人民教育出版版數(shù)學九上24弧長和扇形面積教案共2

1、24.4 弧長和扇形面積(第1課時) 教學內(nèi)容 1n°的圓心角所對的弧長L= 2扇形的概念； 3圓心角為n°的扇形面積是S扇形=； 4應用以上內(nèi)容解決一些具體題目 教學目標 了解扇形的概念，理解n°的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式并熟練掌握它們的應用 通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長L=和扇形面積S扇=的計算公式，并應用這些公式解決一些題目 重難點、關鍵 1重點：n°的圓心角所對的弧長L=，扇形面積S扇=及其它們的應用 2難點：兩個公式的應用 3關鍵：由圓的周長和面積遷移到弧長和扇形面積公式的過程 教具、學具準備

2、 小黑板、圓規(guī)、直尺、量角器、紙板 教學過程 一、復習引入 （老師口問，學生口答）請同學們回答下列問題 1圓的周長公式是什么？ 2圓的面積公式是什么？ 3什么叫弧長？ 老師點評：（1）圓的周長C=2R （2）圓的面積S圖=R2 （3）弧長就是圓的一部分 二、探索新知 （小黑板）請同學們獨立完成下題：設圓的半徑為R，則： 1圓的周長可以看作_度的圓心角所對的弧 21°的圓心角所對的弧長是_ 32°的圓心角所對的弧長是_ 44°的圓心角所對的弧長是_ 5n°的圓心角所對的弧長是_ （老師點評）根據(jù)同學們的解題過程，我們可得到： n°的圓心角所對的弧

3、長為例1制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結果精確到0.1mm） 分析：要求的弧長，圓心角知，半徑知，只要代入弧長公式即可 解：R=40mm，n=110 的長=76.8（mm） 因此，管道的展直長度約為76.8mm問題:（學生分組討論）在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長5m的繩子，繩子的另一端拴著一頭牛，如圖所示: （1）這頭牛吃草的最大活動區(qū)域有多大？ （2）如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動區(qū)域有多大？ 學生提問后，老師點評：（1）這頭牛吃草的最大活動區(qū)域是一個以A（柱子）為圓心，5m為半徑的圓

4、的面積（2）如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動區(qū)域應該是n°圓心角的兩個半徑的n°圓心角所對的弧所圍成的圓的一部分的圖形，如圖: 像這樣，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形 （小黑板），請同學們結合圓心面積S=R2的公式，獨立完成下題： 1該圖的面積可以看作是_度的圓心角所對的扇形的面積 2設圓的半徑為R，1°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 3設圓的半徑為R，2°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 4設圓的半徑為R，5°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_ 5設圓半徑為R，n°的圓心角所對的

5、扇形面積S扇形=_ 老師檢察學生練習情況并點評 1360 2S扇形=R2 3S扇形=R2 4S扇形= 5S扇形= 因此：在半徑為R的圓中，圓心角n°的扇形S扇形=例2如圖，已知扇形AOB的半徑為10，AOB=60°，求的長（結果精確到01）和扇形AOB的面積結果精確到01） 分析：要求弧長和扇形面積，只要有圓心角，半徑的已知量便可求，本題已滿足 解：的長=×10=10.5 S扇形=×102=52.3 因此，的長為25.1cm，扇形AOB的面積為150.7cm2 三、鞏固練習 課本P122練習 四、應用拓展例3（1）操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方

6、形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a（2）嘗試與思考：如圖a、b所示，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心角放在邊長為a的正三角形或邊長為a的正五邊形的中心點處，并將紙板繞O旋轉(zhuǎn)，當扇形紙板的圓心角為_時，正三角形邊被紙覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為_時，正五邊形的邊長被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a (a) (b) （3）探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，若將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，當扇形紙板的圓心角為_時，正n邊形的邊被紙

7、板覆蓋部分的總長度為定值a，這時正n邊形被紙板所覆蓋部分的面積是否也為定值？若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系（不需證明）；若不是定值，請說明理由解：（1）如圖所示，不妨設扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點M、N，連結OA、OD 四邊形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90°，MAO=NDO， 又MON=90°，AOM=DON AMODNO AM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a 特別地，當點M與點A（點B）重合時，點N必與點D（點A）重合，此時AM+AN仍為定值a 故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a （2）120°；70

