二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立

1、二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 專(zhuān)業(yè)：自研-09姓名：劉文珍 學(xué)號(hào)：2009Y01310126一、二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的組成二級(jí)倒立擺主要由以下四部分組成:1.在有限長(zhǎng)的軌道L上作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的小車(chē);2.與小車(chē)鉸接在一起，并能在豎直平面內(nèi)分別繞q，q點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的下、上擺;3.驅(qū)動(dòng)小車(chē)的直流力矩電機(jī)和轉(zhuǎn)輪、鋼絲等傳動(dòng)部分;4.使上、下擺穩(wěn)定在垂直向上的平衡位置，且使小車(chē)穩(wěn)定在軌道中心位置附近的控制器。二級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1的監(jiān)督管理功能，如實(shí)時(shí)畫(huà)面，數(shù)據(jù)采集等;數(shù)據(jù)采集卡安裝在計(jì)算機(jī)內(nèi)，用完成模/數(shù)、數(shù)/模轉(zhuǎn)換;功率放大器用于電壓和功率放大;電機(jī)是系統(tǒng)的執(zhí)行元件;電位計(jì)是系統(tǒng)的測(cè)量元件，它分別檢測(cè)小車(chē)相對(duì)于軌道

2、中心點(diǎn)的相對(duì)位置、下擺相對(duì)于鉛垂線(xiàn)的角位移、上擺相對(duì)于下擺延長(zhǎng)線(xiàn)方向的角位移。圖1 倒立擺系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的整套機(jī)械部件安裝在一個(gè)鋼架上，上面固定著導(dǎo)軌、電機(jī)底座和轉(zhuǎn)輪等裝置。通過(guò)導(dǎo)軌支架安裝好小車(chē)滑行的導(dǎo)軌，小車(chē)用電機(jī)和轉(zhuǎn)輪通過(guò)傳動(dòng)鋼絲實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)。2、結(jié)構(gòu)參數(shù)通過(guò)實(shí)際物理測(cè)量，得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下:小車(chē)的等效質(zhì)量: =1.0kg;小車(chē)與軌道間的滑動(dòng)摩擦系數(shù):=5.0kg/s;下擺的質(zhì)量:=0.1481kg;下擺半長(zhǎng):=0.18m;下擺繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:=0.0019;上擺質(zhì)量:=0.0998kg;上擺半長(zhǎng):=0.24m;上擺繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: = 0.0018;上

3、、下擺重心之間的距離: =0.29m;上、下擺之間的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù): =0.0l/s;下擺和小車(chē)之間的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦系數(shù):=0.01/s;電機(jī)及功率放大器的增益: =15Nt/V。3、Lagrange方程介紹Lgarnage方程為(1-1)式中T系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)，q，Lganarge變量，分別成為廣義坐標(biāo)和廣義速度作用于系統(tǒng)上的廣義力，(1-2)式中：V系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)有勢(shì)力的廣義力非有勢(shì)力的廣義力將式(2-2)代入式(2-l)得二、二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)二級(jí)倒立擺是一個(gè)多變量、快速、非線(xiàn)性、強(qiáng)禍合、和絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，我們做了以下假設(shè):1.上擺、下擺都是一個(gè)均勻的剛體;2.

4、力矩電機(jī)的輸出驅(qū)動(dòng)力與其輸入電壓成正比，且無(wú)滯后地直接作用在小車(chē)上;3.車(chē)與軌道間的摩擦力僅與小車(chē)的速度成正比，下擺與車(chē)絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比，上、下擺絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比;4.忽略電機(jī)的電感;5.忽略鋼絲的彈性。在以上假設(shè)前提下，我們采用分析力學(xué)中的Lganarge方程來(lái)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。令:為水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的位移，拭、氏分別為下擺和上擺偏移豎直方向的角度。由于系統(tǒng)存在著摩擦力，屬于一個(gè)耗散系統(tǒng)，因此式(2-3)部分應(yīng)該加上耗能部分，對(duì)于同時(shí)受到保守力和耗散力作用的倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程為:式中： 廣義坐標(biāo)，即r、非有勢(shì)廣義力，當(dāng)=r時(shí)，=,U為控制量，為

