)題中都有廣泛應(yīng)用,已受到廣泛關(guān)注。近年來(lái), 對(duì)常系數(shù)拋物方程的研究已有許多結(jié)果，在工程技術(shù)領(lǐng)域中,特別是在地球物理及材料科學(xué)等領(lǐng)域,此領(lǐng)域的應(yīng)用研究受到人們?cè)絹?lái)越多的關(guān)注。二階拋

7、物方程是偏微分方程的重要研究?jī)?nèi)容，它研究的問(wèn)題來(lái)源于物理、化學(xué)、半導(dǎo)體學(xué)及量子力學(xué)的許多領(lǐng)域，描述的是這些領(lǐng)域的熱傳導(dǎo)和物質(zhì)擴(kuò)散等問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)拋物方程解的存在性研究很活躍，取得了許多研究成果。1997年，Evans在文獻(xiàn)1得到了如下拋物方程 （1.1）其中為常系數(shù)二階橢圓算子，證明了弱解的存在性。但據(jù)我所知，上述問(wèn)題的變系數(shù)情形弱解的存在性還沒(méi)有相關(guān)結(jié)果。由于熱導(dǎo)率、擴(kuò)散率一般與時(shí)間有關(guān)，因此，研究變系數(shù)的拋物方程非常具有理論和實(shí)際意義。1.2.本文研究的主要問(wèn)題 本文主要研究變系數(shù)二階拋物方程 (1.2) 在邊界條件 (1.3)及初始條件 （1.4）下的弱解的存在性。其中且，為一

8、有界開(kāi)集。為一二階橢圓偏微分算子。1.3.本文所得到的主要結(jié)論 本文通過(guò)Galerkin逼近法和能量估計(jì)方法,證明了拋物方程（1.2）的初邊值問(wèn)題的如下結(jié)論：定理1.1 若,則（1.2）（1.4）存在唯一弱解。第二章 預(yù)備知識(shí)本章簡(jiǎn)單介紹所需要的相關(guān)概念、定理及主要不等式，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，所有結(jié)論只敘述而不證明。2.1 基本概念（拋物型算子）如果存在常數(shù)>0，使得 對(duì)于所有的都成立，則稱(chēng)偏微分算子是拋物型的。 （弱解） 是拋物方程（1.2）的初始邊界值問(wèn)題的弱解，若u滿足（i）對(duì)于任意,，均成立。（ii）。其中 基本空間在中的閉包，為的對(duì)偶空間。 2.2 基本原理 定理2.2.1 假設(shè)且(1

9、) 則(2) 映射是絕對(duì)連續(xù)的，且其中(3) 此外，可以得到估計(jì) 其中，C是僅依賴(lài)于T的常數(shù)。第三章 解的存在性本章證明定理1.1，即拋物方程的弱解的存在性。3.1.逼近解的構(gòu)造假設(shè)光滑函數(shù)為 的正交基 （3.1）是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 （3.2） 引理1（近似解的構(gòu)造）對(duì)于任意整數(shù)存在唯一的形如且滿足 （k=1,m）和的函數(shù)。證明：，而為的標(biāo)準(zhǔn)正交基 （3.13） 且 （3.14）現(xiàn)在固定一個(gè)正整數(shù)m。我們將尋找一個(gè)函,形如，, （3.10）其中，記 則得線性常微分方程組 （3.15） 根據(jù)常微分方程的存在性定理可知，存在唯一確定的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間滿足（3.15）。在區(qū)間由（3.10）所定義的函數(shù)滿

10、足引理1.引理1成立。3.2 逼近解的能量估計(jì)引理2（能量估計(jì)）存在常數(shù)C且C僅依賴(lài)于U、T和系數(shù)L，使得對(duì)于成立證明：方程相乘，并對(duì)k求和，得：， （3.16）由引理2 （3.17）又因?yàn)橐虼耍嬖诔?shù) 使得 （3.18）記， （3.19），（3.20）則由（3.18）可推出.因此，由Gronwall不等式（B.2）的微分形式可以得出 （3.21） (3.22)又由（3.18）可得 （3.23）任取且,記，其中且。由于函數(shù)在上正交，則。利用方程，在上可推導(dǎo)出 （3.10）可以推導(dǎo)出由可知因此所以 （3.24）由（3.22）（3.24）可知引理2成立。3.3. 證明存在性。接下來(lái)，證明初始邊界

11、值問(wèn)題（1.2）（1.4）的弱解的存在性。根據(jù)引理2（能量估計(jì)），可知存在序列和及函數(shù)，使得 在上，弱收斂于 （3.22）在上，弱收斂于接下來(lái)固定一個(gè)整數(shù)N，選取函數(shù),且有如下形式 （3.23） 其中是給定的光滑函數(shù)。選取時(shí)，將方程與相乘，對(duì)k求和，在關(guān)于t積分得 （3.24）令則由（3.22），取弱極限得到 （3.25）有稠密性可知都有且 (3.26)最后，證明u(0)=g。首先我們從（3.25）可知，且，都有 （3.27）類(lèi)似地，由（3.24）中可以推導(dǎo)出 （3.28）令并且再一次運(yùn)用（3.22）及得到 （3.29）因?yàn)関(0)是任意的，比較（3.27）（3.29），我們可以得出結(jié)論。 綜

12、上所述，拋物問(wèn)題（1.2）（1.4）的弱解存在?？偨Y(jié) 在本文中系統(tǒng)的研究了二階拋物問(wèn)題（1.2）（1.4）解的存在性。我們得到：利用Galerkin逼近法和能量估計(jì)法得到本文拋物問(wèn)題的弱解，證明了問(wèn)題（1.2）（1.4）解的存在性。但是由于能力有限，本文只證明了變系數(shù)二階拋物方程解的存在性，而沒(méi)有驗(yàn)證解是否具有唯一性，這是本文的不足之處。致謝 經(jīng)過(guò)半年學(xué)習(xí)，本次畢業(yè)論文的撰寫(xiě)工作已經(jīng)接近尾聲。作為一個(gè)本科生，由于缺乏經(jīng)驗(yàn)，難免有很多考慮不周的地方。如果沒(méi)有指導(dǎo)老師的督促指導(dǎo)以及同學(xué)們的大力支持，我將很難完成這篇論文。 在這里首先感謝我的指導(dǎo)老師楊林，在我進(jìn)行畢業(yè)設(shè)計(jì)的每個(gè)階段，無(wú)論從論文的選題，設(shè)計(jì)方案的確定，還是中期檢查及后期的詳細(xì)檢查等整個(gè)過(guò)程中楊老師都給予了我悉心的指導(dǎo)，細(xì)心地糾正了我每一處的錯(cuò)誤，令我受益匪淺。 然后還要感謝大學(xué)四年來(lái)所有的任課老師，為我們打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)還要感謝所有的同學(xué)，正是因?yàn)橛辛四銈兊墓膭?lì)和支持，此次畢業(yè)論文的撰寫(xiě)才會(huì)順利完成。 最后衷心感謝湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院四年來(lái)對(duì)我的悉心培養(yǎng)。參考文獻(xiàn)1. L . C. Evans, <<Partial Differential Equations>> Spring