8、° （3）；正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是定值，這個定值是 五、歸納小結（學生小結，老師點評） 本節(jié)課應掌握 1n°的圓心角所對的弧長L= 2扇形的概念 3圓心角為n°的扇形面積是S扇形= 4運用以上內(nèi)容，解決具體問題 六、布置作業(yè) 1教材P124 復習鞏固1、2、3 P125 綜合運用5、6、72選用課時作業(yè)設計第一課時作業(yè)設計一、 選擇題1已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的弧長是（ ） A3 B4 C5 D6 2如圖1所示，把邊長為2的正方形ABCD的一邊放在定直線L上，按順時針方向繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，則點B運動到點B所經(jīng)過的路線長度

9、為（ ）A1 B C D (1) (2) (3) 3如圖2所示，實數(shù)部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長為（ ）A12m B18m C20m D24m 二、填空題 1如果一條弧長等于R，它的半徑是R，那么這條弧所對的圓心角度數(shù)為_， 當圓心角增加30°時，這條弧長增加_2如圖3所示，OA=30B，則的長是的長的_倍 三、綜合提高題1已知如圖所示，所在圓的半徑為R，的長為R，O和OA、OB分別相切于點C、E，且與O內(nèi)切于點D，求O的周長2如圖，若O的周長為20cm，A、B的周長都是4cm，A在O內(nèi)沿O滾動，B在O外沿O滾動，B轉(zhuǎn)動

10、6周回到原來的位置，而A只需轉(zhuǎn)動4周即可，你能說出其中的道理嗎？ 3如圖所示，在計算機白色屏幕上，有一矩形著色畫刷ABCD，AB=1，AD=，將畫刷以B為中心，按順時針轉(zhuǎn)動ABCD位置（A點轉(zhuǎn)在對角線BD上），求屏幕被著色的面積答案:一、1B 2D 3D二、145° R 23三、1連結OD、OC，則O在OD上由=R，解得：AOB=60°，由RtOOC解得O的半徑r=R，所以O的周長為2r=R2O、A、B的周長分別為20cm，4cm，4cm，可求出它的半徑分別為10cm、2cm、2cm，所以OA=8cm，OB=12cm因為圓滾動的距離實際等于其圓心經(jīng)過的距離，所以A滾動回原位

11、置經(jīng)過距離為2×8=16=4×4，而B滾動回原位置經(jīng)過距離為2×12=24=4×6因此，與原題意相符3設屏幕被著色面積為S，則S=SABD+S扇形BDD+SBCD=S矩形ABCD+S扇形BDD，連結BD，在RtABD中，AB=1，AD=AD=，BD=BD=2，DBD=60°，S=·22+1·=+24.4 弧長和扇形面積(第2課時) 教學內(nèi)容 1圓錐母線的概念 2圓錐側面積的計算方法 3計算圓錐全面積的計算方法 4應用它們解決實際問題 教學目標 了解圓錐母線的概念，理解圓錐側面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，并會應用公式

12、解決問題 通過設置情景和復習扇形面積的計算方法探索圓錐側面積和全面積的計算公式以及應用它解決現(xiàn)實生活中的一些實際問題 重難點、關鍵 1重點：圓錐側面積和全面積的計算公式 2難點：探索兩個公式的由來 3關鍵：你通過剪母線變成面的過程 教具、學具準備 直尺、圓規(guī)、量角器、小黑板 教學過程 一、復習引入 1什么是n°的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式，并請講講它們的異同點2問題1：一種太空囊的示意圖如圖所示，太空囊的外表面須作特別處理，以承受重返地球大氣層時與空氣摩擦后產(chǎn)生的高熱，那么該太空囊要接受防高熱處理的面積應由幾部分組成的 老師點評：（1）n°圓心角所對弧長：L=，S

