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1、(1)下圖所示為二階RLC串聯(lián)電路,當(dāng)外加正弦電壓源的為某一個(gè)頻率時(shí),端口阻抗呈現(xiàn)為純電阻性,稱電路對(duì)外加信號(hào)頻率諧振。諧振角頻率為。,理論值:v=1V, i=1/R,,vL=j10k×0.001×i,vC=-vL,vR=iRR=5時(shí),vL=12.56V,vC=-12.56V,vR=1VR=10時(shí),vL=6.28V,vC=-6.28V,vR=1VR=20時(shí),vL=3,14V,vC=-3.14V,vR=1VvL=90º,vC=-90º,vR=0º仿真:(2)諧振時(shí),電感或電容上的電壓有效值與電阻有效值的比值等于Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù),又稱為Q值。Q
2、值有明顯的物理意義,它反映了電路在諧振時(shí)存儲(chǔ)能量與消耗能量的比值。試用下述定義計(jì)算諧振時(shí)電路Q值。推導(dǎo)過程如下:(3)分析此二階電路固有響應(yīng)形式與Q值關(guān)系:Q>1/2:欠阻尼;Q=1/2:臨界阻尼;Q<1/2:過阻尼仿真電路如圖:下圖為R=5,10,20情況下, VR的階躍響應(yīng):(4)正弦穩(wěn)態(tài)電路的頻率特性用輸出相量與輸入相量的比值來表示,稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。例如,對(duì)圖中電阻電壓輸出,可以寫出電壓比當(dāng)信號(hào)頻率變化時(shí),網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅度和相位隨之變化,分別稱為電路的幅度頻率特性和相位頻率特性。該電路的AC頻率特性是帶通特性,使一部分頻率的信號(hào)通過而抑制了其他頻率的信號(hào)。 下圖為帶通特性曲線。,
3、(5)在幅度頻率特性曲線中,幅度下降為最大值的倍對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率之間的頻率差稱為通帶寬度。R值ff0/fQ值58366Hz1.1912.59109159Hz1.096.292010077Hz0.993.15由仿真數(shù)據(jù)可知,隨著R的增加,帶寬增加而Q值下降.Q值越大,電路的頻率選擇性越好。(6)設(shè)輸入電壓中有兩個(gè)頻率成分 f1=10kHz和f2=20kHz,有效值均為1V,在上述給定電路中:(a) 要求輸出電壓中f2 頻率成分有效值小于0.1V ,則R的最大值是10.489.計(jì)算過程:此時(shí)輸出電壓的頻率應(yīng)與f1=10kHz相等,即T=0.1ms.仿真電路如圖:EWB仿真波形圖如下(R=10):(b
4、) 若R值不變, 要求輸出電壓中f1成分被抑制掉,應(yīng)該如何獲取輸出電壓?因?yàn)殡娐芬鬄V掉諧振頻率,所以設(shè)計(jì)該輸出的AC頻率特性為帶阻特性。此時(shí)輸出電壓的頻率應(yīng)與f2=20kHz相同,即T=0.05ms.仿真電路如圖:得到的波形圖如下:RLC串聯(lián)電路如圖-1所示。改變電源頻率或在特定條件下改變電路參數(shù),可使XL=XC,這時(shí)電路發(fā)生串聯(lián)諧振。諧振頻率為0= ,它由電路參數(shù)L和C決定。如果電源的頻率一定,可以通過調(diào)節(jié)L或C的大小來實(shí)現(xiàn)諧振。諧振后的RLC串聯(lián)電路中的:阻抗是最小的:Z=R (XL=XC0);
5、 電流是最大的:I0= , I0稱為諧振電流;電流與電壓同相位:=arctg=0。周紹敏主編的職業(yè)高中電工基礎(chǔ)教材中對(duì)以上諸點(diǎn)都做了詳細(xì)的論述。但對(duì)諧振電壓是否為電壓極大值的問題并未涉及。因此容易將學(xué)生帶入一個(gè)誤區(qū)認(rèn)為不論電路參數(shù)如何,只要RLC電路處于諧振狀態(tài)時(shí),電感、電容兩端的電壓就是極大值。筆者對(duì)此問題略有薄見。其實(shí)RLC串聯(lián)電路諧振時(shí),電感、電容兩端的電壓達(dá)到最大值的頻率是偏離了諧振點(diǎn)頻率的。這是因?yàn)橹C振時(shí): XL = XC,于是有:UL = UC = I0XC = I0XL