5、增益常數(shù)，當(dāng)=、時(shí)，=0T、V、D分別是系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和消耗能、 (1-5)式中： n倒立擺的級(jí)數(shù)，這里n=2小車(chē)和各級(jí)倒擺的動(dòng)能小車(chē)和各級(jí)倒擺的勢(shì)能小車(chē)和各級(jí)倒擺的消耗能將上述各式，(i=0，1，2)代入式(2-4)，得二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型為式(2-6)式是一個(gè)非線(xiàn)性向量微分方程?？紤]到系統(tǒng)工作時(shí)，是在平衡位置附近運(yùn)動(dòng)，可將式(2-6)在u=0的平衡位置r=0附近線(xiàn)性化，以線(xiàn)性化后的方程來(lái)代替式(2-6)的非線(xiàn)性向量微分方程。具體線(xiàn)性化是忽略二次以上的項(xiàng)(或因?yàn)?，在以?xún)?nèi)，故，)，可求出關(guān)于dr，d，d的線(xiàn)性化微分方程，而后將dr，d，d改寫(xiě)成r，便可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)物理模型的實(shí)測(cè)數(shù)

6、據(jù)，可求得平衡點(diǎn)處的常數(shù)陣: 利用Matlab中的求逆命令，可以解得陣所以，對(duì)式（2-6）進(jìn)行線(xiàn)性化后，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對(duì)于下擺有轉(zhuǎn)角時(shí)，取上擺的相對(duì)角位移為，故令故式（2-7）可改寫(xiě)為定義狀態(tài)向量x為則由式（2-8）可得將物理模型的實(shí)測(cè)參數(shù)代入式（2-9），得到二級(jí)倒立擺的系數(shù)矩陣為由此可知，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為式中：A= 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040 0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400

7、0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700B= 0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532C= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0系統(tǒng)狀態(tài)圖：首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿(mǎn)秩。程序如下：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.

8、4137 -52.2864 62.2532;B1=B'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)計(jì)算結(jié)果為：rct = 6根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿(mǎn)秩，所以該系統(tǒng)是能控的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能控的，所以，可以通過(guò)狀態(tài)反饋來(lái)任意配置極點(diǎn)。不失一般性，不妨將極點(diǎn)配置在 s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5在MATLAB中輸入程序：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.

9、004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B'P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 -8.5 ;K=place(A,B1,P)計(jì)算結(jié)果為：K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為 K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267采用MATLAB/Simulink構(gòu)造二級(jí)倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的

10、仿真模型，如下圖所示。 三、 狀態(tài)觀(guān)測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置及其仿真首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀(guān)性矩陣是否為滿(mǎn)秩。輸入以下程序 A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rob=rank(obsv(

11、A,C)rob = 6因?yàn)樵撓到y(tǒng)的能觀(guān)測(cè)性矩陣滿(mǎn)秩，所以該系統(tǒng)是能觀(guān)測(cè)的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能觀(guān)測(cè)的，所以，可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器。而系統(tǒng)又是能控的，因此可以通過(guò)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。設(shè)計(jì)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器矩陣，使的特征值的實(shí)部均為負(fù)，且其絕對(duì)值要大于狀態(tài)反饋所配置極點(diǎn)的絕對(duì)值。通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，這樣才能保證狀態(tài)觀(guān)測(cè)器有足夠快的收斂速度，才能夠保證使用狀態(tài)觀(guān)測(cè)器所觀(guān)測(cè)到的狀態(tài)與原系統(tǒng)的狀態(tài)充分接近。不妨取狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的特征值為： 輸入以下命令：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;A1=A'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;C1=C'P=-20 -21 -22 -23 -24 -25;G1=place(A1,C1,P);G=G1'求出狀態(tài)觀(guān)測(cè)器矩陣為：G = 38.2600 0.1197 -0.2836 17.7903 44.7264 0.7555 -17.4652 0.6889 46.5137 275.9610 1.1437 -5.5261 690.80