13、扇形=，公式中沒有n°，而是n；弧長公式中是R，分母是180；而扇形面積公式中是R，分母是360，兩者要記清，不能混淆 （2）太空囊要接受熱處理的面積應由三部分組成；圓錐上的側面積，圓柱的側面積和底圓的面積 這三部分中，第二部分和第三部分我們已經(jīng)學過，會求出其面積，但圓錐的側面積，到目前為止，如何求，我們是無能為力，下面我們來探究它 二、探索新知 我們學過圓柱的側面積是沿著它的母線展開成長方形，同理道理，我們也把連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線 （學生分組討論，提問二三位同學）問題2：與圓柱的側面積求法一樣，沿母錐一條母線將圓錐側面剪開并展平，容易得到，圓錐的側面展

14、開圖是一個扇形，設圓錐的母線長為L，底面圓的半徑為r，如圖24-115所示，那么這個扇形的半徑為_，扇形的弧長為_，因此圓錐的側面積為_，圓錐的全面積為_ 老師點評：很顯然，扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長因此，要求圓錐的側面積就是求展開圖扇形面積S=，其中n可由2r=求得：n=，扇形面積S=rL；全面積是由側面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2 例1圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？（結果精確到0.1cm2） 分析：要計算制作20頂這樣的紙帽至少要用多

15、少平方厘米的紙，只要計算紙帽的側面積 解：設紙帽的底面半徑為rcm，母線長為Lcm，則 r= L=22.03 S紙帽側=rL×58×22.03=638.87（cm） 638.87×20=12777.4（cm2） 所以，至少需要12777.4cm2的紙 例2已知扇形的圓心角為120°，面積為300cm2 （1）求扇形的弧長； （2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？ 分析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得（2）若將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形解

16、：（1）如圖所示： 300= R=30 弧長L=20（cm）（2）如圖所示： 20=20r r=10，R=30 AD=20 S軸截面=×BC×AD =×2×10×20=200（cm2） 因此，扇形的弧長是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm2 三、鞏固練習 教材P124 練習1、2 四、應用拓展 例3如圖所示，經(jīng)過原點O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）兩點的曲線是拋物線y=ax2+bx+c（a0）. （1）求出圖中曲線的解析式； （2）設拋物線與x軸的另外一個交點為C，以OC為直徑作M，如果拋物線上一點P作M的切線PD，切點為D，且與

17、y軸的正半軸交點為E，連結MD，已知點E的坐標為（0，m），求四邊形EOMD的面積（用含m的代數(shù)式表示）（3）延長DM交M于點N，連結ON、OD，當點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得S四邊形EOMD=SDON請求出此時點P的坐標 解：（1）O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲線y=ax2+bx+c（a0）上 解得a=1，b=-4，c=0 圖中曲線的解析式是y=x2-4x（2）拋物線y=x2-4x與x軸的另一個交點坐標為c（4，0）,連結EM， M的半徑為2，即OM=DM=2 ED、EO都是M的切線 EO=ED EOMEDM S四邊形EOMD=2SOME=2×OM

18、·OE=2m （3）設點D的坐標為（x0，y0） SDON=2SDOM=2×OM×y0=2y0 S四邊形ECMD=SDON時即2m=2y0，m=y0 m=y0 EDx軸 又ED為切線 D（2，2） 點P在直線ED上，故設P（x，2） P在圓中曲線y=x2-4x上 2=x2-4x 解得：x=2± P1（2+，0），P2（2-，2）為所求 五、歸納小結（學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1什么叫圓錐的母線 2會推導圓錐的側面積和全面積公式并能靈活應用它們解決問題 六、布置作業(yè) 1教材P124 復習鞏固4 P125 綜合運用8 拓廣探索9、10 2選用課時作業(yè)設計 第二課時作業(yè)設計 一、選擇題 1圓錐的母線長為13cm，底面半徑為5cm，則此圓錐的高線為（ ） A6cm B8cm C10cm D12cm 2在半徑為50cm的圓形鐵皮上剪去一塊扇形鐵皮，用剩余部分制作成一個底面直徑為80cm，母線長為50cm的圓錐形煙囪帽，則剪去的扇形的圓心角度數(shù)為（ ） A228° B144° C72° D36&