6、0; 且 U = I0Z = I0R = UR即電路的總電壓等于電阻R上的電壓降。如果電路參數(shù)滿足XL=XC R 的條件,則各元件兩端電壓的關(guān)系是:UL = UC UR = U于是出現(xiàn)電路的局部電壓大于電源電壓U的現(xiàn)象,甚至大出許多倍。RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)電感和電容兩端的電壓有效值分別為:UL0 = I0XL =0L = . = .UC0 = I0XC = . = . = 令Q = . ,則UL0 = UC0 = QU 。 上式表明、RLC串聯(lián)電路諧振時(shí),電感與電容兩端電壓的有效值相等,且為總電
7、壓有效值的Q倍。Q值由電路參數(shù)R、L、C決定,稱為RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因素。一般Q可達(dá)100左右。Q的意義在于表示諧振時(shí)L或C元件上的電壓是電源電壓的多少倍。它是諧振電路的一個(gè)重要指標(biāo)。由于Q = = = (其中為諧振角頻率)所以線圈的電阻R越小,電路消耗的能量也越少,則表示電路品質(zhì)好,品質(zhì)因數(shù)高;若線圈的電感L越大,儲(chǔ)存的能量也就越多,而損耗一定時(shí),同樣也說明電路品質(zhì)好,品質(zhì)因數(shù)高。Q值越大,關(guān)于i的曲線就越尖銳,諧振電路的選頻性能就越好。那么RLC串聯(lián)電路諧振時(shí),電感與電容兩端電壓到底在什么情況下獲極大值呢?可從以下幾個(gè)方面
8、進(jìn)行分析:一、電路參數(shù)R、L、C一定,調(diào)節(jié)電源角頻率:我們知道RLC串聯(lián)電路的:阻抗為: Z = = 電流的有效值為:I = = 電感兩端的電壓為:UL = IXL = .(1)看來UL是的函數(shù)。用求極值的方法,可求出UL的極大值。令=0,則有:= = 0可得:=L=>0即電感元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之后獲得極大值。 進(jìn)一步的計(jì)算可得 < 0,所以 UL在=L時(shí)取的是極大值。由L = 可知: 當(dāng)1->0,即Q&g
9、t;,且=L時(shí),電感兩端的電壓達(dá)極大值。將L代入(1)式可得極大值ULm為: ULm = = 同理電容兩端的電壓為:Uc = IXc = . .(2)Uc是的函數(shù).將Uc對(duì)求導(dǎo),并令=0,由此可得到使Uc為最大值的角頻率為:C = 0 <0,即電容元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之前獲得極大值。進(jìn)一步的計(jì)算可得 < 0,所以 UC在=C時(shí)取的是極大值。由C = 0 可知: 當(dāng)1-
10、>0,即Q>,且=L時(shí),電容兩端的電壓達(dá)極大值。將C代入(2)式可得極大值UCm為: UCm=二、電源角頻率0、電路參數(shù)R、C一定,調(diào)節(jié)電感使UL最大:由式UL = IXL = 可知 ,UL 也是電感L的函數(shù),將UL對(duì)L求導(dǎo),并令=0,則有:= = 0可得使UL為最大值的電感量為:L = = R2C + 而諧振時(shí),由于L=,故可得諧振電感為L(zhǎng)Q=。顯然L>LQ,說明電感元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之后獲得極大值。
11、與調(diào)節(jié)角頻率得到的結(jié)論相符。三、電源角頻率0、電路參數(shù)R、L一定,調(diào)節(jié)電容使Uc最大:由式Uc = IXc = . 可知,Uc是C的函數(shù),將Uc對(duì)C求導(dǎo),并令=0,可得使Uc為最大值的電容量為:C = 而諧振時(shí),由于L=,故可得諧振電容為CQ = 。顯然C<CQ ,說明電容元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之前獲得極大值。與調(diào)節(jié)角頻率得到的結(jié)論相符。由以上分析可以得出結(jié)論:1.在RLC串聯(lián)電路中,如果Q >,則電感元件兩端電壓在角頻率L=>0時(shí),即在諧振點(diǎn)之后獲極大值為:ULm= > QU 。2.在RLC串聯(lián)電路中,如果Q >,則電容元件兩端電壓 在角頻率C=0 < 0時(shí),,即在諧振點(diǎn)之前獲極大值為:UCm = > QU 。3.在L=,C=0 的表達(dá)式中,如果電路&
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