加法原理和乘法原理新課

1、加法原理和乘法原理 教學(xué)目的：1了解學(xué)習(xí)本章的意義,激發(fā)學(xué)生的興趣.2.理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.3.會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.教學(xué)重點(diǎn)：分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)與分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理) 教學(xué)難點(diǎn)：分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)與分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)的準(zhǔn)確理解授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：兩個(gè)基本原理是排列、組合的開頭課，學(xué)習(xí)它所需的先行知識跟學(xué)生已熟知的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系很少，排列、組合的計(jì)算公式都是以乘法原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開兩個(gè)基本原理，所以在教學(xué)目標(biāo)中特別提出要

2、使學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地應(yīng)用兩個(gè)基本原理分析和解決一些簡單的問題對于學(xué)生陌生的知識，在開頭課中首先作一個(gè)大概的介紹，使學(xué)生有一個(gè)大致的了解是十分必要的基于這一想法，在引入新課時(shí)，首先是把這一章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以及與其它科目的關(guān)系做了介紹，同時(shí)也引入了課題正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件；分類用加法原理，分步用乘法原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進(jìn)行分類和分步教學(xué)中給出的練習(xí)均在課本例題的基礎(chǔ)上稍加改動(dòng)過的，目的就在于幫助學(xué)生對這一知識的理解與應(yīng)用兩個(gè)原理是教與學(xué)重點(diǎn)，又具有相當(dāng)難度加法和乘法在小學(xué)就會(huì)，那么，在中學(xué)再學(xué)它與以往有什么不同?不同在于小學(xué)階段重

3、在運(yùn)算結(jié)果的追求，而忽視了其過程中包含的深層次思想；兩個(gè)原理恰恰深刻反映了人類計(jì)數(shù)最基本的“大事化小”，即“分解”的思想更具體地說就是把事物分成類或分成步去數(shù)“分類”、“分步”，看似簡單，不難理解，卻是全章的理論依據(jù)和基本方法，貫穿始終，所以，是舉足輕重的重點(diǎn)兩個(gè)原理，要能在各種場合靈活應(yīng)用并非易事，所以，著實(shí)有其難用之處教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 一次集會(huì)共50人參加，結(jié)束時(shí)，大家兩兩握手，互相道別，請你統(tǒng)計(jì)一下，大家握手次數(shù)共有多少？某商場有東南西北四個(gè)大門，當(dāng)你從一個(gè)大門進(jìn)去又從另一個(gè)大門出來，問你共有多少種不同走法？ 揭示本節(jié)課內(nèi)容：等我們學(xué)了這一部分內(nèi)容后，這些問題會(huì)很容易解決而這部分

4、內(nèi)容是代數(shù)中一個(gè)獨(dú)立的問題，與舊知識聯(lián)系很少，但它是以后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理、概率學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等知識的基礎(chǔ)內(nèi)容從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分排列、組合它們研究對象獨(dú)特，研究問題的方法不同一般雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它今天我們就來學(xué)習(xí)本章的兩個(gè)基本原理(這是排列、組合的第一節(jié)課，把這一章的內(nèi)容作一個(gè)大概的介紹，能使學(xué)生從一開始就對將要學(xué)習(xí)的知識有一個(gè)初步的了解，并為本章的學(xué)習(xí)研究打下思想基礎(chǔ)) 二、講解新課：1.問題一（11）從甲

5、地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中火車有3班，汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？分析：因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以，共有3+2=5種不同的走法，如圖所示(12) 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船一天中，火車有4 班, 汽車有2班，輪船有3班那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 分析：從甲地到乙地有3類方法：第一類方法，乘火車，有4種方法；第二類方法，乘汽車，有2種方法；第三類方法，乘輪船，有3種方法；所以，從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法2分類計(jì)數(shù)原理(

6、加法原理)：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法3.問題二（21）從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？分析:因?yàn)槌嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，所以，乘一次火車再接著乘一次汽車從甲地到乙地，共有種不同走法，如圖所示，所有走法：火車1汽車1；火車1汽車2；火車2汽車1；火車2汽車2；火車3汽車1；火車3汽車2（22）如圖,由A村去B村的道路有2條，由B村去C村的道路有3

7、條從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？分析: 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有2種方法,第二步, 由B村去C村有3種方法,所以 從A村經(jīng) B村去C村共有 2×3 = 6 種不同的方法4.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法5.原理淺釋分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)中，“完成一件事，有n類辦法”，是說每種辦法“互斥”，即每種方法都可以獨(dú)立地完成這件事，同時(shí)他們之間沒有重復(fù)也沒有遺漏進(jìn)行分類時(shí)，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論那一類辦

