[推薦學(xué)習(xí)]2022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.5簡單的三角恒等變換第2課時(shí)簡單的

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)第2課時(shí)簡單的三角恒等變換題型一三角函數(shù)式的化簡例1(1)化簡： .(2)cos，那么sin .答案(1)cos 2x(2)解析(1)原式cos 2x.(2)由題意可得，cos2，cossin 2，即sin 2.因?yàn)閏os>0，所以0<<，2，根據(jù)同角三角函數(shù)根本關(guān)系式可得cos 2，由兩角差的正弦公式可得sinsin 2cos cos 2sin .思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看原那么，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)三角函數(shù)式化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)(1)cos(x

2、)，那么cos xcos(x) .(2)假設(shè)，且3cos 2sin，那么sin 2的值為()A. BC. D答案(1)1(2)D解析(1)cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin xcos(x)×()1.(2)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，cos，sin 2cos2cos21.題型二三角函數(shù)的求值命題點(diǎn)1給值求值問題例2(1)(2022·合肥聯(lián)考)，為銳角，cos ，sin()，那么cos .答案解析為銳角，sin .，(0，)，0<<.又sin()<sin ，>，cos().cos

3、 cos()cos()cos sin()sin ××.(2)(2022·廣東)tan 2.求tan()的值；求的值解tan()3.1.命題點(diǎn)2給值求角問題例3(1)設(shè)，為鈍角，且sin ，cos ，那么的值為()A. B.C. D.或(2)，(0，)，且tan()，tan ，那么2的值為 答案(1)C(2)解析(1)，為鈍角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin >0.又(，2)，(，2)，.(2)tan tan()>0，0<<.又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan

4、 <0，<<，<2<0，2.引申探究本例(1)中，假設(shè)，為銳角，sin ，cos ，那么 .答案解析，為銳角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.又0<<，.思維升華(1)給值求值問題的關(guān)鍵在“變角，通過角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法；(2)給值求角問題：先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍確定角(1)，且2sin2sin ·cos 3cos20，那么 .(2)(2022·成都檢測(cè))假設(shè)sin 2，sin()，且，那么的值是()A. B.C.或 D.答案(1)(2)A解析(1)，且2si

5、n2sin ·cos 3cos20，那么(2sin 3cos )·(sin cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.(2)因?yàn)?，sin 2>0，所以2，所以cos 2且，又因?yàn)閟in()>0，所以，所以cos()，因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2×()()×，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2()×()×，又，2，所以，應(yīng)選A.題型三三角恒等變換的應(yīng)用例4(2022·天津)函數(shù)f(x)4tan xsin·

6、;cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域?yàn)閤|xk，kZf(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，那么函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.設(shè)A，Bx|kxk，kZ，易知AB.所以當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減思維升華三角恒等變換的應(yīng)用策略(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之

7、間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性(1)函數(shù)f(x)sin(x)2sin cos x的最大值為 (2)函數(shù)f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 答案(1)1(2)解析(1)因?yàn)閒(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)，1sin(x)1，所以f(x)的最大值為1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.9化歸思想和整體代換思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例(12分)(2022·

8、;重慶)函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調(diào)性思想方法指導(dǎo)(1)討論形如yasin xbcos x型函數(shù)的性質(zhì)，一律化成ysin(x)型的函數(shù)(2)研究yAsin(x)型函數(shù)的最值、單調(diào)性，可將x視為一個(gè)整體，換元后結(jié)合ysin x的圖象解決標(biāo)準(zhǔn)解答解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，4分因此f(x)的最小正周期為，最大值為.6分(2)當(dāng)x時(shí)，02x，7分從而當(dāng)02x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，9分當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減11分綜上可知，f(

9、x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減12分1(2022·青島模擬)設(shè)tan()，那么tan()等于()A2 B2 C4 D4答案C解析因?yàn)閠an()，所以tan ，故tan()4，應(yīng)選C.2(2022·全國甲卷)假設(shè)cos，那么sin 2等于()A. B. C D答案D解析因?yàn)閟in 2cos2cos21，又因?yàn)閏os，所以sin 22×1，應(yīng)選D.3(2022·福州模擬)tan 3，那么的值等于()A2 B3C4 D6答案D解析2tan 2×36.4tan()，且<<0，那么等于()A BC D.答案A解析由tan()，得tan .又&

10、lt;<0，所以sin .故2sin .5設(shè)(0，)，(0，)，且tan ，那么()A3 B2C3 D2答案B解析由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.6函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案C解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由題意知2×k(kZ)，k(kZ)|，.f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)應(yīng)選C.7假設(shè)f(x)2t

11、an x，那么f的值為 答案8解析f(x)2tan x2tan x，f8.8假設(shè)銳角、滿足(1tan )(1tan )4，那么 .答案解析由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.9化簡： .答案4解析原式4.10函數(shù)f(x)sin x2sin2x (x)的最小值是 答案1解析f(x)sin x(1cos x)2sin(x)1，又x，x，f(x)min2sin 11.11函數(shù)f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f()的值；(2)假設(shè)sin ，且(，)，求f()解(1)f()cos2sincos()2×.(2)因?yàn)閒(x)cos2xsin x

12、cos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，所以f()sin()sin()(sin cos )又因?yàn)閟in ，且(，)，所以cos ，所以f()(××).12(2022·安徽)函數(shù)f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)因?yàn)閒(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T.(2)由(1)的計(jì)算結(jié)果知，f(x)sin1.當(dāng)x時(shí)，2x，由正弦函數(shù)ysin x在上的圖象知，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取最大值1；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取最小值0.綜上，f(x)在上的最大值為1，最小值為0.*13.函數(shù)f(x)2cos2x12cos xsin x(01)，直線x是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸(1)求的值；(2)函數(shù)yg(x)的圖象是由yf(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長度得到的，假設(shè)g，求sin 的值解(1)f(x)2cos2x12