8、法中的哪一種方法，都能獨(dú)立完成這件事.只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n個(gè)步驟”，是說每個(gè)步驟都不足以完成這件事，這些步驟，彼此間也不能有重復(fù)和遺漏如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它們共同的特征，但是，分法卻大不相同兩個(gè)原理的公式是: , 這種變形還提醒人們，分類和分步，常是在一定的限制之下人為的，因此，在這里我們大有用武之地：可以根據(jù)解題需

9、要靈活而巧妙地分類或分步強(qiáng)調(diào)知識的綜合是近年的一種可取的現(xiàn)象兩個(gè)原理，可以與物理中電路的串聯(lián)、并聯(lián)類比兩個(gè)基本原理的作用：計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)兩個(gè)基本原理的區(qū)別：一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)；加法原理是“分類完成”，乘法原理是“分步完成”三、講解范例：例1書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？解：（1）從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種

10、方法；第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9種所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術(shù)書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是種所以，從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法例2一種號碼撥號鎖有4個(gè)撥號盤，每個(gè)撥號盤上有從0到9共10個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)號碼？解：每個(gè)撥號盤上的數(shù)字有10種取法，根據(jù)

11、分步計(jì)數(shù)原理，4個(gè)撥號盤上各取1個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個(gè)數(shù)是，所以，可以組成10000個(gè)四位數(shù)號碼例3要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班兩個(gè)步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的選法數(shù)是種，6種選法可以表示如下：日班 晚班甲 乙甲 丙乙 甲乙 丙丙 甲丙 乙所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法例4甲廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有3種，顏色有4種，乙廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有4種，顏色有5種

12、，這兩廠生產(chǎn)的收音機(jī)僅從外殼的形狀和顏色看，共有所少種不同的品種？解：收音機(jī)的品種可分兩類：第一類：甲廠收音機(jī)的種類，分兩步：形狀有3種，顏色有4種，共種；第二類：乙廠收音機(jī)的種類，分兩步：形狀有4種，顏色有5種，共種所以，共有個(gè)品種說明：分類和分步計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，其中方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟中方法相互獨(dú)立，只有各個(gè)步驟都完成才算完成了這件事四、課堂練習(xí)： 1 . 書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書(1) 從中任取一本，有多少種不同的取法？

13、(2)從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少種不同的取法？解：(1)從書架上任取一本書，有兩種方法：第一類可從6本數(shù)學(xué)書中任取一本，有6種方法；第二類可從5本語文書中任取一本，有5種方法；根據(jù)加法原理可得共有 5+6=11 種不同的取法(2) 從書架上任取數(shù)學(xué)、語文書各一本，可以分成兩步完成：第一步任取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步任取一本語文書，有5種方法根據(jù)乘法原理可得共有5×6=30種不同取法2. 某班級有男學(xué)生5人，女學(xué)生4人 (1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng), 有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女學(xué)生各一人去參加座談會(huì)，有多少種不同的選法？解：(1) 完成從學(xué)生中任選一人去領(lǐng)

14、獎(jiǎng)這件事，共有2類辦法， 第一類辦法，從男學(xué)生中任選一人， 共有 = 5種不同的方法； 第二類辦法，從女學(xué)生中任選一人， 共有 = 4種不同的方法所以, 根據(jù)加法原理, 得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 + 4 = 9 種 (2) 完成從學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事, 需分2步完成, 第一步， 選一名男學(xué)生，有 = 5種方法； 第二步， 選一名女學(xué)生，有= 4種方法； 所以，根據(jù)乘法原理, 得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 × 4 = 20 種由例1可知： 解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成” ，還是“分步完成” “分類完成”用“加法原理” ；“分步完成”用“乘法原理”3. 滿足=1,2的集合、共有多少組?分析一:、均是1,2的子集:,1,2,1,2,但不是隨便兩個(gè)子集搭配都行,本題尤如含、兩元素的不定方程,其全部解分為四類:1)當(dāng)=時(shí),只有=1,2,得1組解;2)當(dāng)=1時(shí),=2或=1,2,得2組解;3)當(dāng)=2時(shí),=1或=1,2,得2組解;4)當(dāng)=1,2時(shí),=或1或2或1,2,得4組解.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,共有1+2+2+4=9組解.分析二: 設(shè)、為兩個(gè)“口袋”,需將兩種元素(1與2)裝入,任一元素至少裝入一個(gè)袋中,分兩步可辦好此事:第1步裝“1”,可裝入不裝入,也可裝入不裝入,還可以既裝入又裝入,有3種裝法;第2步裝2,同樣有3種裝法.根